1、第 1 页（共 17 页） 2015-2016 学年四川省遂宁市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求） 1已知集合 A=0，1，B=1，0，a+3 ，且 AB，则 a 等于（ ） A1 B0 C2 D3 2化简 + 所得的结果是（ ） A B C0 D 3下列函数中，值域为（0，+）的是（ ） A B C Dy=x 2+x+1 4函数 y=ln（ x2）的定义域是（ ） A （，+） B （， 2） C （0，2） D （2，+） 5若点（a，9）在函数 y=3x 的图象上，则 tan 的值为（
2、） A0 B C1 D 6函数 y=x 的图象大致为（ ） A B C D 7设 是 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A 与 的长度必相等 B C 与 一定不相等 D + = 8已知函数 f（x）=e xx 2+8x，则在下列区间中 f（x）必有零点的是（ ） A （2，1） B （1， 0） C （0，1） D （1，2） 第 2 页（共 17 页） 9为了得到 的图象，只需要将 （ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 10定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时， f（x）= ， 则关于 x 的函数 F（x）=f （x）a（0a
3、1）的所有零点之和为（ ） A12 a B2 a1 C12 a D2 a 1 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11已知 sin（+ ）= ， （ ，0） ，则 tan= 12已知函数 f（x）=2 x+2ax+b，且 f（1）= ，f（2）= ，则实数 a= 13log 6log4（log 381= 14已知函数 f（x）= ，则 f（f（ ） ）= 15对于下列结论： 函数 y=ax+2（xR）的图象可以由函数 y=ax（a0 且 a1）的图象平移得到； 函数 y=2x 与函数 y=log2x 的图象关于 y 轴对称； 方程 log5（2x+1）=log 5（x
4、 22）的解集为1，3 ； 函数 y=ln（1+x ）ln（1x）为奇函数 其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题 16已知集合 A=x|2x8，B=x|1x6 ，C=x|x a （1）求 AB； （2）若 AC，求 a 的取值范围 第 3 页（共 17 页） 17已知 （1）化简 f（） （2）若 是第三象限角，且 ，求 f（ ）的值 18函数 f（x）=sin（ x+） ，其中 0，| （1）求函数 f（x）的解析式； （2）写出 f（x）的最值及相应的 x 的取值构成的集合 19已知函数 y=f（x） ，若存在 x0，使得 f（x 0）=x 0，则称 x0 是函数
5、 y=f（x）的一个不动 点，设二次函数 f（x）=ax 2+（b+1）x+b2 （1）当 a=2，b=1 时，求函数 f（x）的不动点； （2）若对于任意实数 b，函数 f（x）恒有两具不同的不动点，求实数 a 的取值范围 20已知函数 f（x）=b ax（其中 a，b 为常数且 a0，a1）的图象经过点 A（1，6） ， B（3，24） （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若对于任意的 x（，1 ， （ ） x+（ ） xm0 恒成立，求 m 的取值范围； （3）若 g（x）= ，试用定义法证明 g（x）在区间 1，+）上单调递减 21设 a 为实数，函数 f（x）=x 2+|xa|+
6、1，x R （1）讨论 f（x）的奇偶性； （2）求 f（x）的最小值 第 4 页（共 17 页） 2015-2016 学年四川省遂宁市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求） 1已知集合 A=0，1，B=1，0，a+3 ，且 AB，则 a 等于（ ） A1 B0 C2 D3 【考点】集合关系中的参数取值问题 【专题】计算题 【分析】由题设条件 A=0，1，B=1，0，a+3 ，且 AB，根据集合的包含关系知， 应有 a+3=1，由此解出 a 的值选出正确选项 【解答】解：集合
7、A=0，1，B=1，0，a+3 ，且 AB， a+3=1 a=2 故选 C 【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是由集合之间的关系得出参数 所满足的方程或不等式，从而解同参数的取值范围，集合中参数的取值范围问题，是集合 知识综合运用题，需要运用集合中的相关知识综合判断，正确转化，考查了推理判断能力 及转化的思想 2化简 + 所得的结果是（ ） A B C0 D 【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【专题】计算题 【分析】利用向量加法的三角形法则， （ + ）= ，代入要求的式子化简 【解答】解：化简 =（ + ） = = ， 故选 C 【点评】本题考查两个向量加法的三角形法则
8、、几何意义，及其应用 3下列函数中，值域为（0，+）的是（ ） A B C Dy=x 2+x+1 【考点】函数的值域 【专题】计算题 【分析】 ； y= 0； ； ，可判断 【解答】解： 可得函数的值域0 ，+） ，故 A 不符 由 且 可得 y= 0，值域（0，+） ，故 B 合题意 第 5 页（共 17 页） ，值域（，0）（0，+） ，故 C 不符 ，值域 ） ，故 D 不符 故选 B 【点评】本题主要考查了函数值域的求解，要注意一些常见函数值域求解方法的总结积累 4函数 y=ln（ x2）的定义域是（ ） A （，+） B （， 2） C （0，2） D （2，+） 【考点】函数的定义
9、域及其求法 【专题】计算题；函数的性质及应用 【分析】要使函数有意义，则需 x20，解出即可得到定义域，注意用集合或区间表 示 【解答】解：要使函数有意义，则需 x20， 解得，x2， 则定义域为（2，+） 故选 D 【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数必须大于 0，考查运算能力，属 于基础题 5若点（a，9）在函数 y=3x 的图象上，则 tan 的值为（ ） A0 B C1 D 【考点】指数函数的图像与性质 【专题】函数的性质及应用 【分析】先将点代入到解析式中，解出 a 的值，再根据特殊三角函数值进行解答 【解答】解：将（a，9）代入到 y=3x 中，得 3a=9， 解得
10、a=2 = 故选 D 【点评】对于基本初等函数的考查，历年来多数以选择填空的形式出现在解答这些知识 点时，多数要结合着图象，利用数形结合的方式研究，一般的问题往往都可以迎刃而解 6函数 y=x 的图象大致为（ ） 第 6 页（共 17 页） A B C D 【考点】函数的图象 【专题】计算题 【分析】利用 y=xx 为奇函数可排除 C，D，再利用 x1 时，y=xx 0 再排除一 个，即可得答案 【解答】解：令 y=f（x）=xx ， f（ x）=x+ =（x ）=f（x） ， y=f（x）=xx 为奇函数， 其图象关于原点成中心对称，故可排除 C，D ； 又 x=1 时，y=11=0 ， 当
11、 x1 时，不妨令 x=8，y=88 =60，可排除 B， 故选 A 【点评】本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性与单调性，考查识图能力，属于中 档题 7设 是 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A 与 的长度必相等 B C 与 一定不相等 D + = 【考点】相等向量与相反向量 【专题】平面向量及应用 【分析】根据相反向量的定义是大小相等，方向相反的两个向量，对每一个选项进行分析 即可 【解答】解：当 是 的相反向量时， 与 的长度相等，即| |=| |，A 正确； = ， ，B 正确； 当 = = 时，两向量相等，C 错误； = ， + = ，D 正确 故选：C 【点评】本题考查了
12、相反向量的概念及其应用问题，是基础题目 8已知函数 f（x）=e xx 2+8x，则在下列区间中 f（x）必有零点的是（ ） 第 7 页（共 17 页） A （2，1） B （1， 0） C （0，1） D （1，2） 【考点】函数零点的判定定理 【专题】函数的性质及应用 【分析】构造函数 g（x）=e x，h（x）=x 28x，画出图象判断，交点个数，运用特殊函数 值判断区间 【解答】解：函数 f（x）=e xx 2+8x， 令 g（x）=e x，h（x）=x 28x， 画出图象判断交点 1 个数 g（ 0） =1，h（0）=0， g（1）=e 1 ，h（1）=9， g（ 0） h（0） ，
13、g（1）h（1） ， 交点在（1，0）内， 即函数 f（x）=e xx 2+8x，则在下列区间中 f（x）必有零点的是（1，0） 故选：B 【点评】本题考查了构造函数，运用图象的交点问题求解有关的函数的零点，画出图象判 断，利用特殊函数值判断即可 9为了得到 的图象，只需要将 （ ） 第 8 页（共 17 页） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质 【分析】由于把函数 的图象向右平移 个单位，可得 的图象，从而得出结论 【解答】解：函数 sin2（x+ ） ，函数 =sin2（
14、x ） ， 故把函数 的图象向右平移 = 个单位，可得 y=sin2（x ）+ = 的图象， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，左加右减，属于中档题 10定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时， f（x）= ， 则关于 x 的函数 F（x）=f （x）a（0a1）的所有零点之和为（ ） A12 a B2 a1 C12 a D2 a 1 【考点】函数的零点 【专题】数形结合；函数的性质及应用 【分析】函数 F（x）=f （x）a（0a1）的零点转化为：在同一坐标系内 y=f（x） ， y=a 的图象交点的横坐标 作出两函数图象，考查交点个数，结合方
15、程思想，及零点的对称性，根据奇函数 f（x）在 x0 时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案 【解答】解：当 x0 时， f（x）= ； 即 x0，1）时，f（x）= （x+1） （1，0； x1，3时，f（x）=x 2 1，1； x（3，+）时， f（x）=4x （，1） ； 画出 x0 时 f（x）的图象， 再利用奇函数的对称性，画出 x0 时 f（x）的图象，如图所示； 第 9 页（共 17 页） 则直线 y=a，与 y=f（x）的图象有 5 个交点，则方程 f（x）a=0 共有五个实根， 最左边两根之和为6，最右边两根之和为 6， x（1，0）时， x（0，1） ，
16、f（ x）= （x+1 ） ， 又 f（x）= f（x） ， f（ x）= （x+1 ）= （1x） 1 =log2（1x） ， 中间的一个根满足 log2（1x）=a，即 1x=2 a， 解得 x=12 a， 所有根的和为 12 a 故选：A 【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应 用问题，是综合性题目 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11已知 sin（+ ）= ， （ ，0） ，则 tan= 2 【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系 【专题】计算题；三角函数的求值 【分析】由 （ ，0）sin （+ ）
17、= ，利用诱导公式可求得 cos，从而可求得 sin 与 tan 【解答】解：sin （+ ）=cos ，sin（ + ）= ， cos= ， 又 （ ，0） ， sin= ， 第 10 页（共 17 页） tan= =2 故答案为：2 【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档 题 12已知函数 f（x）=2 x+2ax+b，且 f（1）= ，f（2）= ，则实数 a= 1 【考点】函数的值 【专题】函数的性质及应用 【分析】由已知得 ，由此能求出实数 a 的值 【解答】解：f（x）=2 x+2ax+b，且 f（1）= ，f（2）= ， ，整理得 ， 解得
18、a=1，b=0， 实数 a=1 故答案为：1 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运 用 13log 6log4（log 381= 0 【考点】对数的运算性质 【专题】函数的性质及应用 【分析】利用对数的运算性质即可得出 【解答】解：原式=log 6（log 44）=log 61=0 故答案为：0 【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题 14已知函数 f（x）= ，则 f（f（ ） ）= 2 【考点】三角函数的化简求值 【专题】三角函数的求值 【分析】利用分段函数求出 f（ ）的值，然后求解 即可 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：因为 ，
19、 所以 f（ ）= =1， 所以 =f（1）=2（1） 3=2 故答案为：2 【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力 15对于下列结论： 函数 y=ax+2（xR）的图象可以由函数 y=ax（a0 且 a1）的图象平移得到； 函数 y=2x 与函数 y=log2x 的图象关于 y 轴对称； 方程 log5（2x+1）=log 5（x 22）的解集为1，3 ； 函数 y=ln（1+x ）ln（1x）为奇函数 其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上） 【考点】对数函数图象与性质的综合应用 【专题】函数的性质及应用 【分析】利用图象的平移关系判断 利用对称的性质判断 解
20、对数方程可得 利用函数的奇偶性判断 【解答】解：y=a x+2 的图象可由 y=ax 的图象向左平移 2 个单位得到，正确； y=2x 与 y=log2x 互为反函数，所以的图象关于直线 y=x 对称，错误； 由 log5（2x+1）=log 5（x 22）得 ，即 ，解得 x=3所以错误； 设 f（x）=ln（1+x）ln（1x） ，定义域为（1，1） ，关于原点对称，f（x） =ln（1x） ln（1+x ）=ln（1+x）ln（1x） =f（x） 所以 f（x）是奇函数，正确，故正确的结论是 故答案为： 【点评】本题考查函数的性质与应用正确理解概念是解决问题的关键 三、解答题 16已知集
21、合 A=x|2x8，B=x|1x6 ，C=x|x a （1）求 AB； （2）若 AC，求 a 的取值范围 【考点】交集及其运算 【专题】集合 【分析】 （1）根据并集运算即可求 AB； （2）若 AC，根据集合关系即可求 a 的取值范围 【解答】解：（1）A=x|2 x8，B=x|1x6 ， 第 12 页（共 17 页） AB=x|1x8 ； （2）A=x|2x8，C=x|xa， 若 AC，则 a8， 即 a 的取值范围是（ ，8） 【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，比较基础 17已知 （1）化简 f（） （2）若 是第三象限角，且 ，求 f（ ）的值 【考点】运用诱导公式
22、化简求值 【专题】计算题 【分析】 （1）利用诱导公式化简 f（ ）的结果为 cos （2）利用诱导公式求出 sin，再由同角三角函数的基本关系求出 cos，从而得到 f（） 的值 【解答】解：（1） = =cos （2） ， ， 又 为第三象限角， ， 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限 中的符号，化简 f（ ）是解题的突破口 18函数 f（x）=sin（ x+） ，其中 0，| （1）求函数 f（x）的解析式； （2）写出 f（x）的最值及相应的 x 的取值构成的集合 【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式 【专题】三角函数的图
23、像与性质 第 13 页（共 17 页） 【分析】 （1）利用图象的最低点确定 A 的值，利用周期确定 ，再根据图象过点（ ，0） ， 确定 的值，即可求函数 f（x）的解析式； （2）由 2x+ =2k ，k Z，2x+ =2k ，kZ，即可解得 f（x）的最值及相应 的 x 的取值构成的集合 【解答】解：（1）由题意，函数的最小值为1，A=1， T=4（ ）= ， =2， f（ x）=sin （2x+ ） ， 图象过点（ ，0） ， sin（2 +）=0， | ，= f（ x）=sin （2x+ ） ； （2）当 2x+ =2k ，k Z，即有 xx|x=k ，kZ时，f （x） max=1
24、； 当 2x+ =2k ，kZ，即有 xx|x=k+ ，kZ时，f（x） min=1 【点评】本题主要考查了由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象 和性质，属于基础题 19已知函数 y=f（x） ，若存在 x0，使得 f（x 0）=x 0，则称 x0 是函数 y=f（x）的一个不动 点，设二次函数 f（x）=ax 2+（b+1）x+b2 （1）当 a=2，b=1 时，求函数 f（x）的不动点； （2）若对于任意实数 b，函数 f（x）恒有两具不同的不动点，求实数 a 的取值范围 【考点】函数恒成立问题 【专题】函数的性质及应用 【分析】 （1）当 a=2，b=1 时，解
25、方程 f（x 0）=x 0，即可求函数 f（x）的不动点； （2）根据函数 f（x）恒有两具不同的不动点，转化为二次函数和判别式之间的关系，即 可求实数 a 的取值范围 【解答】解：（1）当 a=2，b=1 时，f （x）=2x 2+2x1， 设 x 为其不动点， 即 2x2+2x1=x， 则 2x2+x1=0， 解得 ， 即 f（x）的不动点为 （2）由 f（x）=x 得 a x2+bx+b2=0， 第 14 页（共 17 页） 关于 x 的方程有相异实根，则 b24a（b2）0， 即 b24ab+8a 0， 又对所有的 bR，b 24ab+8a0 恒成立 故有（4a） 24 8a0， 得
26、0a2 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，正确理解不动点的定义是解决本题的关 键 20已知函数 f（x）=b ax（其中 a，b 为常数且 a0，a1）的图象经过点 A（1，6） ， B（3，24） （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若对于任意的 x（，1 ， （ ） x+（ ） xm0 恒成立，求 m 的取值范围； （3）若 g（x）= ，试用定义法证明 g（x）在区间 1，+）上单调递减 【考点】指数函数综合题 【专题】计算题；函数的性质及应用 【分析】 （1）运用代入法，解方程组，即可得到 a，b，进而得到 f（x）的解析式； （2）不等式化为 m（ ） x+（ ） x 在
27、 x1 恒成立，运用指数函数的单调性求得右边的最 小值即可； （3）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤 【解答】 （1）解：由题意可得 ， 解得 a=2，b=3 即有 f（x）=3 2x； （2）解：对于任意的 x（ ，1 ， （ ） x+（ ） xm0 恒成立， 即为对于任意的 x（，1 ， （ ） x+（ ） xm0 恒成立 即有 m（ ） x+（ ） x 在 x1 恒成立， 由于 y=（ ） x+（ ） x 在 x1 递减，即有 y + = ， 即 y 的最小值为 ， 则 m 即有 m 的取值范围是（， ； （3）证明：g（x）= = = ， 第 15 页（共
28、17 页） 设 mn1，则 g（m）g（n）= = ， 由 mn1，则 mn0，mn 1，1mn0，1+m 20，1+n 20， 则 g（m）g（n）0，即 g（m ）g（n） 则 g（x）在区间1，+）上单调递减 【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查不等式恒成立问题注意转化为求函数最值， 考查定义法证明函数的单调性的方法，考查运算能力，属于中档题 21设 a 为实数，函数 f（x）=x 2+|xa|+1，x R （1）讨论 f（x）的奇偶性； （2）求 f（x）的最小值 【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义 【专题】压轴题 【分析】第一问考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及
29、不是奇函数又不是偶函数；第 二问是求最值的题目，先判断函数的单调性再求最值 【解答】解：（1）当 a=0 时，函数 f（x）= （x） 2+|x|+1=f （x） 此时，f（x）为偶函数 当 a0 时，f（a ）=a 2+1，f （a）=a 2+2|a|+1，f （a） f（a） ，f （a）f（a） 此时 f（x）既不是奇函数，也不是偶函数 （2）当 xa 时， 当 ，则函数 f（x）在（ ，a上单调递减，从而函数 f（x）在（，a上的最小 值为 f（a）=a 2+1 若 ，则函数 f（x）在（ ，a上的最小值为 ， 且 当 xa 时，函数 若 ，则函数 f（x）在a，+）上的最小值为 ； 若 ，则函数 f（x）在a，+）上单调递增，从而函数 f（x）在a ，+）上的最小 值为 f（a）=a 2+1 综上，当 时，函数 f（x）的最小值为 当 时，函数 f（x）的最小值为 a2+1 当 时，函数 f（x）的最小值为 第 16 页（共 17 页） 【点评】本题为函数的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知识点之一；而求最值时需要 注意的是先判断函数的单调性 第 17 页（共 17 页） 2016 年 2 月 4 日
