1、第 5 题图 福建师大附中 20122013 学年度上学期期末考试 高二数学理试题 本试卷共 4 页 满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项：试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答 案卷. 第 I 卷 共 60 分 一、选择题：本大题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求. 1命题“ ， ”的否定是0xR20x A ， B xR， 20x C ， 2 D ， 2下列有关命题的说法正确的是 A命题“若 1x，则 ”的否命题为“ 若 21，则 ” B命题“若 y，则 2”的逆否命题是假命题 C
2、命题“若 ，则 全不为 0”为真命题20ab,ab D命题“若 ”，则 ”的逆命题为真命题cos 3抛物线 的焦点坐标为2xy A B C D)0,41(a)0,4(a)41,0(a)4,0(a 4已知正方体 中，点 为上底面 的中心，若1CDAE1A ，则 的值是1Exy,xy A B C D,22,2xy1,xy 5如图，在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E 是 C1D1 的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余 弦值为 第 10 题图 A E B C G D F B A D C A B C. D. 1012012010 6过点 ，且与 有相同渐近线的双曲线方程 是(2,)Pxy
3、 A B C D14yx142142yx124xy 7 “方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是 2m-3 A B C D 112m3m13m 8已知 的顶点 、 分别为双曲线 的左右焦点，顶点 在双曲PA2:169xyP 线 上，C 则 的值等于 sinB A B C D7745445 9已知抛物线 上的焦点 ，点 在抛物线上，点 ，则要使xy2FP1,2A 的值最小的点 的坐标为|PF A B C D1,41,4, 2, 10如图，已知正方形 的边长为 ， 分别是 的ACDEF、 B、 中点， 平面 ，且 ，则点 到平面 的距G2GG 离为 A B C D11015
4、3 11如图，椭圆 2(0)xyab 的四个顶点 构成,B 的四边形为菱形，若菱形 的内切圆恰好过焦点，则椭圆AD 的离心率是 y O x 第 11 题图 第 17 题图 A 352 B 358 C 512 D 514 12双曲线 的实轴长和焦距分别为1yx A B C D,2, ,42, 第卷 共 90 分 二、填空题：本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在答卷的相应位置. 13已知向量 ， ，且 与 垂直，则 等于 * .(1,0)a (,3)bkR()abk 14设 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，且 ，则1F224xyP120FP 的面积为 * .12P 1
5、5已知抛物线 ， 为其焦点， 为抛物线上的任意点，则线段 中点的轨迹8yxF 方程是* . 16有一抛物线形拱桥，中午 点时，拱顶离水面 米，桥下的水面宽 米；下午 点，12242 水位下降了 米，桥下的水面宽 * 米. 17如图，甲站在水库底面上的点 处，乙站在水坝斜面D 上的点 处，已知测得从 到库底与水坝的交线CC、 的距离分别为 米、 米， 的长102A10BA 为 米， 的长为 米，则库底与水坝所成的二106 面角的大小为 * 度. 18已知平面 经过点 ，且 是它的一个法向量. 类比曲线方程的定义(1,)(1,23)n 以及求曲线方程的基本步骤，可求得平面 的方程是 * . 三、解
6、答题：本大题有 5 题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19（本小题满分 12 分） 在如图的多面体中， 平面 ， , ， ，EFABE/ADF/EBC ， ， ， 是 的中点24BCAD32GC () 求证： 平面 ；/ () 求二面角 的余弦值. DFEBGC 20 （本小题满分 10 分） 已知抛物线 与直线 交于 两点.2:4Cyx24yxAB, ()求弦 的长度；AB ()若点 在抛物线 上，且 的面积为 ，求点 P 的坐标.PP1 21(本小题满分 12 分) 已知双曲线 C 与椭圆 有相同的焦点，实半轴长为 .1482yx 3 ()求双曲线 的方程； ()
7、若直线 与双曲线 有两个不同的交点 和 ,且2:kxyl CAB2O (其中 为原点),求 的取值范围. O 22(本小题满分 12 分) 如图，在平行四边形 ABCD中， 01,2,9BAD，将它们沿对角线BD 折起，折后的点 变为 1，且 学科网1 ()求证：平面 平面 ； () E为线段 1AC上的一个动点，当线段 1EC的 长为多少时, D与平面 1B所成的角为 03？ 学科网 23 （本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆 ， 是椭圆 的顶点，若椭圆 的 2:1(0)xyCab12,ABCC xzyADFEBGC 离心率 ，且过点 . 32e2(,) ()求椭圆 的方程；C ()作直
8、线 ，使得 ，且与椭圆 相交于 两点（异于椭圆 的顶点） ，l21/lABCPQ、 C 设直线 和直线 的倾斜角分别是 ，求证： .1PQ, 参考答案 一、选择题：112 ：BDCADB ADABCC 二、填空题： 13 14 15. 16 17 18. 7124yx261352360xyz 三、解答题： 19解 : ()证法一： ， ./,/ADEFBC/AD 又 , 是 的中点， ，2BCGG 四边形 是平行四边形， . / 平面 ， 平面 ， 平面 ./E 证法二： 平面 ， 平面 ， 平面 ，EFABEABB ， ，又 , 两两垂直 . ,F 以点 E 为坐标原点， 分别为 轴建立如图
9、的空间,xyz 直角坐标系.由已知得， （0，0 ，2） ， （2 ，0，0 ） ， （2，4 ，0） ， （0，3，0） ， （0 ，2，2 ） ， （2，2，0 ）CFDG2,4,6 ,(0,2)(,0)(2)EDGAB 设平面 的法向量为 ,nxyz 则 ，即 ，令 ,得 .0nE 201(,1)n ，即 . ABABn 平面 , 平面 .DG/DEG ()由已知得 是平面 的法向量. (20)E F 设平面 的法向量为 ， ，CF0(,)nxyz (0,12)(,0)FC ，即 ，令 ,得 .0Dn 0200,n 则 ， 二面角 的余弦值为 06cos,EB CDFE6. 20解：()
10、 设 A（x 1,y1)、B(x 2,y2), 由 得 x2-5x+4=0,0. 2 4y 法一：又由韦达定理有 x1+x2=5,x1x2= ,4 |AB|= =21|21()521635,x 法二：解方程得：x=1 或 4，A 、B 两点的坐标为（1,-2)、 （4,4） |AB|= 22(4)()35, ()设点 ,设点 P 到 AB 的距离为 d,则oy ,SPAB= =12， 245od215324oy . ，解得 或 28oy 8oy6oy4o y z x P 点为（9，6）或（4，-4）. 21 解： ()设双曲线的方程为 , , ,)0,(12bayx 23ca1b 故双曲线方程
11、为 .32yx ()将 代入 得ky120926)3(2kxk 由 得 且031 2,322k 设 ,则由 得)(),(21yxBAOBA =)2)(121 kxyx 2)(2)1(1xkxk ,得3639)( 22k .32 又 ， ,即21k21)1,(),( 22 () 221111ACABCB 又 BD， ,D平 面1平 面A平 面 平面 平面BD1C （）在平面 1过点 B 作直线 ,分别直线 为 x，y，z 建立空间直角坐lD,lBA 标系 B-xyz 则 A(0,0,1)，C 1(1, ,0)，D(0, ,0)2 ),12,0(),12,(1 ADAC)1,0(BA 设 ，则 1
12、(,)E(,),E,2,(D 又 是平面 BC1D 的一个法向量 X |k |B| 1 . c| O |m),0(BA 依题意得 ，即sin3|cos,|BAE22| |3() 解得 ，即 1|C时， D与平面 1BC所成的角为 032 23. 解： （）由已知得： ， 椭圆 C 的方程为22 31cabc,1ab214xy （）由（）知： ， ，1(,0)A2(,)1(0,)B21/lB21lBk 故可设直线 的方程为 ，设 ，yxm1(,)Pxy2(,)Q 由 得 214xy220 ，即 ,22()0mAm2121,xxm 异于椭圆 C 的顶点， , ,PQ,2 ，1tan2APykx12tanBQykx212()1tt1 2121()xyyx ，112yxm22yxtant211221()()()xmx 121()()mx 21()x0 tanttan()0 又 ， ,故 .,0,(2)
