1、安徽省亳州市蒙城县 2015 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1在等腰直角三角形 ABC 中， C=90，则 sinA 等于（） A B C D 1 2抛物线 y=（x3） 2+8 的对称轴是（） A 直线 x=8 B 直线 x=8 C 直线 x=3 D 直线 x=3 3下列函数中，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小的是（） A y=3x B y= C y= D y=2x2 4在 RtABC 中， C=90， B=35，AB=7，则 BC 的长为（） A B 7sin55 C cos55 D tan55 5已知一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y
2、= 图象交于 M、N 两点，则不等式 ax+b 解集为（） A x2 B 1x0 C 1x0 或 0x2 D x2 或1x0 6如图所示，将ABC 的三边分别扩大一倍得到 A1B1C1， （顶点均在格点上） ，它们是以 P 点为位似 中心的位似图形，则 P 点的坐标是（） A （4，3） B （3，3） C （4，4） D （ 3，4） 7如图，AB 是 O 的弦，半径 OA=2，AOB=120，则弦 AB 的长是（） A B C D 8如图，ABC 中，点 D 在线段 AB 上，且 BAD=C，则下列结论一定正确的是（） A AB2=ACBD B ABAD=BDBC C AB2=BCBD D
3、 ABAD=BDCD 9如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1） b24ac0；（2 ）c 1；（3） 2ab0；（4）a+b+c0，其中错误的有（） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 10小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点 B 跑到点 C，共用 时 30 秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翔跑步的时间为 t（单位：秒） ， 他与教练的距离为 y（单位：米） ，表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定位置可 能是图 1 中的（） A 点 M B 点
4、 N C 点 P D 点 Q 二、填空题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 11已知，如图，O 是ABC 的外接圆，ODAC 交圆于 D，连接 AD，CD，BD， ABD=50则 DBC= 12已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0，a ，b，c 为常数） ，对称轴为直线 x=1，它的部分自变量与函数值 y 的对应值如下表，写出方程 ax2+bx+c=0 的一个正数解的近似值（精确到 0.1） x 0.1 0.2 0.3 0.4 y=ax2+bx+c 0.58 0.12 0.38 0.92 13如图，已知菱形 OABC，点 C 在 x 轴上，直线 y=x 经过点 A，菱形
5、OABC 面积是 ，若反比例 函数图象经过点 B，则此反比例函数表达式为 14已知如图，P 为 ABC 中线 AD 上一点，AP：PD=2：1，延长 BP、CP 分别交 AC、AB 于 E、F， EF 交 AD 于 Q （1）FQ=EQ； （2）FP：PC=EC：AE； （3）FQ：BD=PQ ：PD ； （4）S FPQ：S DCP=SAEF：S ABC， 上述结论中，正确的有（填上你认为正确的结论前的序号） 三、 （本题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分） 15求值： sin60+2sin30tan30tan45 16已知抛物线 y=2x2x+6 （1）用配方法确定它的顶点坐标、
6、对称轴； （2）x 取何值时，y0？ 四、 （本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 17如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后， ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（4，1） （1）把ABC 绕着原 点 O 逆时针旋转 90得A 1B1C1，画出 A1B1C1，并写出 C1 的坐标 （2）若ABC 中的一点 P（a，b） ，在中变换下对应A BC中为 P点，请直接写出点 P的坐标（用 含 a、b 的代数式表示） 18如图，已知 AB 是 O 的直径，点 C、D 在O 的上，点 E 在O 的外， EAC=D=60 （1）求ABC
7、的度数； （2）求证：AE 是O 的切线 五、 （本题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19如图，已知直线 y= x 与双曲线 y= （k0）交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4 （1）求 k 的值； （2）若双曲线 y= （k0）上一点 C 的纵坐标为 8，求 BOC 的面积 20如图，己知：RtABC 中， BAC=9O，ADBC 于 D，E 是 AC 的中点，ED 交 AB 延长线于 F， 求证： ABDCAD； AB：AC=DF：AF 六、 （本题满分 12 分 ） 21已知：如图，斜坡 AP 的坡度为 1：2.4，坡长 AP 为 26 米，在坡顶 A 处的同一
8、水平面上有一座古 塔 BC，在斜坡底 P 处测得该塔的塔顶 B 的仰角为 45，在坡顶 A 处测得该塔的塔顶 B 的仰角为 76求： （1）坡顶 A 到地面 PQ 的距离； （2）古塔 BC 的高度（结果精确到 1 米） （参考数据：sin760.97，cos760.24，tan764.01） 七、 （本题 12 分） 22如图所示，在ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm ，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速 度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动时间为 x （1）当 x 为何值时，PQBC； （2
9、）当 ，求 的值； （3）APQ 能否与CQB 相似？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由 23农产品的供销具有一定的季节性，在某段时间内，某农资市场西红柿的供给价格（批发价）和零 售价格以及市场需要量随时间 的变化如表所示： 时间 t/月 三月 四月 五月 六月 七月 八月 市场需要量 Q/吨每天 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 供给价格 y1/元每千克 5 4.8 4.6 4.4 4.2 4 零售价格 y2/元每千克 7.2 6.9 6.6 6.3 6 5.7 求：（1）此阶段市场需要量 （Q/吨）与时间（t/月）之间的函数关系式； （2）每千克西红柿的利润（y/ 元）与时间
10、（t/月）之间的函数关系式；（每千克利润=零售价一供给价） （3）商户在几月份经营西红柿能获的最大收益 安徽省亳州市蒙城县 2015 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1在等腰直角三角形 ABC 中， C=90，则 sinA 等于（） A B C D 1 考点： 特殊角的三角函数值 分析： 根据等腰直角三角形的性质及特殊角的三角函数值解答 解答： 解：ABC 是等腰直角三角形，C=90， A=45，sinA= 故选 B 点评： 本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在 2015 届中考中经常出现，题型 以选择题、填空题为主 2抛物线 y=（x
11、3） 2+8 的对称轴是（） A 直线 x=8 B 直线 x=8 C 直线 x=3 D 直线 x=3 考点： 二次函数的性质 分析： 利用二次函数的性质求解即可 解答： 解：抛物线 y=（x3） 2+8 的对称轴是 x=3 故选：C 点评： 本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质 3下列函 数中，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小的是（） A y=3x B y= C y= D y=2x2 考点： 二次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质 分析： 利用一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质判定即可 解答： 解：A、y=3x ，y 随 x 的增大而增大
12、，故本选项错误， B、y= ，y 随 x 的增大而减小，故本选项正确， C、y= ，y 随 x 的增大而增大，故本选项错误， D、y=2x 2，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，故本选项错误， 故选：B 点评： 本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质，解题的关键是熟记 一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质 4在 RtABC 中， C=90， B=35，AB=7，则 BC 的长为（） A B 7sin55 C cos55 D tan55 考点： 锐角三角函数的定义 分析： 根据互为余角三角函数，可得A 的度数，根据
13、角的正弦，可得答案 解答： 解：由A=9035 =55， 由正弦函数的定义，得 sin55= ， BC=ABsin55=7sin55， 故选：B 点评： 本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边， 正切为对边比邻边 5已知一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= 图象交于 M、N 两点，则不等式 ax+b 解集为（） A x2 B 1x0 C 1x0 或 0x2 D x2 或1x0 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题 分析： 根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的 x 的取值范围即可 解答： 解：由图可知，x2 或1x0 时，ax+
14、b 故选 D 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键 6如图所示，将ABC 的三边分别扩大一倍得到 A1B1C1， （顶点均在格点上） ，它们是以 P 点为位似 中心的位似图形，则 P 点的坐标是（） A （4 ，3） B （3，3） C （ 4，4） D （3，4） 考点： 位似变换 专题： 压轴题；网格型 分析： 作直线 AA1、BB 1，这两条直线的交点即为位似中心 解答： 解：由图中可知，点 P 的坐标为（4，3） ，故选 A 点评： 用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心 7如图，AB 是 O 的弦，半径 OA=2，AOB=120，则
15、弦 AB 的长是（） A B C D 考点： 垂径定理；解直角三角形 分析： 过 O 作弦 AB 的垂线，通过构建直角三角形求出弦 AB 的长 解答： 解：过 O 作 OCAB 于 C 在 RtOAC 中，OA=2， AOC= AOB=60， AC=OAsin60= ， 因此 AB=2AC=2 故选 B 点评： 此题主要考查了垂径定理及解直角三角形的应用 8如图，ABC 中，点 D 在线段 AB 上，且 BAD=C，则下列结论一定正确的是（） A AB2=ACBD B ABAD=BDBC C AB2=BCBD D ABAD=BDCD 考点： 射影定理 分析： 先证明BADBCA，则利用相似的性
16、质得 AB：BC=BD ：AB，然后根据比例性质得到 AB2=BCBD 解答： 解：BAD= C， 而ABD=CBA， BADBCA， AB：BC=BD ：AB， AB2=BCBD 故选 C 点评： 本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每 一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项也考查了相似三角形的判定与性质 9如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1） b24ac0；（2 ）c 1；（3） 2ab0；（4）a+b+c0，其中错误的有（） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点：
17、 二次函数图象与系数的关系 专题： 压轴题 分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根 据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解答： 解：（1）图象与 x 轴有 2 个交点，依据根的判别式可知 b24ac0，正确； （2）图象与 y 轴的交点在 1 的下方，所以 c1，错误； （3）对称轴在 1 的右边， 1，又 a0， 2ab 0，正确； （4）当 x=1 时，y=a+b+c 0，正确； 故错误的有 1 个 故选：A 点评： 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与
18、 b 的关系，以及 二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 10小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点 B 跑到点 C，共用 时 30 秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翔跑步的时间为 t（单位：秒） ， 他与教练的距离为 y（单位：米） ，表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定位置可 能是图 1 中的（） A 点 M B 点 N C 点 P D 点 Q 考点： 动点问题的函数图象 专题： 应用题；压轴题 分析： 分别假设这个位置在点 M、N、P 、Q，然后结合函数图象进行判断利用排除法即可得出答 案 解
19、答： 解：A、假设这个位置在点 M，则从 A 至 B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象 不符，故本选项错误； B、假设这个位置在点 N，则从 A 至 C 这段时间，A 点与 C 点对应 y 的大小应该相同，与函数图象不 符，故本选项错误； C、 ， 假设这个位置在点 P，则由函数图象可得，从 A 到 C 的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等 于经过 30 秒时教练到小翔的距离，而点 P 不符合这个条件，故本选项错误； D、经判断点 Q 符合函数图象，故本选项正确； 故选：D 点评： 此题考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各点位置的可能性，点 P 的位置 不好排除
20、，同学们要注意仔细观察 二、填空题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 1 1已知，如图，O 是ABC 的外接圆，OD AC 交圆于 D，连接 AD，CD，BD，ABD=50 则 DBC=50 考点： 圆周角定理；垂径定理 分析： 由 ODAC，根据垂径定理的即可得 = ，然后由圆周角定理可求得 DBC 的答案 解答： 解：OD AC， = ， DBC=ABD=50 故答案为：50 点评： 此题考查了圆周角定理与垂径定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 12已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0，a ，b，c 为常数） ，对称轴为直线 x=1，它的部分自变量与函数值
21、y 的对应值如下表，写出方程 ax2+bx+c=0 的一个正数解的近似值 2.2（精确到 0.1） x 0.1 0.2 0.3 0.4 y=ax2+bx+c 0.58 0.12 0.38 0.92 考点： 图象法求一元二次方程的近似根 分析： 根据表格数据找出 y 的值接近 0 的 x 的值，再根据二次函数的对称性列式求解即可 解答： 解：由表可知，当 x=0.2 时，y 的值最接近 0， 所以，方程 ax2+bx+c=0 一个解的近似值为 0.2， 设正数解的近似值为 a， 对称轴为直线 x=1， =1， 解得 a=2.2 故答案为：2.2 （答案不唯一，与其相近即可） 点评： 本题考查了图
22、象法求一元二次方程的近似根，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表中 数据确定出 y 值最接近 0 的 x 的值是解题的关键 13如图，已知菱形 OABC，点 C 在 x 轴上，直线 y=x 经过点 A，菱形 OABC 面积是 ，若反比例 函数图象经过点 B，则此反比例函数表达式为 y= 考点： 菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式 分析： 过点 A 作 ADOC 于 D，设菱形的边长为 a，求出 AD=OD= a，再根据菱形的面积列出方 程求出 a 的值，然后写出点 B 的坐标，利用待定系数法求反比例函数解析式解答 解答： 解：如图，过点 A 作 ADOC 于 D，设菱形的边长为 a，
23、直线 y=x 经过点 A， AD=OD= a， 菱形 OABC 面积=a a= ， 解得 a= ， a= =1， 点 B 的坐标为（ +1，1） ， 设反比例函数解析式为 y= ， 则 =1， 解得 k= +1， 所以，反比例函数表达式为 y= 故答案为：y= 点评： 本题考查了菱形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，根据直线解析式求出点 A 到 x 轴 的距离是解题的关键 14已知如图，P 为 ABC 中线 AD 上一点，AP：PD=2：1，延长 BP、CP 分别交 AC、AB 于 E、F， EF 交 AD 于 Q （1）FQ=EQ； （2）FP：PC=EC：AE； （3）FQ：BD=PQ
24、 ：PD ； （4）S FPQ：S DCP=SAEF：S ABC， 上述结论中，正确的有（1） （3） （4） （填上你认为正确的结论前的序号） 考点： 相似三角形的判定与性质 分析： 首先延长 PD 到 M，使 DM=PD，连接 BM、CM，易得四边形 BPCM 是平行四边形，然后由 平行线分线段成比例定理，证得 AE：AC=AP：AM ，AF：AB=AP：AM，继而证得 EFBC；然后由相 似三角形的性质，证得结论 解答： 解：延长 PD 到 M，使 DM =PD，连接 BM、CM， AD 是中线， BD=CD， 四边形 BPCM 是平行四边形， BPMC，CPBM， 即 PEMC，PFB
25、M ， AE：AC=AP：AM，AF ：AB=AP ：AM， AF：AB=AE：AC， EFBC； AFQABD，AEQACD， FQ：BD=EQ：CD， FQ=EQ，故（1）正确； PEFPBC，AEF ACB， PF：PC=EF：BC ，EF：BC=AE：AC， PF：PC=AE：AC，故（2）错误； PFQPCD， FQ：CD=PQ ：PD， FQ：BD=PQ ：PD；故（3）正确； SFPQ：S DCP=（ ） 2=（ ） 2=（ ） 2，S AEF：S ABC=（ ） 2， SFPQ：S DCP=SAEF：S ABC故（4）正确 故答案为：（1） （3） （4） 点评： 此题考查了相
26、似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质与判 定此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 三、 （本题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分） 15求值： sin60+2sin30tan30tan45 考点： 特殊角的三角函数值 分析： 直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可 解答： 解： sin60+2sin30tan30tan45 = +2 1 = 点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 16已知抛物线 y=2x2x+6 （1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； （2）x 取何值时，y0？ 考点： 二次函数的
27、三种形式 分析： （1）用配方法时，先提二次项系数，再配方，写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐 标及对称轴； （2）令 y=0，确定函数图象与 x 轴的交点，结合开口方向判断 x 的取值范围 解答： 解：（1）y= 2x2x+6=2（x 2+ x+ ）+ +6=2（x+ ） 2+ ， 顶点坐标（ ， ） ， 对称轴是直线 x= ； （2）令 y=0，即 2x2x+6=0， 解得 x=2 或 ， 抛物线开口向下， 当 x 2 或 x 时，y0 点评： 本题考查了二次函数的三种形式，抛物线的顶点式适合于确定抛物线的开口方向，顶点坐标， 对称轴，最大（小）值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定
28、函数值 y0，y=0，y0 四、 （本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 17如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后， ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（4，1） （1）把ABC 绕着原点 O 逆时针旋转 90得A 1B1C1，画出 A1B1C1，并写出 C1 的坐标 （2）若ABC 中的一点 P（a，b） ，在中变换下对应A BC中为 P点，请直接写出点 P的坐标（用 含 a、b 的代数式表示） 考点： 作图-旋转变换 分析： （1）根据图形旋转的性质画出A 1B1C1，并写出 C1 的坐标即可； （2）根据（1）中 C 点
29、坐标找出规律即可得出结论 解答： 解：（1）如图所示，C 1 的坐标（1，4） （2）C（4，1） ，C 1（1，4） ， P（b，a） 点评： 本题考查的是作图 旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键 18如图，已知 AB 是 O 的直径，点 C、D 在O 的上，点 E 在 O 的外，EAC=D=60 （1）求ABC 的度数； （2）求证：AE 是O 的切线 考点： 切线的判定 专题： 证明题 分析： （1）直接根据圆周角定理求解； （2）根据圆周角定理，由 AB 是O 的直径得 ACB=90，则利用互余可计算出BAC=30 ，于是得到 BAE=BAC+EA=90，然后根据切线的
30、判定定理得到结论 解答： （1）解：D=60， ABC=D=60； （2）证明：AB 是O 的直径， ACB=90， BAC=9060=30， BAE=BAC+EAC=30+60=90， BAAE， AE 是O 的切线 点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某 线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可也考查了圆周角 定理 五、 （本题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19如图，已知直线 y= x 与双曲线 y= （k0）交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4 （1）求 k 的值； （2）若双
31、曲线 y= （k0）上一点 C 的纵坐标为 8，求 BOC 的面积 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题 分析： （1）根据正比例函数先求出点 A 的坐标，从而求出了 k 值为 8； （2）根据 k 的几何意义可知 SCOE=SBOF，所以 S 梯形 CEFB=SBOC=15 解答： 解：（1）点 A 横坐标为 4， 由 y= x 可知当 x=4 时，y=2 点 A 的坐标为（4，2） 点 A 是直线 y= x 与双曲线 y= （k0）的交点， k=42=8 （2）如图， 过点 C、B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 E、F， 点 C 在双曲线 y= 上，当 y=8 时，x=1 点 C 的坐标
32、为（1，8） 点 A 的坐标为（4，2） B（ 4，2） ， 点 C、B 都在双曲线 y= 上， SCOE=SBOF=4 SCOE+S 梯形 CEFB=SCOB+SBOF SCOB=S 梯形 CEFB S 梯形 CEFB= （2+8） 3=15， SBOC=15 点评： 主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数 y= 中 k 的几何意义这里体现 了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义 20如图，己知：RtABC 中， BAC=9O，ADBC 于 D，E 是 AC 的中点，ED 交 AB 延长线于 F， 求证： ABDCAD； AB：AC=DF：AF 考点： 相似三
33、角形的判定与性质 专题： 证明题 分析： （1）由 RtABC 中， BAC=9O，A DBC，易得BAD= ACD，又由ADB= ADC，即可 证得ABD CAD； （2）由ABD CAD，即可得 ，易证得AFDDFB，可得 ，继而证得结论 解答： 证明：（1）AD BC， ADB=ADC=90， BAD+DAC=90， DAC+ACD=90， BAD=ACD， ADB=ADC， ABDCAD； （2）ABD CAD， ， E 是 AC 中点，ADC=90 ， ED=EC， ACD=EDC， EDC=BDF， ACD=BAD， BAD=BDF， AFD=DFB， AFDDFB， ， 点评：
34、此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形 结合思想的应用 六、 （本题满分 12 分） 21已知：如图，斜坡 AP 的坡度为 1：2.4，坡长 AP 为 26 米，在坡顶 A 处的同一水平面上有一座古 塔 BC，在斜坡底 P 处测得该塔的塔顶 B 的仰角为 45，在坡顶 A 处测得该塔的塔顶 B 的仰角为 76求： （1）坡顶 A 到地面 PQ 的距离； （2）古塔 BC 的高度（结果精确到 1 米） （参考数据：sin760.97，cos760.24，tan764.01） 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析：
35、 （1）过点 A 作 AHPQ，垂足为点 H，利用斜坡 AP 的坡度为 1：2.4，得出 AH，PH ，AP 的 关系求出即可； （2）利用矩形性质求出设 BC=x，则 x+10=24+DH，再利用 tan76= ，求出即可 解答： 解：（1）过点 A 作 AHPQ，垂足为点 H 斜坡 AP 的坡度为 1：2.4， = ， 设 AH=5km，则 PH=12km， 由勾股定理，得 AP=13km 13k=26m 解得 k=2 AH=10m 答：坡顶 A 到地面 PQ 的距离为 10m （2）延长 BC 交 PQ 于点 D BCAC，AC PQ， BDPQ 四边形 AHDC 是矩形，CD=AH=1
36、0，AC=DH BPD=45， PD=BD 设 BC=x，则 x+10=24+DHAC=DH=x14 在 RtABC 中，tan76 = ，即 4.0， 解得 x= ，即 x19， 答：古塔 BC 的高度约为 19 米 点评： 此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关 键 七、 （本题 12 分） 22如图所示，在ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm ，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速 度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动时间为 x （1）当 x 为何值时
37、，PQBC； （2）当 ，求 的值； （3）APQ 能否与CQB 相似？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由 考点： 相似三角形的判定与性质；平行线的性质 专题： 代数几何综合题；压轴题；分类讨论 分析： （1）当 PQBC 时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于 AP，PQ，AB，AC 的比例 关系式，我们可根据 P，Q 的速度，用时间 x 表示出 AP，AQ，然后根据得出的关系式求出 x 的值 （2）我们先看当 时能得出什么条件，由于这两个三角形在 AC 边上的高相等，那么他们的 底边的比就应该是面积比，由此可得出 CQ：AC=1：3，那么 CQ=10cm，此时时间 x 正好是（
38、1）的结 果，那么此时 PQBC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形 APQ 和 ABC 的面积比，然后再根 据三角形 PBQ 的面积=三角形 ABC 的面积 三角形 APQ 的面积 三角形 BQC 的面积来得出三角形 BPQ 和三角形 ABC 的面积比 （3）本题要分两种情况进行讨论已知了A 和C 对应相等，那么就要分成 AP 和 CQ 对应成比例以 及 AP 和 BC 对应成比例两种情况来求 x 的值 解答： 解：（1）由题意得，PQ 平行于 BC，则 AP：AB=AQ：AC，AP=4x ，AQ=30 3x = x= （2）S BCQ：S ABC=1：3 CQ：AC=1：3，CQ=10
39、cm 时间用了 秒，AP= cm， 由（ 1）知，此时 PQ 平行于 BC APQABC，相似比为 ， SAPQ：S ABC=4：9 四边形 PQCB 与三角形 ABC 面积比为 5：9，即 S 四边形 PQCB= SABC， 又 SBCQ：S ABC=1：3，即 SBCQ= SABC， SBPQ=S 四边形 PQCBSBCQ SABC SABC= SABC， SBPQ：S ABC=2：9= （3）假设两三角形可以相似 情况 1：当APQ CQB 时，CQ：AP=BC：AQ，即有 = 解得 x= ， 经检验，x= 是原分式方程的解 此时 AP= cm， 情况 2：当APQ CBQ 时，CQ：A
40、Q=BC ：AP，即有 = 解得 x=5， 经检验，x=5 是原分式方程的解 此时 AP=20cm 综上所述，AP= cm 或 AP=20cm 点评： 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关 键 23农产品的供销具有一定的季节性，在某段时间内，某农资市场西红柿的供给价格（批发价）和零 售价格以及市场需要量随时间的变化如表所示： 时间 t/月 三月 四月 五月 六月 七月 八月 市场需要量 Q/吨每天 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 供给价格 y1/元每千克 5 4.8 4.6 4.4 4.2 4 零售价格 y2/元每千克 7.2 6.9 6.6
41、 6.3 6 5.7 求：（1）此阶段市场需要量 （Q/吨）与时间（t/月）之间的函数关系式； （2）每千克西红柿的利润（y/ 元）与时间（t/月）之间的函数关系式；（每千克利润=零售价一供给价） （ 3）商户在几月份经营西红柿能获的最大收益 考点： 二次函数的应用 分析： （1）利用待定系数法求一次函数解析式得出（Q/吨）与时间（t/月）之间的函数关系式； （2）利用待定系数法求一次函数解析式得出 y1，y 2 解析式，进而得出 y=y2y1 求出即可； （3）利用 P=1000yQ 进而求出函数最值即可 解答： 解：（1）由表上数据可知，此阶段市场需要（Q/吨）与时间（t/月）之间满足一次
42、函数关系， 可设其关系式为：Q= k1t+b1，不妨取两组对应数据 t=3 时，Q=1；t=8 时，Q=2 得： ， 解得： ， （ Q/吨）与时间（t/月）之间的函数关系式为：Q= t+ ； （2）设 y1=kx+b，则 ， 解得： 故 y1=0.2t+5.6， 设 y2=ax+c，则 ， 解得： ， 故 y2=0.3t+8.1， y=y2y1=0.1t+2.5； （3）设收益为 P，则 P=1000yQ=1000（0.1t+2.5） （0.2t+0.4）=20t 2+460t+1000， 此函数的对称轴为 t=11.5， 当 t=8 时，收益最大为 1000（0.02 64+0.468+1）=3400（元） 点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出 P 与 t 的 函数关系式是解题关键
