1、北京市朝阳区 20102011 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理科） 2011.1 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题 卷和答题卡一并交回。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的
2、一项. 1 设全集 UR， |(2)0 Ax=- 的左、右焦点分别为 12, F，上顶点为 A，过点A 与 2F垂直的直 线交 轴负半轴于点 Q，且 12+=0ur，若过 ， Q， 2F三点的 圆恰好与直线 l： 03yx相切. 过定点 (, )M的直线 1l与椭圆 C交于 G， H两 点（点 G在点 M， H之 间 ）. （）求椭圆 C的方程； （）设直线 1l的斜率 k，在 x轴上是否存在点(, 0)Pm ，使得以 PG， 为邻边的平行四 边形是菱形. 如果存在，求出 m的取值范围， 如果不存在，请说明理由； （）若实数 满足 MH，求 的取值范围. 20 （本小题满分 14 分） 已知函
3、数 2()1axbfc（ ， ， c为常数， 0a）. （）若 0时，数列 n满足条件：点 (, )n在函数 2()1axbfc的图象上，求na 的前 项和 S； （）在（）的条件下，若 37a， 42S， , pqN（ q） ， 证明： 21()pqpq； （）若 c时， )fx是奇函数， (1f，数列 nx满足 12， 1()nnxf， 求证： 222311()( 56n . xO y Q A F 2F1 北京市朝阳区 20102011 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理科）参考答案 一选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B A D A B 二填
4、空题： 题号 9 10 11 12 13 14 答案 433 222(1),()1xyxy+-=-+= ,2 93(1, 2)06 三解答题： 15 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 2sincosicosinABCB， 所以 ()()A. 3 分 因为 0p，此时 ()f，函数 ()fx单调递减； 8 分 当 )时， ()0x，此时 0x，函数 单调递增. 9 分 当 02a时，由 f即 21a解得 1x=， 21a-. 此时 1-， 所以当 (,)x时， ()0gx，此时 ()0fx，函数 ()fx单调递减；10 分 1(, )xa时， ()0gx，此时 ()0fx，函数 ()fx单
5、调递增；11 分 时， ，此时 ，函数 单调递减. 12 分 综上所述： 当 0a时，函数 ()fx在 0,1上单调递减，在 (1,)+上单调递增； 当 12时，函数 在 ()上单调递减，在 a-上单调递增；在(,)a-+ 上单调递减. 13 分 18 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 (1)0f，所以 10ab. 因为 fx的值域为 ,)，所以 2 ,4.a 2 分 所以 24(1)0b. 解得 b， 1. 所以 2()1fx. 所以 2,() .xF 4 分 （）因为 22)1()1gfkxkkx = 2()()4x， 6 分 所以当 2k 或 k 时 ()gx单调. 即 的范围是
6、(, -或 6,+时， 是单调函数 8 分 （）因为 )fx为偶函数，所以 2()1fxa. 所以 2 0,(.aF 10 分 因为 0mn， 依条件设 m，则 0n. 又 ，所以 . 所以 . 12 分 此时 22()()1Fnffnan2()0amn. 即 0m 13 分 19 （本小题满分 14 分） （）解：因为 12FQ+=0ur， 所以 1为 2中点. 设 Q的坐标为 (3, )c， 因为 2AF， 所以 2bc， 224ac，且过 2, AQF三点的圆的圆心为 1(, 0)Fc， 半径为 . 2 分 因为该圆与直线 l相切，所以 |3|. 解得 1c=，所以 2a， b=. 故所
7、求椭圆方程为 134yx. 4 分 （）设 1l的方程为 2k（ 0） ， 由 2 ,43yx=+ 得 2(4)164xk. 设 1(,)Gxy， 2(,)Hy，则 1223k. 5 分 所以 1, (, )Pxmxy+=-+-=ur 1212(, )xmy+-. = 212( 4k211(, )(, ()GHxyxx . 由于菱形对角线互相垂直，则 PGH0. 6 分 所以 212212()() ()()4xxmkxx-+-+=. 故 . 因为 0k，所以 210x-. 所以 1 2() ()40mkxk+= 即 212()40kxkm+-=. 所以 26()3-+ 解得 24km. 即 3
8、4k. 因为 0k，所以 06m . 故存在满足题意的点 P且 的取值范围是 3, 0)6. 8 分 （）当直线 1l斜率存在时， 设直线 1l方程为 2ykx，代入椭圆方程 134 2yx 得 2(34)640. 由 0，得 k. 9 分 设 1(, )Gxy， 2(,)Hxy， 则 2634k， 1243k. 又 M，所以 (,)=(,)xyxy- . 所以 12=x. 10 分 所以 122=+)x， 21 . 所以 2112()x . 所以 2264()3kk . 整理得 2264(3k . 11 分 因为 214，所以 26413k. 即 2()16 . 所以 1426. 解得 77
9、. 又 01，所以 7431. 13 分 又当直线 l斜率不存在时，直线 l的方程为 0x， 此时 (, )G， (0, )H， (, 32)MG， (, 32)H，23M ，所以 74. 所以 741 ，即所求 的取值范围是 743, 1). 14 分 20 （本小题满分 14 分） （）解：依条件有 ()fxab. 因为点 (, n在函数 的图象上，所以 ()nafb. 因为 1()()an， 所以 n是首项是 1ab，公差为 d的等差数列. 1 分 所以 ()()2S(1)2a. 即数列 n的前 项和 nS. 2 分 （）证明：依条 件有 ()7, 432.aba 即 37, 1042.
10、ab解得 ,1.ab 所以 21na. 所以 .2)(nSnn 3 分 因为 2()pqpqS= 22()()(4)(4)pqpq2 ， 又 ，所以 2()0pqpq. 即 2 1()pqpqSS . 5 分 （）依条件 2()1axbf. 因为 为奇函数，所以 ()0fxf. 即 2201axb. 解得 b. 所以 2()1axf. 又 ()f，所以 a. 故 2x. 6 分 因为 1()nnf，所以 12nnx. 所以 102时，有 10nx（ N）. 又 12()nnnxxf ， 若 1n，则 1n. 从而 1. 这与 12x矛盾. 所以 0x. 8 分 所以 12()1kkkx 241kkx 124. 所以 2111 1()()()8kkkkxx . 10 分 所以 222311()()nxxx1231()()()8nxx1 1()()8nn . 12 分 因为 12x， 1nx，所以 12x. 所以 12nx. 所以 223112()()()nxxx 35()86 . 14 分
