1、安徽省安庆市宿松县 2015 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得 4 分，不选、 选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得 0 分 1sin30 的值是（） A B C D 1 2抛物线 y=（x2） 2+3 的顶点坐标是（） A （2，3） B （2，3） C （2， 3） D （2 ，3） 3若反比例函数 y= ，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是（） A k2 B k
2、2 C k2 D k2 4在 44 网格中， 的位置如图所示，则 tan 的值为（） A B C 2 D 5如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，添加下列一个条件仍不能判断ADB 与ABC 相似的是（） A ABD=C B ADB=ABC C BC2=CDAC D AB2=ADAC 6在 RtABC 中， C=90， AB=10，tanA= ，则 AC 的长是（） A 3 B 4 C 6 D 8 7反比例函数 y= 的图象如图所示，则二次函数 y=x2kx+k 的大致图象是（） A B C D 8如图，菱形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点，连接 CE，CF，EF ，若
3、四边形 ABCD 的面积是 40cm2，则CEF 的面积为（） A 5cm2 B 10cm2 C 15cm2 D 20cm2 9二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为 x=1，下列结论中： ac0；2a+b=0； b24ac0； ab+c0正确的是（） A B C D 10如图，在等边ABC 的边长为 2cm，点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度向点 C 移动，同时点 Q 从 点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 ABBC 的方向向点 C 移动，若APQ 的面积为 S（cm 2） ，则下列最能反 映 S（cm 2）与移动时间 t（s）之间函数关系的大致图象
4、是（） A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11请写一个二次函数，使它满足下列条件： （1）函数的图象可由抛物线 y=x2 平移得到； （2）当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 你的结果是 12如图，点 A 是反比例函数 y= 图象上的一点，过点 A 作 ABx 轴于点 B，连接 OA，若 OAB 的 面积为 3，则 k 的值为 13 如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡度 i=3：4，坝高 BC=4.5m，则坡面 AB 的长度为 m 14如图，四边形 ABCD、CEFG 都是正方形，点 G 在线段 CD 上，连接 BG、DE，DE 和 FG 相
5、交于 点 O设 AB=a，CG=b（a b） 下列结论： BGDE； ；BCGEFO； 其中正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15计算：2 2 cos602sin45+|1 | 16已知抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴是直线 x=1，且经过点（2，3） ，求这个二次函数的表达式 四、 （本大题共 2 小题 ，每小题 8 分，满分 16 分） 17如图 ，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按 要求完成下面的问题： （1）以图中的点 O 为位似中心，将 ABC 作位
6、似变换且同向放大到原来的两倍，得到A 1B1C1； （2）若ABC 内一点 P 的坐标为（a，b） ，则位似变化后对应的点 P的坐标是 18平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在坐标轴上，顶点 B 在第一象限内，如图所示， 且 OA=a，OC=b请根据下列操作，完成后面的问题 【操作】 （1）连接 AC，OB 相交于点 P1，则点 P1 的纵坐标为； （2）过点 P1 作 P1Dx 轴于点 D，连接 BD 交 AC 于点 P2，则点 P2 的纵坐标为； （3）过点 P2 作 P2Ex 轴于点 E，连接 BE 交 AC 于点 P3，则点 P3 的纵坐标为； 【问题】 （1）过点
7、 P3 作 P3Fx 轴于点 F，连接 BF 交 AC 于点 P4，直接写出点 P4 的纵坐标； （2）按照上述操作进行下去，猜想点 Pn（n 为正整数）的纵坐标是 （用含 n 的代数式表示） 五、 （本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19如图，AB、CD 为两个建筑物，建筑物 AB 的高度为 80m，从建筑物 AB 的顶部 A 点测得建筑物 CD 的顶部 C 点的俯角 EAC 为 30，测得建筑物 CD 的底部 D 点的俯角EAD 为 69 （1）求两建筑物两底部之间的水平距离 BD 的长度（精确到 1m） ； （参考数据：sin690.93，cos69 0.36，ta
8、n692.70） （2）求建筑物 CD 的高度（结果保留根号） 20如图，在菱形 ABCD 中，AC=6，BD=8 （1）求 sinABD （2）扬扬发现ABC=2 ABD，于是她推测：sinABC=2sinABD ，它的推测正确吗？请通过本题图 形中的数据予以说明 六、 （本题满分 12 分） 21如图，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=ax+b 的图象交于点 A（3，2）和 B（ 1，n） （1）试确定反比例函数与一次函数表达式； （2）求OAB 的面积 S； （3）结合图象，直接写出函数值 ax+b 时，自变量 x 的取值范围 七、 （本题满分 12 分） 22 “宿松家乐福超市”
9、 以每件 20 元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量 y（件）与售价 x（元/件）之间的函数关系如图： （1）求每天销售量 y（件）与售价 x（元/件）之间的函数表达式； （2）若该商品每天的利润为 w（元） ，试确定 w（元）与售价 x（元/ 件）的函数表达式，并求售价 x 为多少时，每天的利润 w 最大？最大利润是多少？ 八、 （本题满分 14 分） 23如图在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与 AB 重合） ，分别连接 EDEC，可以 把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB
10、 上的“相似点 ”；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“强相似点” 【试题再现】如图，在ABC 中， ACB=90，直角顶点 C 在直线 DE 上，分别过点 A，B 作 ADDE 于点 D，BEDE 于点 E求证： ADCCEB 【问题探究】在图中，若A=B=DEC=40 ，试判断点 E 是否四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点， 并说明理由； 【深入探究】如图，ADBC，DP 平分 ADC，CP 平分 BCD 交 DP 于点 P，过点 P 作 ABAD 于 点 A，交 BC 于点 B （1）请证明点 P 是四边形 ABCD 的边 AB 上的一个强
11、相似点； （2）若 AD=3，BC=5，试求 AB 的长； 安徽省安庆市宿松县 2015 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得 4 分，不选、 选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得 0 分 1sin30 的值是（） A B C D 1 考点： 特殊角的三角函数值 分析： 直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可 解答： 解：sin30= 故选：A 点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角
12、度的三角函数值是解答此题的关键 2抛物线 y=（x2） 2+3 的顶点坐标是（） A （2 ，3） B （2，3） C （2， 3） D （2，3） 考点： 二次函数的性质 分析： 直接根据二次函数的顶点式进行解答即可 解答： 解：抛物线的解析式为：y=（x2） 2+3， 其顶点坐标为（2，3） 故选 B 点评： 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键 3若反比例函数 y= ，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是（） A k 2 B k2 C k2 D k2 考点： 反比例函数的性质 分析： 根据反比例函数的性质列出关于 k 的不等式，求出 k
13、 的取值范围即可 解答： 解：反比例函数 y= ，当 x0 时 y 随 x 的增大而增大， k+20，解得 k2 故选：B 点评： 本题考查了反比例函数的性质对于反比例函数 y= ，当 k0 时，在每一个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小；当 k0 时，在每一个象限内，函数值 y 随自变量 x 增大而增大 4在 44 网格中， 的位置如图所示，则 tan 的值为（） A B C 2 D 考点： 锐角三角函数的定义 专题： 网格型 分析： 根据“角的正切值=对边邻边”求解即可 解答： 解：由图可得，tan =21=2 故选 C 点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含
14、义是解决此题的关键 5如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，添加下列一个条件仍不能判断ADB 与ABC 相似的是（） A ABD=C B ADB=ABC C BC2=CDAC D AB2=ADAC 考点： 相似三角形的判定 分析： 由A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得 C 与 D 正确；又由两组对应边 的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得 B 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题 中的应用 解答： 解：A 是公共角， 当 ABD=C 或ADB=ABC 时， ADBABC（有两角对应相等的三角形相似） ； 故 A 与 B 正确； 当 = ，即 AB2=ACAD
15、时，ADB ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相 似） ； 故 D 正确； 当 = ，即 BC2=CDAC 时，A 不是夹角，故不能判定ADB 与ABC 相似， 故 C 错误 故选 C 点评： 此题考查了相似三角形的判定此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两 组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用 6在 RtABC 中， C=90， AB=10，tanA= ，则 AC 的长是（） A 3 B 4 C 6 D 8 考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理 分析： 根据锐角三角函数正切等于对边比邻边，可得 BC 与 AC 的关系，根据勾股定理，可得 A
16、C 的 长 解答： 解：由 tanA= = ，得 BC=3x，CA=4x ， 由勾股定理，得 BC2+AC2=AB2，即（3x） 2+（4x） 2=100， 解得 x=2， AC=4x=42=8 故选：D 点评： 本题考查了锐角三角函数，利用了锐角三角函数正切等于对边比邻边，还利用了勾股定理 7反比例函数 y= 的图象如图所示，则二次函数 y=x2kx+k 的大致图象是（） A B C D 考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象 分析： 根据反比例函数图象判断出 k0，然后确定出抛物线的对称轴和开口方向以及与 y 轴的交点， 再选择答案即可 解答： 解：反比例函数 y= 的图象位于第二四象限
17、， k 0， 二次函数图象开口向上， 二次函数图象的对称轴为直线 x= = k0， x=0 时，y=k0， 所以，二次函数图象与 y 轴的负半轴相交， 纵观各选项，只有 B 选项图形符合 故选 B 点评： 本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，熟练掌握两函数图象的特征并确定出 k 的取值 是解题的关键 8如图，菱形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点，连接 CE，CF，EF ，若四边形 ABCD 的面积是 40cm2，则CEF 的面积为（） A 5cm2 B 10cm2 C 15cm2 D 20cm2 考点： 菱形的性质 分析： 如图，作辅助线；证明 ACBD，AO=CO
18、 （设为 ） ；证明 EF= BD，AO EF；由ABD AEF，得到 =2，进而得到 CM=1.5；运用面积公式即可解决问题 解答： 解：如图，连接 AC，分别交 EF、BD 于点 M、O； 四边形 ABCD 为菱形， ACBD，AO=CO （设 为 ） ； 点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点， EF 为ABD 的中位线， EFBD，EF= BD，AOEF； ABDAEF， =2， OM= OA=0.5，CM=1.5， ， SABCD=40， SEFC=15（cm 2） 故选 C 点评： 该题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识 点及其应用问题；
19、解题的关键是作辅助线；灵活运用菱形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形 的判定等知识点来分析、解答 9二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为 x=1，下列结论中： ac0；2a+b=0； b24ac0； ab+c0正确的是（） A B C D 考点： 二次函数图象与系数的关系 分析： 由抛物线开口方向得到 a0，由抛物线与 y 轴交点位置得到 c0，则可对进行判断；利用 抛物线的对称方程可对进行判断；由抛物线与 x 轴的交点个数可对进行判断；由于 x=1 时函数 值小于 0，则可对进行判断 解答： 解：抛物线开口向下， a0， 抛物线与 y 轴交点位于 y 轴正半轴
20、， c0， ac0，所以错误； 抛物线的对称轴为直线 x= =1， b=2a，即 2a+b=0，所以 正确； 抛物线与 x 轴有两个不同的交点， b24ac0，所以正确； x=1 时，y0， ab+c0，所以错误 故选 B 点评： 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，二次项系数 a 决定抛 物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开 口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异 号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常
21、数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c） ；抛 物线与 x 轴交点个数由决定： =b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； =b24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 10如图，在等边ABC 的边长为 2cm，点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度向 点 C 移动，同时点 Q 从 点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 ABBC 的方向向点 C 移动，若APQ 的面积为 S（cm 2） ，则下列最能反 映 S（cm 2）与移动时间 t（s）之间函数关系的大致图象是（） A B C D 考点：
22、动点问题的函数图象 分析： 当 0t2 和 2t4 时，分别求出函数解析式，根据函数的性质分析即可得出结论 解答： 解：当 0t2 时，S= ， 此函数抛物线开口向上，且函数图象为抛物 线右侧的一部分； 当 2t4 时， S= ， 此函数图象是直线的一部分，且 S 随 t 的增大而减小 所以符合题意的函数图象只有 C 故选：C 点评： 本题主要考查了动点问题的函数图形，分段讨论，求出函数表达式是解决问题的关键 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11请写一个二次函数，使它满足下列条件： （1）函数的图象可由抛物线 y=x2 平移得到； （2）当 x1 时，y 随
23、x 的增大而增大 你的结果是 y=x22x 或 y=x2x 考点： 二次函数图象与几何变换 专题： 开放型 分析： 可由抛物线 y=x2 平移得到的抛物线解析式中二次项系数是 1；当 x1 时，y 随 x 的增大而增 大，则对称轴小于 1 解答： 解：函数的图象可由抛物线 y=x2 平移得到，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 该函数的解析式为 y=x22x 或 y=x2x 故答案是：y=x 22x 或 y=x2x 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换注意，根据（2）可以得到对称轴小于 1 是解题的难 点 12如图，点 A 是反比例函数 y= 图象上的一点，过点 A 作 ABx 轴于
24、点 B，连接 OA，若 OAB 的 面积为 3，则 k 的值为 6 考点： 反比例函数系数 k 的几何意义 分析： 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值，即 S= |k| 解答： 解：根据题意可知：S AOB= |k|=3， 又反比例函数的图象位于第一象限，k0， 则 k=6 故答案为：6 点评： 本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线， 与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|本知识点是 2015 届中考的重要考点，同学们应高度关注 13 如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡度 i=3：4，坝高 B
25、C=4.5m，则坡面 AB 的长度为 7.5m 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 分析： 在 RtABC 中，已知坡面 AB 的坡比以及铅直高度 BC 的值，通过解直角三角形即可求出斜 面 AB 的长 解答： 解：在 RtABC 中， BC=4.5 米，tanA=3：4； AC=BCtanA=6 米， AB= =7.5 米 故答案为：7.5 点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题 的关键 14如图，四边形 ABCD、CEFG 都是正方形，点 G 在线段 CD 上，连接 BG、DE，DE 和 FG 相交于 点 O设 AB=a，CG=b（a
26、 b） 下列结论： BGDE； ；BCGEFO； 其中正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填 在横线上） 考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质 分析： 延长 BG 交 DE 于点 H 由四边形 ABCD、CEFG 都是正方形，得到 BC=DC，CG=CE， BCG=DCE=90，通过 BCGDCE，可证得正确；由 EFCD，证得 DGODCE，可得 ，而不是 ，错误；由F=BCD=90 ， CBG=CDE=FEO，得 到BCGEFO，故正确；根据EFO DGO，即可得到结果（ab） 2SEFO=b2SDGO，故 正 确 解答： 证明：延长 BG 交 D E 于点 H 四边形 AB
27、CD、CEFG 都是正方形， BC=DC，CG=CE，BCG= DCE=90， 在BCG 和DCE 中， ， BCGDCE（SAS） ， CDE=CBG， DGH=BGC， BCG=DHG=90， 即 BGDE，故正确； EFCD， GDE=FEO， FDCE=90， DGODCE， ，而不是 ， 故 错误； F=BCD=90， CBG=CDE=FEO， BCGEFO，故正确； EFODGO， = = ， （ ab） 2SEFO=b2SDGO，故 正确 故答案为： 点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 三、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，
28、满分 16 分） 15计算：2 2 cos602sin45+|1 | 考点： 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题： 计算题 分析： 原式第一项利用负指数幂法则计算，第二、三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利 用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 解答： 解：原式= 2 + 1= + +1=1 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16已知抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴是直线 x=1，且经过点（2，3） ，求这个二次函数的表达式 考点： 待定系数法求二次函数解析式 分析： 由抛物线的一般形式可知：a= 1，由对称轴方程 x= ，可得一个等式
29、 ，然后将点（2，3）代入 y=x2+bx+c 即可得到等式4+2b+c= 3，然后将 联立方程组解答即可 解答： 解：根据题意，得： ， 解得 ， 所求函数表达式为 y=x22x+5 点评： 此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是：熟练掌握待定系数法及对称 轴表达式 x= 四、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按 要求完成下面的问题： （1）以图中的点 O 为位似中心，将 ABC 作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到A 1B1C1； （2）若ABC 内一点 P
30、的坐标为（a，b） ，则位似变化后对应的点 P的坐标是（2a，2b） 考点： 作图-位似变换 分析： （1）由以图中的点 O 为位似中心，将ABC 作位似变换且同向放大到原来的两倍，可得 A1B1C1 的坐标，继而画出 A1B1C1； （2）由（1）可得A 1B1C1 与ABC 的位似比为 2：1，继而可求得位似变化后对应的点 P的坐标 解答： 解：（1）如图： （2）以点 O 为位似中心，将 ABC 作位似变换且同向放大到原来的两倍，且 ABC 内一点 P 的坐标 为（a，b） ， 位似变化后对应的点 P的坐标是：（2a，2b） 故答案为：（2a，2b） 点评： 此题考查了位似图形的性质与位
31、似变换此题难度不大，注意掌握位似图形的性质是解此题 的关键 18平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在坐标轴上，顶点 B 在第一象限内，如图所示， 且 OA=a，OC=b请根据下列操作，完成后面的问题 【操作】 （1）连接 AC，OB 相交于点 P1，则点 P1 的纵坐标为 a； （2）过点 P1 作 P1Dx 轴于点 D，连接 BD 交 AC 于点 P2，则点 P2 的纵坐标为 a； （3）过点 P2 作 P2Ex 轴于点 E，连接 BE 交 AC 于点 P3，则点 P3 的纵坐标为 a； 【问题】 （1）过点 P3 作 P3Fx 轴于点 F，连接 BF 交 AC 于点 P
32、4，直接写出点 P4 的纵坐标； （2）按照上述操作进行下去，猜想点 Pn（n 为正整数）的纵坐标是 （用含 n 的代数式表示） 考点： 四边形综合题 分析： 【操作】 （1）由矩形的性质得出AOC=90，OA=BC，OABC，P 1A=P1C= AC，P 1O=P1B= OB，证出 P1D 是AOC 的中位线，得出 P1D= OA= a 即可； （2）由平行线得出DP 1P2BCP2，得出对应边成比例 = ，求出 P2E 即可； （3）同（2） ，即可得出结果； 【问题】 （1）由【操作】 （1） （2） （3）得出规律，即可得出结果； （2）由以上得出规律，即可得出结果 解答： 解：【操作
33、】 （1）四边形 OABC 是矩形， AOC=90， OA=BC=a，OA BC，P 1A=P1C= AC，P 1O=P1B= OB， P1Dx 轴， P1DAO， P1D 是AOC 的中位线， P1D= OA= a， 点 P1 的纵坐标为 a； 故答案为： a； （2）P 1DOA，OABC ， P1DBC， DP1P2BCP2， = ， P1Dx 轴，P 2Ex 轴， P2EP1 D， = ， P2E= a= a， 点 P2 的纵坐标为 a； 故答案为： a； （3）同（2）可得：点 P3 的纵坐标为 a； 故答案为： a； 【问题】 （1）由：【操作】 （1） （2） （3）得出规律，点
34、 P4 的纵坐标为 a； （2）由以上得出规律：点 Pn（n 为正整数）的纵坐标是 ； 故答案为： 点评： 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、 平行线的判定等知识；本题有一定难度，综合性强，需要运用三角形中位线定理和三角形相似才能得 出结果，得出规律 五、 （本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19如图，AB、CD 为两个建筑物，建筑物 AB 的高度为 80m，从建筑物 AB 的顶部 A 点测得建筑物 CD 的顶部 C 点的俯角 EAC 为 30，测得建筑物 CD 的底部 D 点的俯角EAD 为 69 （1）求两建筑物两底部之
35、间的水平距离 BD 的长度（精确到 1m） ； （参考数据：sin690.93，cos69 0.36，tan692.70） （2）求建筑物 CD 的高度（结果保留根号） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析： （1）先根据平行线的性质得出ADB=69，再由 tan69= 即可得出结论； （2）先根据平行线的性质得出ACF=30，由 tan30= 得出 AF 的长，故可得出 BF 的长，进而得出 结论 解答： 解：（1）AEBD，EAD=69 ， 在 RtABD 中， ADB=69， tan69= ， BD= BD 30（m） ； （2）过点 C 作 CFAB 于点 F，在 RtACF
36、 中，ACF=30 ，CF=BD30， AFCF， EAC=30， ACF=30 tan30= ， AF=CFtan30=30 ， CD=BF=8010 （m） 点评： 本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是 解答此题的关键 20如图，在菱形 ABCD 中，AC=6，BD=8 （1）求 sinABD （2）扬扬发现ABC=2 ABD，于是她推测：sinABC=2sinABD ，它的推测正确吗？请通过本题图 形中的数据予以说明 考点： 菱形的性质；勾股定理；解直角三角形 分析： （1）由菱形的性质可得 ACBD，AO=3 ，BO=4，ABO 是直角三角
37、形，再利用勾股定理可 得到 AB=5，再利用正弦的定义即可求得 sinABD 的值； （2）作 AEBC，构筑直角三角形 ABE，利用平行四边形的面积求得 AE 的长度，再在直角三角形 ABE 中，利用正弦的定义即可求得 sinABC，从而可证 sinABC 与 2sinABD 不相等 解答： 解：（1）设 AC、BD 交于点 O， 则 AOBO，AO=3，BO=4 ， 根据勾股定理得 ， sinABD= （2）不正确 理由：如图，作 AEBC，垂足为 E，菱形 ABCD 的面积= ， 即 ， 得 ， 所以 由（1）得 sinABD= ， 2sinABD=2 = sinABC， 即扬扬的推测不
38、正确 点评： 本题主要考查菱形的性质，面积公式及锐角三角函数中正弦的定义，掌握好菱形的性质和正 弦定义是解题的关键 六、 （本题满分 12 分） 21如图，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=ax+b 的图象交于点 A（3，2）和 B（ 1，n） （1）试确定反比例函数与一次函数表达式； （2）求OAB 的面积 S； （3）结合图象，直接写出函数值 ax+b 时，自变量 x 的取值范围 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题 专题： 数形结合 分析： （1）把点点 A 的坐标代入 y= 就可求出反比例函数表达式，然后把点 B 的坐标代入反比例 函数表达式，就可求出点 B 的坐标，然后把 A
39、、B 两点的坐标代入 y=ax+b，就可求出一次函数表达式； （2）设一次函数 y=2x4 的图象与 y 轴交点为 C，运用割补法将 SOAB 转化为 SOAC+SOBC，只需求 出 OC 长就可解决问题； （3）运用数形结合的思想，结合图象就可解决问题 解答： 解：（1）点 A（3 ，2）在 y= 的图象上，2= ， 解得：k=6， 反比例函数表达式为 y= ； 点 B（1，n）在 y= 的图象上， n= =6， 根据题意，得 ， 解得： ， 一次函数表达式为 y=2x4； （2）设一次函数 y=2x4 的图象与 y 轴交点为 C， 当 x=0 时，y=04= 4，则点 C 坐标为（0， 4
40、） ， SOAB=SOAC+SOBC= 43+ 41=8； OAB 的面积为 8； （3）结合图象可得：当1 x0 或 x3 时，函数值 ax+b 点评： 本题考查的是有关反比例函数与一次函数交点问题，在解决问题的过程中，用到待定系数法、 割补法等重要的数学方法，还用到数形结合的思想，突出了对数学思想方法的考查，是一道好题 七、 （本题满分 12 分） 22 “宿松家乐福超市” 以每件 20 元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量 y（件）与售价 x（元/件）之间的函数关系如图： （1）求每天销售量 y（件）与售价 x（元/件）之间的函数表达式； （2）若该商品每天的利润为
41、 w（元） ，试确定 w（元）与售价 x（元/ 件）的函数表达式，并求售价 x 为多少时，每天的利润 w 最大？最大利润是多少？ 考点： 二次函数的应用 分析： （1）分别利用当 20x40 时，设 y=ax+b，当 40x 60 时，设 y=mx+n，利用待定系数法求 一次函数解析式即可； （2）利用（1）中所求进而得出 w（元）与售价 x（元/件）的函数表达式，进而求出函数最值 解答： 解：（1）分两种情况：当 20x40 时，设 y=ax+b， 根据题意，得 ， 解得 ， 故 y=x+20； 当 40x60 时，设 y=mx+n， 根据题意，得 ， 解得 ，故 y=2x+140； 故每天
42、销售量 y（件）与售价 x（元/件）之间的函数表达式是： y= （2）w= ， 当 20x40 时，w=x 2400， 由于 10 抛物线开口向上，且 x0 时 w 随 x 的增大而增大，又 20x40， 因此当 x=40 时，w 最大值 =402400=1200； 当 40x60 时， w=2x2+180x2800=2（x45） 2+1250， 由于2 0，抛物线开口向下，又 40x 60， 所以当 x=45 时，w 最大值 =1250 综上所述，当当 x=45 时，w 最大值 =1250 点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，利用分段函数求出是解题关键 八、 （本题满分
43、14 分） 23如图在四 边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与 AB 重合） ，分别连接 EDEC ，可 以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“相似点 ”；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“强相似点” 【试题再现】如图，在ABC 中， ACB=90，直角顶点 C 在直线 DE 上，分别过点 A，B 作 ADDE 于点 D，BEDE 于点 E求证： ADCCEB 【问题探究】在图中，若A=B=DEC=40 ，试判断点 E 是否四边形 ABCD 的边 AB
44、 上的相似点， 并说明理由； 【深入探究】如图，ADBC，DP 平分 ADC，CP 平分 BCD 交 DP 于点 P，过点 P 作 ABAD 于 点 A，交 BC 于点 B （1）请证明点 P 是四边形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点； （2）若 AD=3，BC=5，试求 AB 的长； 考点： 相似形综合题 分析： 【试题再现】根据已知条件证得BCE= CAD，由 ADC=CEB=90，于是得到ADC CEB 【问题探究】点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点由DEC=40 ，得到DEA+ CEB=140；根 据A=40，得到ADE+ AED=140，于是得到 ADE=CE
45、B，推出ADEBEC，同时得到结论； 【深入探究】 （1）根据 ADBC，得到ADC+BCD=180 ，由于 DP 平分ADC，CP 平分BCD，于是 得到CDP+DCP= （ADC+BCD）=90，由于 DPC=A=B=90， ADP=CDP，有一定的 ADPPDC，同理 BPCPDC，即点 P 是四边形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 （2）过点 P 作 PEDC 于点 E，过点 D 作 DFBC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形，得到 DF=AB，推 出ADP EDP，得到 AD=DE，同理CBPCEP，得到 BC=EC，于是得到 DC=AD+BC=8在 Rt CDF 中，
46、CF=BCBF=BCAD=53=2，由勾股定理，得 DF= ，即可得到结论 解答： 解答：【试题再现】 ACB=90， ACD+BCE=90， ADDE， ACD+CAD=90， BCE=CAD， ADC=CEB=90， ADCCEB 【问题探究】点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 理由如下： DEC=40， DEA+CEB=140； A=40， ADE+AED=140， ADE=CEB， ADEBEC， E 点是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 【深入探究】 （1）ADBC， ADC+BCD=180， DP 平分ADC，CP 平分BCD， CDP+DCP= （ ADC+BCD）=90 ， DAAB， CBAB， DPC=A=B=90，
