1、1 北京市西城区 20112012 学年度第一学期期末考试 数 学 试 题（理） 本试卷分第 I 卷和第卷两部分，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸 上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第 I 卷（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项 1复数 （ ）i A B C D21i21i21i2 2已知圆的直角坐标方程为 在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，0xyx 该圆的方程为 （ ） A B C Dcos2sin2cos2sin 3已知向量 ，
2、若实数 与向量 满足 ，则 可以是（ ）(3,1)a(0,)bkkabc A B C D,3(3,1)(1,3) 4执行如图所示的程序框图，输出的 值为 （ ）S A 3 B 6 C 10 D 5 5已知点 的坐标满足条件 那么 的(,)Pxy1,20,xy2xy 取值范围是 （ ） A B1,4,5 C D4,5 6已知 下列四个条件中，使 成立的必要而不充分的条件是 （ ）,abRab 2 A B C D1ab1ab|ab2ab 7某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） A 8 B 3 C 4 D 8已知点 若曲线 上存在两点 ，使(1,)AG,BCBC 为正三角形，则称 为 型
3、曲线给定下列三条曲线： ； ； 3(0)yx2(0)yx 1 其中， 型曲线的个数是 （ ） A B C D0123 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9函数 的定义域是_21()logfx 10若双曲线 的一个焦点是 ，则实数 _ky(3,0)k 11如图， 是圆 的切线， 为切点， 是圆 的割线PAOAPBCO 若 ，则 _32BCB 12已知 是公比为 的等比数列，若 ，则 na316a1a ； _2211n 13在 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 若 ， ，ABCABCabc254B ，则 ； 5sinca 3 14有限
4、集合 中元素的个数记作 已知 ， ， ，Pcard()Pcard()10MABM ，且 ， 若集合 满足 ，则集合 的个数ABcar()2A3BXX 是_；若集合 满足 ，且 ， ，则集合 的个数是_（用数字作YYY 答） 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15（本小题满分 13 分） 已知函数 ， 2()3sinicosfxxx,2 （）求 的零点； （）求 的最大值和最小值()fx 16（本小题满分 13 分） 盒中装有 个零件，其中 个是使用过的，另外 个未经使用725 （）从盒中每次随机抽取 个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求 次抽取中恰有
5、 次1 31 抽到使用过的零件的概率； （）从盒中随机抽取 个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为 ，求X 的分布列和数学期望X 17（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 中， ， ， 是 的中点1CBA12A90BCDB （）求证： 平面 ；1D （）求二面角 的余弦值； （）试问线段 上是否存在点 ，使 与 成 角？若存在，确定 点位置，若1ABEA1DC60 E 不存在，说明理由 4 18（本小题满分 13 分） 已知椭圆 的一个焦点是 ，且离心率为 :C 21(0)xyab(1,0)F12 （）求椭圆 的方程； （）设经过点 的直线交椭圆 于 两点，线段 的垂直平分
6、线交 轴于点FC,MNy ，求 的取值范围0(,)Py0 19（本小题满分 14 分） 已知函数 ，其中 )1ln(2)(xaxfaR （）若 是 的极值点，求 的值；f （）求 的单调区间；)(xf （）若 在 上的最大值是 ，求 的取值范围0,)0a 20（本小题满分 13 分） 已知数列 如果数列 满足 ， ，其12:,nnAa 12:,nnBb 1nba11kkab 中 ，则称 为 的“衍生数列”,3k A （）若数列 的“衍生数列”是 ，求 ；41234:,a4:5,724A （）若 为偶数，且 的“衍生数列”是 ，证明： 的“衍生数列”是 ；nnnBnn （）若 为奇数，且 的“衍生数列”是 ， 的“衍生数列”是 ，依次将数列AC ， ， ，的第 项取出，构成数列 证明： 是等差nABnC(1,2)i :,iiabc i 数列 6 9 11 12 13 1 1 1 1
