1、第 1 页（共 21 页） 2015-2016 学年江西省吉安市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题给出四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的.） 1若集合 A=x|1x5，B=x|x1 或 x4，则集合 AB=（ ） Ax|1x5 Bx|4 x5 Cx|1x5 Dx|1x1 2已知 tan=2，并且 为第三象限的角，那么 cos=（ ） A B C D 3设向量 ， 不平行，向量 + 与 3 平行，则实数 =（ ） A B C 3 D2 4若 f（x）对任意实数 x 恒有 f（x） 2f（x）=2x+1 ，则 f（2）=（ ）
2、A B2 C D3 5函数 f（x）=sin（2x+ ），图象的对称中心为（k z）（ ） A（ ，0） B（ ，0） C（k ，0） D（k+ ，0） 6已知映射 f：AB，其中 A=B=R，对应法则 f：x y=x22x+3，若对实数 kB，在集合 A 中存 在 2 个原象，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 Ck2 Dk2 7要得到函数 y=cos（2x1）的图象，只要将函数 y=sin（2x+ ）的图象（ ） 第 2 页（共 21 页） A向右平移 个单位 B向左平移 1 个单位 C向右平移 +1 个单位 D向左平移 个单位 8如图示中的幂函数在第一象限的图象，则下面四个选项中
3、正确的是（ ） Aa+b+c+d 为正数 Bb+c+d a 可能为零 Cab cd 为负数 Dbc da 符号不能确定 9在ABC 中，点 M 在边 BC 上，且 2 =3 ，E 在边 AC 上，且 =3 ，则向量 =（ ） A B + C D + 10已知函数 y=f（x）为奇函数且在 R 上的单调递增，若 f（2m）+f（1 m）0，则实数 m 的取 值范围是（ ） A（1 ，2 B（ 1，+） C（ 1，4 D 1，+） 11某实验小组通过实验产生的一组数据（如表），现欲从理论上对这些数据进行分析并预测后期 实验结果的最佳模拟函数的模型是（ ） 第 3 页（共 21 页） X 1.0 2
4、.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y 1.03 4.57 10.41 21.75 32.00 43.21 Ay=log 2x By=2 x Cy=x 2+2x3 Dy=2x 3 12已知函数 f（x）=x 2x+m ，g（x）= log2x，用 minm，n 中的最小值，设函数 h（x） =minf（x），g（x）（x0）则当函数 h（x）有三个零点时 m 的取值范围为（ ） A（0， ） B（ ， C（ ， ） D（ ，+） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 13满足1，2A 1，2， 3，4，5的集合 A 的个数是 14y=log a（4x 2）（0a
5、1）的单调增区间为 15已知 sin（ +）= ，则 cos（ 2）= 16已知非零向量 ， 的夹角为锐角，| |=2，当 t= 时，| t |取最小值为 ，则| |= 三、解答题（本大题共 6 小题，512+10=70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤） 17已知 A=x|x24，B=x|x2，C=x|x 23x+20 （1）求 AB 及 AC； （2）若 U=R，求（ AC） （ UB） 18已知二次函数 f（x）=x 24x+3 第 4 页（共 21 页） （1）指出函数的对称轴、顶点坐标（要写出求解过程）； （2）指出其图象可由函数 y=x2 的图象如何变换得到的；
6、（3）当 x1，4 时，求函数 f（x）的最大值与最小值 19已知向量 =（sin ，cos ）（ R）， =（1， ） （1）当 为何值时，向量 + ， 不能作为平面向量的一组基底； （2）求 + 在 上的投影的最大值； （3）求| 2 |的取值范围 20已知函数 f（x）= cos（ x）cos（2x） cos2x （1）求函数 f（x）的单凋递增区间； （2）若 0， ，f（ + ）= ，求 tan（ + ）的值 21已知一家公司生产某种品牌运动服的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件需要投入 3 万元， 设该公司一年内共生产该品牌运动服 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为
7、R（x）万元，且 R（x）= （1）写出年利润 W（万元）关于年产量 x（千克）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌运动服的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销 售收入年总成本） 22已知函数 f（x）= 为偶函数 （1）求实数 a 的值； （2）记集合 A=y|y=f（x），x 1，2，3，p=（lg2 ） 2+lg2lg5+lg5+ ，判断 p 与集合 A 的关系； 第 5 页（共 21 页） （3）当 xm，n（m0，n 0）时，若函数 f（x）的值域为 +2， +1，求实数 m，n 的值 第 6 页（共 21 页） 2015-2016 学年江西省吉安市高一（上）
8、期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题给出四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的.） 1若集合 A=x|1x5，B=x|x1 或 x4，则集合 AB=（ ） Ax|1x5 Bx|4 x5 Cx|1x5 Dx|1x1 【考点】交集及其运算 【专题】计算题；规律型；集合 【分析】直接利用交集的运算法则求解即可 【解答】解：集合 A=x|1x5，B=x|x1 或 x4， 则集合 AB=x|4x5 故选：B 【点评】本题考查集合的交集的求法，是基础题 2已知 tan=2，并且 为第三象限的角，那么 cos=（ ） A B C D
9、【考点】任意角的三角函数的定义 【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值 【分析】首先，利用 1+tan2= ，再根据 为第三象限的角得到 cos 【解答】解：tan=2， 1+tan2= ， cos2= 是第三象限角， 第 7 页（共 21 页） cos= ， 故选：C 【点评】本题重点考查了同角三角函数基本关系式及其灵活运用，注意角度的取值范围问题，防止 增根的产生 3设向量 ， 不平行，向量 + 与 3 平行，则实数 =（ ） A B C 3 D2 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用 【分析】由向量平行可得存在实数 使得 + =（3
10、）=3 ，对应系数相等可得 的方程 组，解方程组可得 【解答】解：向量 ， 不平行，向量 + 与 3 平行， 存在实数 使得 + =（3 ）=3 ， ，解得 故选：B 【点评】本题考查向量的平行线与共线，属基础题 4若 f（x）对任意实数 x 恒有 f（x） 2f（x）=2x+1 ，则 f（2）=（ ） A B2 C D3 【考点】函数解析式的求解及常用方法 【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】用x 代替式中的 x 可得 f（x） 2f（x）=2x+1，联立解方程组可得 f（x），代值计算可 得 【解答】解：f（x）对任意实数 x 恒有 f（x）2f（x）=2x+1， 第 8
11、页（共 21 页） 用 x 代替式中的 x 可得 f（x）2f（x）=2x+1， 联立可解得 f（x）= x1，f（2）= 21= 故选：C 【点评】本题考查函数解析式求解的常用方法，构造方程组解方程组是解决问题的关键，属基础 题 5函数 f（x）=sin（2x+ ），图象的对称中心为（k z）（ ） A（ ，0） B（ ，0） C（k ，0） D（k+ ，0） 【考点】正弦函数的对称性 【专题】方程思想；转化法；三角函数的求值 【分析】根据三角函数的对称性进行求解即可 【解答】解：由 2x+ =k，得 x= ，k Z， 即函数的对称中心为（ ，0）， 故选：A 【点评】本题主要考查三角函数对
12、称性的求解，根据对称中心的定义解方程即可得到结论 6已知映射 f：AB，其中 A=B=R，对应法则 f：x y=x22x+3，若对实数 kB，在集合 A 中存 在 2 个原象，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 Ck2 Dk2 【考点】映射 【专题】转化思想；对应思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】根据映射的定义转化一元二次函数 y=x22x+3=k 有两个根，结合一元二次函数的性质进行 求解即可 【解答】解：由 y=x22x+3=（x 1） 2+22， 若若对实数 kB，在集合 A 中存在 2 个原象， 则 k2， 故选：B 第 9 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查映射的
13、应用，根据条件转化为一元二次函数是解决本题的关键 7要得到函数 y=cos（2x1）的图象，只要将函数 y=sin（2x+ ）的图象（ ） A向右平移 个单位 B向左平移 1 个单位 C向右平移 +1 个单位 D向左平移 个单位 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】先根据诱导公式对两个函数进行化简，再结合函数图象的平移规律：左加右减即可得到答 案 【解答】解：函数 y=cos（2x1）=cos2 （x ）， 而 y=sin（2x+ ）=cos2x， 只需把将函数 y=sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位即可得到函
14、数 y=cos（2x1）的图象 故选：A 【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换本题的易错点在于忘记函数左右平移时， 平移的是自变量本身而错选答案 8如图示中的幂函数在第一象限的图象，则下面四个选项中正确的是（ ） Aa+b+c+d 为正数 Bb+c+d a 可能为零 第 10 页（共 21 页） Cab cd 为负数 Dbc da 符号不能确定 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】根据幂函数 y=xn 的性质，在第一象限内的图象，当 n0 时，函数是增函数，n 越大，递 增速度越快；当 n0 时，函数是
15、减函数，|n|越大，曲线越陡峭，由此能求出结果 【解答】解：由幂函数在第一象限的图象，得： 在第一象限，f（x）=x a 是减函数，a0， 在第一象限，f（x）=x b，f（x）=x c，f（x）=x d 都是增函数， 根据幂函数 y=xn 的性质，在第一象限内的图象 当 n0 时，n 越大，递增速度越快， 当 n0 时，|n|越大，曲线越陡峭， b cd0， a+b+c+d 符号不能确定，故 A 错误； b+c+da 一定大于 0，故 B 错误； abcd0，故 C 正确； bcda0，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的图象的性质
16、的合 理运用 第 11 页（共 21 页） 9在ABC 中，点 M 在边 BC 上，且 2 =3 ，E 在边 AC 上，且 =3 ，则向量 =（ ） A B + C D + 【考点】平面向量的基本定理及其意义 【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用 【分析】利用平面向量的三角形法则，用 表示 即可 【解答】解：由题意， = = = ， 所以向量 = = ； 故选：A 【点评】本题考查了平面向量的三角形法则的应用进行平面向量的运算；属于基础题 10已知函数 y=f（x）为奇函数且在 R 上的单调递增，若 f（2m）+f（1 m）0，则实数 m 的取 值范围是（ ） A（1 ，2 B（
17、1，+） C（ 1，4 D 1，+） 【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化进行求解即可 【解答】解：f（x）是奇函数， 不等式 f（2m）+f（1 m）0 等价为 f（2m）f（1m）=f（m1）， y=f（x）在 R 上的单调递增， 2mm1，即 m1， 故选：B 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解 决本题的关键 第 12 页（共 21 页） 11某实验小组通过实验产生的一组数据（如表），现欲从理论上对这些数据进行分析并预测后期 实验结果的最佳模
18、拟函数的模型是（ ） X 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y 1.03 4.57 10.41 21.75 32.00 43.21 Ay=log 2x By=2 x Cy=x 2+2x3 Dy=2x 3 【考点】函数模型的选择与应用 【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】通过分析所给数据可知 y 随 x 的增大而增大且其增长速度越来越快，利用排除法逐个比较 即得结论 【解答】解：通过所给数据可知 y 随着 x 的增大而增大，且其增长速度越来越快， 而 A 中的函数增长速度越来越慢， D 中的函数增长速度保持不变， 且 24=16、2 6=64 即 B 中的函
19、数不满足题意， 于是选项 C 满足题意， 故选：C 【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档 题 12已知函数 f（x）=x 2x+m ，g（x）= log2x，用 minm，n 中的最小值，设函数 h（x） =minf（x），g（x）（x0）则当函数 h（x）有三个零点时 m 的取值范围为（ ） A（0， ） B（ ， C（ ， ） D（ ，+） 【考点】根的存在性及根的个数判断 【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】在同一坐标系中，画出函数 y=f（x）和 y=g（x）的图象，求得抛物线过（1，0）时，m 的值，再由判别式大于
20、0 和图象的变化可得 m 的范围 【解答】解：在同一坐标系中，画出函数 y=f（x）和 y=g（x）的图象， 当两图象交于（1，0），即有 11+m =0，解得 m= ， 由函数 h（x）有三个零点时，即为（1，0）和 y=f（x）与 x 轴的两个交点， 则判别式0，即有 14（m ）0，解得 m ， 第 13 页（共 21 页） 通过 y=f（x）图象的变化，以及 h（x）的图象的特点， （A 点 g（x）的图象下面的部分和 A 点右边 y=f（x）的部分）可得 m 的范围是（ ， ） 故选 C 【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查二次函数和对数函数的图象，通过图象观察，由判别 式大于
21、0，是解题的关键 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 13满足1，2A 1，2， 3，4，5的集合 A 的个数是 7 【考点】子集与真子集 【专题】计算题；集合 【分析】写出集合 A 的所有可能情况即可 【解答】解：满足1，2A1 ，2，3，4，5的集合 A 有： 1，2 ，1 ，2 ，3，1 ，2，4 ，1，2，5 ，1，2，3，4，1，2，3，5，1 ，2，4，5 故答案为 7 【点评】本题考查了学生对集合子集的认识与理解，属于基础题 14y=log a（4x 2）（0a 1）的单调增区间为 0 ，2） 【考点】复合函数的单调性 【专题】转化思想；换元法；函数
22、的性质及应用 【分析】利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系转化为求 t=4x2 的单调递减区间即可得到结 论 【解答】解：设 t=4x2，则 y=logat，（0a1）为减函数， 由 t=4x20 得2x2， 要求 y=loga（4x 2）（0a 1）的单调增区间，等价为求 t=4x2，的单调递减区间， 第 14 页（共 21 页） t=4x2 的单调递减区间为0，2）， y=loga（4x 2）（0a 1）的单调增区间为 0，2）， 故答案为：0，2） 【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本 题的关键 15已知 sin（ +）= ，则 co
23、s（ 2）= 【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数 【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值 【分析】利用倍角公式、诱导公式即可得出 【解答】解：sin（ +）= ， 则 cos（ 2）= 1= 1= = 故答案为： 【点评】本题考查了倍角公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 16已知非零向量 ， 的夹角为锐角，| |=2，当 t= 时，| t |取最小值为 ，则| |= 2 【考点】向量的模 【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用 【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出| t |取最小值时（ t ） ，从而求出| |的值 【解答】解：如图所示，非零向量
24、， 的夹角为锐角， | |=2，当 t= 时，| t |取最小值为 ， 此时（ t ） ， 且 C 是 OA 的中点， 所以| |=2|OC|=2 =2 故答案为：2 第 15 页（共 21 页） 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与几何意义的应用问题，是基础题目 三、解答题（本大题共 6 小题，512+10=70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤） 17已知 A=x|x24，B=x|x2，C=x|x 23x+20 （1）求 AB 及 AC； （2）若 U=R，求（ AC） （ UB） 【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】对应思想；定义法；集合 【分析】化简集合 A、C
25、，求出（1）A B 与 AC；再求（ 2）A C 与 UB，写出（AC） （ UB） 【解答】解：A=x|x 24=x|x2 或 x2， B=x|x 2， C=x|x23x+20=x|1x2； （1）AB=x|x2， AC=x|x2 或 x1； （2）U=R，AC=2， UB=x|x2， （ AC）（ UB）=x|x2 或 x=2 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础 题目 18已知二次函数 f（x）=x 24x+3 第 16 页（共 21 页） （1）指出函数的对称轴、顶点坐标（要写出求解过程）； （2）指出其图象可由函数 y=x2 的图象如
26、何变换得到的； （3）当 x1，4 时，求函数 f（x）的最大值与最小值 【考点】二次函数的性质 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】（1）将二次函数配方成顶点式后即可确定其顶点坐标及对称轴；（2）根据函数的图象判 断即可；（3）根据函数的单调性判断即可 【解答】解：（1）y=x 24x+3=（x 2） 21， 对称轴为直线 x=2，顶点为（ 2，1）， （2）图象为： ， 可由函数 y=x2 的图象向下平移 1 个单位再向右平移 2 个单位得到； （3）函数的对称轴是：x=2， 函数在1，2递减，在（2，4递增， x=2 时函数取到最小值，最小值是：1， x=4 时函数取到最
27、大值，最大值是：3 【点评】本题考查了二次函数的性质，确定二次函数的顶点坐标及对称轴是解决有关二次函数的有 关题目的关键 19已知向量 =（sin ，cos ）（ R）， =（1， ） （1）当 为何值时，向量 + ， 不能作为平面向量的一组基底； （2）求 + 在 上的投影的最大值； 第 17 页（共 21 页） （3）求| 2 |的取值范围 【考点】平面向量数量积的运算；向量的模 【专题】综合题；函数思想；转化法；平面向量及应用 【分析】（1）要向量 + ， 不能作为平面向量的一组基底，则（ + ）与 共线，得到 tan= ，进而求出 ； （2）根据 + 在 上的投影为 =sin（+ ）+
28、2，再根据三角函数的性质即可求出最 大值； （3）利用向量的模的定义化简，得到| 2 |2=8sin（ + ）+17，再根据三角函数的性质即可求出 范围 【解答】解：（1） =（sin ，cos ）（ R）， =（1， ）， + =（sin +1，cos + ）， 向量 + ， 不能作为平面向量的一组基底， （ + ）与 共线， （sin+1）=cos+ ， tan= =k+ ，kZ； （2）（ + ） =sin+ cos+4=2sin（ + ）+4 ，| |= =2 + 在 上的投影为 =sin（+ ）+2， 当 + = +2k 时，有最大值，即为 3 + 在 上的投影的最大值为 3； （3
29、） 2 =（sin 2，cos 2 ）， | 2 |2=（sin2） 2+（cos 2 ） 2=8sin（ + ）+17， 第 18 页（共 21 页） 1sin（+ ） 1， 98sin（+ ）+1725， 3| 2 |5 【点评】本题主要考查两个向量的坐标运算，向量的投影，两角和的正弦公式，正弦函数的定义域 和值域，属于中档题 20已知函数 f（x）= cos（ x）cos（2x） cos2x （1）求函数 f（x）的单凋递增区间； （2）若 0， ，f（ + ）= ，求 tan（ + ）的值 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值 【分
30、析】（1）由条件利用三角恒等变换，正弦函数的单调性，求得函数的增区间 （2）由条件求得 cos= 的值，可得 sin 和 tan 的值，从而求得 tan（+ ）的值 【解答】解：（1）函数 f（x ）= cos（ x）cos（2x） cos2x= sinxcosx =sin（2x ） ， 令 2k 2x 2k+ ，求得 k xk+ ， 故函数的增区间为k ，k+ ，k Z （2）0， ，f（ + ）=sin（ + ）=cos= ， sin= ，tan= = ， tan（+ ） = = 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角和的正 切公式，属于中档题 第
31、 19 页（共 21 页） 21已知一家公司生产某种品牌运动服的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件需要投入 3 万元， 设该公司一年内共生产该品牌运动服 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R（x）万元，且 R（x）= （1）写出年利润 W（万元）关于年产量 x（千克）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌运动服的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销 售收入年总成本） 【考点】函数模型的选择与应用 【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】（1）利用年利润=年销售收入年总成本，分 0x10、x10 两种情况讨论即可； （2）当 0x 10
32、时通过配方可知当 x=5 时 W 取最大值 65，当 x10 时可知 W40，进而比较可得 结论 【解答】解：（1）当 0x10 时，W=xR（x）（10+3x）=x 2+10x+40， 当 x10 时，W=xR （x）（10+3x）= +30， W= ； （2）当 0x 10 时，由 W=（x5） 2+65 可知 当 x=5 时 W 取最大值，且 Wmax=65； 当 x10 时， W +30=40； 综合知当 x=5 时，W 取最大值 65 万元， 故当年产量为 5 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大 【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，考查配方法求函
33、数的最值，注意 解题方法的积累，属于中档题 22已知函数 f（x）= 为偶函数 第 20 页（共 21 页） （1）求实数 a 的值； （2）记集合 A=y|y=f（x），x 1，2，3，p=（lg2 ） 2+lg2lg5+lg5+ ，判断 p 与集合 A 的关系； （3）当 xm，n（m0，n 0）时，若函数 f（x）的值域为 +2， +1，求实数 m，n 的值 【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】方程思想；函数的性质及应用；集合 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系进行求解即可 （2）求出集合 A，根据对数的运算法则进行化简，求出 p 的值，根据元素与集合的关系进行判断 即可 （3
34、）判断函数的单调性，结合函数的值域建立方程关系进行求解即可 【解答】解：（1）f（x）为偶函数， f（ x）=f（x）， 即 = ， 即 x2（ a+1）x+a=x 2+a（x+1）+a， 即（ a+1）=a+1 ， 即 a+1=0，解得，a= 1； （2）由（1）知，f（x）= ， 当 x=1 时，f （x）=0 ，当 x=2 时，f（x）= = ， 当 x=3 时，f （x）= = ； 故 A=0， ， ； 而 p=（lg2） 2+lg2lg5+lg5+ =lg2（lg2+lg5）+lg5+ =lg2+lg5+ 第 21 页（共 21 页） =1+ = ， 故 pA； （3）f （x）= =1 ， 当 x 0 时，f（x）为增函数， xm，n （m0，n0）时，若函数 f（x）的值域为 +2， +1， ， 即 ， 即 ，则 ，即 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，元素和集合关系的判断，以及函数单调性的应用，根据 函数奇偶性的定义建立方程关系求出 a 的值是解决本题的关键
