1、2014-2015 学年北京市石景山实验中学九年级(上) 期末数学模拟试卷(二) 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的 1 (4 分) (2013 烟台)以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( ) A B C D 2 (4 分)反比例函数 (k0)的图象过点( 1,1) ,则此函数的图象在直角坐标系中的( ) A第二、四象限 B第一、三象限 C第一、二象限 D第三、四象限 3 (4 分) (2006 宜昌)某电视台举行的歌手大奖赛,每场比赛都有编号为 110 号共 10 道综合素质测试题供选 手随机抽取作答在某
2、场比赛中,前两位选手已分别抽走了 2 号、7 号题,第 3 位选手抽中 8 号题的概率是( ) A B C D 4 (4 分) (2009 东营)如图,在 44 的正方形网格中,MNP 绕某点旋转一定的角度,得到M 1N1P1则其旋 转中心一定是( ) A点 E B点 F C点 G D点 H 5 (4 分) (2014 西城区二模)如图,为估算学校的旗杆的高度,身高 1.6 米的小红同学沿着旗杆在地面的影子 AB 由 A 向 B 走去,当她走到点 C 处时,她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合,此时测得 AC=2m,BC=8m ,则旗杆的高度是( ) A6.4m B7m C8m D9 6
3、(4 分) (2014 石景山区一模)将二次函数 y=2x28x1 化成 y=a(xh) 2+k 的形式,结果为( ) Ay=2(x 2) 21 By=2(x 4) 2+32 Cy=2(x 2) 29 Dy=2(x4) 233 7 (4 分)如图,D 是ABC 的边 AB 上的一点,那么下列四个条件不能单独判定ABC ACD 的是( ) AB= ACD BADC=ACB C DAC 2=ADAB 8 (4 分) (2014 石景山区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 ABCD 的位置如图 1 所示,点 A 的坐标为 (2 ,0 ) ,点 B 的坐标为(0 ,2) ,点 D 的坐标为( 3
4、,1 ) 矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向 运动,设运动时间为 x(0 x3)秒,第一象限内的图形面积为 y,则下列图象中表示 y 与 x 的函数关系的图象大 致是( ) A B C D 二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9 (4 分 ) (2007 山西)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是 _ (写出名称) 10 (4 分) (2005 贵阳)如图,P 是反比例函数图象在第二象限上一点,且矩形 PEOF 的面积是 3,则反比例函数 的解析式为 _ 11 (4 分) (2014 门头沟区一模)如图,AB 为O 的弦,半径 OCAB 于点 D,A
5、B=2 ,A=30,则 O 的 直径为 _ 12 (4 分)如图,在 RtABC 中, ACB=90,ABC=30,直角MON 的顶点 O 在 AB 上,OM、ON 分别交 CA、CB 于点 P、Q,MON 绕点 O 任意旋转当 时, 的值为 _ ;当 时,为 _ (用含 n 的式子表示) 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13 (5 分)计算:tan60+sin 2452cos30 14 (5 分)如图,在平面直角坐标系中,ABC 和 ABC是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形,且点 B(3,1) ,B (6,2) (1)若点 A( ,3) ,则 A的坐标为 _ ; (2)若
6、ABC 的面积为 m,则 ABC的面积= _ 15 (5 分)已知 2x2+2x4=0,求 2(x1) 2x(x6)+3 的值 16 (5 分)如图,在ABCD 中,点 E 在 BC 边上,点 F 在 DC 的延长线上,且 DAE=F (1)求证:ABEECF; (2)若 AB=5,AD=8,BE=2,求 FC 的长 17 (5 分) (2013 朝阳区二模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx2 的图象与 x、y 轴分别交于点 A、B,与反比例函数 (x0)的图象交于点 (1)求 A、B 两点的坐标; (2)设点 P 是一次函数 y=kx2 图象上的一点,且满足APO 的面
7、积是ABO 的面积的 2 倍,直接写出点 P 的坐 标 18 (5 分)学校要围一个矩形花圃,花圃的一边利用 10 米长的墙,另三边用总长为 20 米的篱笆恰好围成(如图 所示) 若花圃的面积为 48 平方米,AB 边的长应为多少米? 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19 (5 分) (2012 东城区二模)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=8,AE BC 于点 E,cosB= ,求 tanCDE 的值 来源:Z_xx_k.Com 20 (5 分)甲、乙两名同学玩抽纸牌比大小的游戏,规则是:“甲将同一副牌中正面分别标有数字 1,3,6 的三张 牌洗匀后,背面朝上
8、放置在桌面上,随机抽一次且一次只抽一张,记下数字;乙将同一副牌中正面分别标有数字 2,3,4 的三张牌洗匀后,背面朝上放置在桌面上,随机抽一次且一次只抽一张,记下数字;若甲同学抽得的数字 比乙同学抽得的数字大,甲获胜,反之乙获胜,若数字相同,视为平局 ” (1)请用画树状图或列表的方法计算出平局的概率; (2)说明这个规则对甲、乙双方是否公平 21 (5 分) (2013 朝阳区一模)如图, O 是 ABC 是的外接圆,BC 为O 直径,作 CAD=B,且点 D 在 BC 的延长线上 (1)求证:直线 AD 是O 的切线; (2)若 sinCAD= , O 的直径为 8,求 CD 长 22 (
9、5 分) (2012 朝阳区一模)阅读下面材料: 问题:如图,在ABC 中,D 是 BC 边上的一点,若BAD= C=2DAC=45,DC=2求 BD 的长 小明同学的解题思路是:利用轴对称,把ADC 进行翻折,再经过推理、计算使问题得到解决 (1)请你回答:图中 BD 的长为 _ ; (2)参考小明的思路,探究并解答问题:如图,在ABC 中,D 是 BC 边上的一点,若 BAD=C=2DAC=30,DC=2,求 BD 和 AB 的长 五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23 (7 分) (2012 东城区模拟)已知关于 x 的一元
10、二次方程 x2(4m+1 )x+3m 2+m=0 (1)求证:无论 m 取何实数时,原方程总有两个实数根; (2)若原方程的两个实数根一个大于 2,另一个小于 7,求 m 的取值范围; (3)抛物线 y=x2(4m+1 )x+3m 2+m 与 x 轴交于点 A、B ,与 y 轴交于点 C,当 m 取(2)中符合题意的最小整 数时,将此抛物线向上平移 n 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在ABC 的内部(不包括 ABC 的边界) ,求 n 的取值范围(直接写出答案即可) 24 (7 分) (2013 门头沟区一模)已知:在 ABC 中,AB=AC ,点 D 为 BC 边的中点,点 F 是 AB
11、 边上一点,点 E 在线段 DF 的延长线上,点 M 在线段 DF 上,且 B AE=BDF,ABE=DBM (1)如图 1,当ABC=45 时,线段 DM 与 AE 之间的数量关系是 _ ; (2)如图 2,当ABC=60 时,线段 DM 与 AE 之间的数量关系是 _ ; (3)如图 3,当ABC= (090)时,线段 DM 与 AE 之间的数量关系是 _ ; 在(2)的条件下延长 BM 到 P,使 MP=BM,连结 CP,若 AB=7,AE= ,求 sinACP 的值 25 (8 分)设 a,b 是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式 axb 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间,
12、表示为a ,b对于一个函数,如果它的自变量 x 与函数值 y 满足:当 mxn 时,有 myn,我们就称此函数是 闭区间m,n上的“ 闭函数” (1)反比例函数 y= 是闭区间1 ,2014上的“闭函数” 吗?请判断并说明理由; (2)若一次函数 y=kx+b(k0)是闭区间m ,n 上的“闭函数”,求此函数的表达式; (3)若二次函数 y= x2 是闭区间a,b上的“闭函数”,直接写出实数 a,b 的值 2014-2015 学年北京市石景山实验中学九年级(上) 期末数学模拟试卷(二) 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题
13、意的 1 (4 分) (2013 烟台)以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( ) A B C D 考点: 中心对称图形版权所有 分析: 根据中心对称图形的定义,结合选项所给图形进行判断即可 解答: 解:A、不是中心对称图形,故本选项错误; B、是中心对称图形,故本选项正确; C、不是中心对称图形,故本选项错误; D、不是中心对称图形,故本选项错误; 故选 B 点评: 此题主要考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原图重合 2 (4 分)反比例函数 (k0)的图象过点( 1,1) ,则此函数的图象在直角坐标系中的( ) A 第二
14、、四象限 B 第一、三象限 C 第一、二象限 D 第三、四象限 考点: 待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数的图象版权所有 分析: 首先将点(1, 1)代入反比例函数的解析式,并求得 k 的值;然后由 k 的符号确定该函数的图象所在的象限 解答: 解: 反比例函数 (k0)的图象过点(1,1) , 1= , 解得,k= 10, 反比例函数 (k0)的图象经过第二、四象限 故选 A 点评: 本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数的图象反比例函数 (k0) ,当 k0 时,该 函数图象经过第一、三象限;当 k0 时,该函数图象经过第二、四象限 3 (4 分) (2006 宜昌
15、)某电视台举行的歌手大奖赛,每场比赛都有编号为 110 号共 10 道综合素质测试题供选 手随机抽取作答在某场比赛中,前两位选手已分别抽走了 2 号、7 号题,第 3 位选手抽中 8 号题的概率是( ) A B C D 考 点: 概率公式版权所有 分析: 先求出题的总号数及 8 号的个数,再根据概率公式解答即可 解答: 解:前两位选手抽走 2 号、7 号题,第 3 位选手从 1、3、4、5、6、8、9、10 共 8 位中抽一个号,共有 8 种可能, 每个数字被抽到的机会相等,所以抽中 8 号的概率为 故选 B 点评: 考查概率的求法,关键是真正理解概率的意义,正确认识到本题是八选一的问题,不受
16、前面叙述的影响 4 (4 分) (2009 东营)如图,在 44 的正方形网格中,MNP 绕某点旋转一定的角度,得到 M1N1P1则其旋 转中心一定是( ) A 点 E B 点 F C 点 G D 点 H 考点: 旋转的性质版权所有 分析: 根据“ 对应点到旋转中心的距离相等”,知旋转中心,即为对应点所连线段的垂直平分线的交点 解答: 解:根据旋转的性质,知:旋转中心,一定在对应点所连线段的垂直平分线上 则其旋转中心是 NN1 和 PP1 的垂直平分线的交点,即点 G 故选 C 点评: 本题考查旋转的性质,要结合三角形的性质和网格特征解答 5 (4 分) (2014 西城区二模)如图,为估算学
17、校的旗杆的高度,身高 1.6 米的小红同学沿着旗杆在地面的影子 AB 由 A 向 B 走去,当她走到点 C 处时,她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合,此时测得 AC=2m,BC=8m ,则旗杆的高度是( ) A 6.4m B 7m C 8m D 9 考点: 相似三角形的应用版权所有 分析: 因为人和旗杆均垂直于地面,所以构成相似三角形,利用相似比解题即可 解答: 解:设旗杆高度为 h, 由题意得 = ,h=8 米 故选:C 点评: 本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识,解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方 程,建立适当的数学模型来解决问题 6 (4 分) (201
18、4 石景山区一模)将二次函数 y=2x28x1 化成 y=a(xh) 2+k 的形式,结果为( ) A y=2(x 2) 21 B y=2(x 4) 2+32 C y=2(x 2) 29 D y=2(x 4) 233 考点: 二次函数的三种形式版权所有 分析: 利用配方法整理即可得解 解答: 解:y=2x 28x1, =2(x 24x+4)8 1, =2(x2 ) 29, 即 y=2(x 2) 29 故选 C 点评: 本题考查了二次函数的三种形式,熟练掌握配方法的操作是解题的关键 7 (4 分)如图,D 是ABC 的边 AB 上的一点,那么下列四个条件不能单独判定ABC ACD 的是( ) A
19、 B=ACD B ADC=ACB C D AC2=ADAB 考点: 相似三角形的判定版权所有 专题: 计算题 分析: 根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可 解答: 解:A 是公共角, 再加上B=ACD,或ADC= ACB 都可判定 ABCACD, A 是公共角,再加上 AC2=ADAB,即 = ,也可判定ABCACD, 选项 A、B、 D 都可判定ABC ACD 而选项 C 中的对两边成比例,但不是相应的夹角相等,所以选项 C 不能 故选 C 点评: 本题考查了相似三角形的判定,此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握,难度不大,属于基础题, 要求学生应熟练掌握 8 (4 分
20、) (2014 石景山区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 ABCD 的位置如图 1 所示,点 A 的坐标为 (2 ,0 ) ,点 B 的坐标为(0 ,2) ,点 D 的坐标为( 3,1 ) 矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向 运动,设运动时间为 x(0 x3)秒,第一象限内的图形面积为 y,则下列图象中表示 y 与 x 的函数关系的图象大 致是( ) A B C D 考点: 动点问题的函数图象版权所有 分析: 根据点 A、B、D 的坐标求出 OA=OB=2, AOB 是等腰直角三角形,AD= ,AB=2 ,由矩形的性质得出 AD=BC= ,AB=CD=2 ,D
21、AB= ABC=C=D=90,再分三种情况进行讨论: 当 0x1 时,矩形 ABCD 落在第一象限内的图形是三角形 PBQ,利用三角形的面积公式表示出 y 与 x 的函数关系式, 当 1x2 时,矩 形 ABCD 落在第一象限内的图形是梯形 PBCQ,利用梯形的面积公式表示出 y 与 x 的函数关系式,当 2x3 时,矩形 ABCD 落在第一象限内的图形是五边 形 PABCQ,利用矩形的面积减去三角形的面积,列式整理得到 y 与 x 的函数关系式,从而判断出函数图象而得解 解答: 解:如图 1,点 A 的坐标为( 2,0) ,点 B 的坐标为(0,2) ,点 D 的坐标为(3,1) , OA=
22、OB=2,AOB 是等腰直角三角形,AD= = , AB=2 四边形 ABCD 是矩形, AD=BC= ,AB=CD=2 , DAB=ABC=C=D=90 分三种情况: 当 0x1 时,矩形 ABCD 落在第一象限内的图形是三角形 PBQ,如图 2 OA=2x,AOP 是等腰直角三角形, AP= OA= (2x) , PB=ABAP=2 (2 x)= x, PBQ 是等腰直角三角形, y= PB2= ( x) 2=x2; 当 1x2 时,矩形 ABCD 落在第一象限内的图形是梯形 PBCQ,如图 3 OA=2x,AOP 是等腰直角三角形, AP= OA= (2x) , PB=ABAP=2 (2
23、 x)= x, DQ= (2x)+ =3 x, CQ=2 (3 x)= x , y= (CQ+BP )BC= ( x + x) =2x1; 当 2x3 时,矩形 ABCD 落在第一象限内的图形是五边形 PABCQ,如图 4 OA=x2,AOP 是等腰直角三角形, AP= OA= (x2) , PD=ADAP= (x2)=3 x, SPDQ= PD2= (3 x) 2=x26x+9; y=S 矩形 ABCDSPDQ=2 (x 26x+9)= x2+6x5; 纵观各选项,只有 D 选项图形符合 故选 D 点评: 本题考查了动点问题的函数图象,主要利用了矩形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,解直角
24、三角形,分三 段得到第一象限内的图形并求出相应的函数关系式是解题的关键 二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9 (4 分) (2007 山西)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是 圆柱 (写出名称) 考点: 简单几何体的三视图版权所有 分析: 通过给出的三种视图,然后综合想象,得出这个几何体是圆柱体 解答: 解:根据题意,这个几何体是圆柱 点评: 本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状,考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综 合能力 10 (4 分) (2005 贵阳)如图,P 是反比例函数图象在第二象限上一点,且矩形 PEOF 的面积是 3,则反比例函数
25、 的解析式为 考点: 反比例函数系数 k 的几何意义版权所有来源:学科网 ZXXK 专题: 数形结合 分析: 因为过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积 S 是个定值,即 S=|k|,再根据反比例函数的图象所在 的象限确定 k 的值,即可求出反比例函数的解析式 解答: 解:由图象上的点所构成的矩形面积为 3 可知, S=|k|=3,k= 3 又由于反比例函数的图象在第二、四象限,k0, 则 k=3,所以反比例函数的解析式为 故答案为: 点评: 主要考查了反比例函数 中 k 的几何意义,即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经 常考查的一个知识点;这
26、里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解 k 的几何意义 11 (4 分) (2014 门头沟区一模)如图,AB 为O 的弦,半径 OCAB 于点 D,AB=2 ,A=30,则 O 的 直径为 4 考点: 垂径定理;解直角三角形版权所有 专题: 计算题 分析: 连结 OB,根据垂径定理得到 AD=BD= AB= ,再根据圆周角定理得COB=2 A=60,则可根据含 30 度的直角 三角形三边的关系得到 OD= BD=1,OB=2OD=2,于是得到O 的直径为 4 解答: 解:连结 OB,如图, 半径 OCAB 于点 D, AD=BD= AB= , A=30, COB=2A=60, OD=
27、 BD=1, OB=2OD=2, O 的直径为 4 故答案为 4 点评: 本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角定理和含 30 度的直 角三角形三边的关系 12 (4 分)如图,在 RtABC 中, ACB=90,ABC=30,直角MON 的顶点 O 在 AB 上,OM、ON 分别交 CA、CB 于点 P、Q,MON 绕点 O 任意旋转当 时, 的值为 ;当 时,为 (用含 n 的式子表示) 考点: 相似三角形的判定与性质版权所有 专题: 规律型 分析: 作 ODAC 于 D,OEBC 于 E,由 ODBC,OE AC 易得 AODABC,BOEBAC
28、,根据相似的性质得 = , = ,由于 ,则 = , = ,所以 = ,在 RtABC 中,利用正切的定义得 tanB=tan30= = ,即 = ,所以 = ;利用等角的余角相等得到DOP=QOE ,则 RtDOPRtEOQ, 则 = = ,且当 n=2 时,即 时, = 解答: 解:作 ODAC 于 D,OEBC 于 E,如图, ACB=90, ODBC,OEAC, AODABC,BOEBAC, = , = , , = , = , = , = , = , 在 RtABC 中,tanB=tan30 = = ,即 = , = , POQ=90, 而DOE=90 , DOP=QOE, RtDOP
29、RtEOQ, = = , 当 n=2 时,即 时, = 故答案为 , 点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质:平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似;有两 组角对应相等的两 个三角形相似;相似三角形对应边的比相等,都等于相似比 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13 (5 分)计算:tan60+sin 2452cos30 考点: 特殊角的三角函数值版权所有 分析: 将特殊角的三角函数值代入求解 解答: 解:原式= + = 点评: 本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值 14 (5 分)如图,在平面直角坐标系中,ABC 和 A
30、BC是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形,且点 B(3,1) ,B (6,2) (1)若点 A( ,3) ,则 A的坐标为 (5,6) ; (2)若ABC 的面积为 m,则 ABC的面积= 4m 考点: 位似变换;坐标与图形性质;相似三角形的性质版权所有 分析: (1)利用位似是特殊的相似,若两个图形ABC 和 ABC以原点为位似中心,相似比是 k, ABC 上一点的坐标 是(x,y) ,则在ABC中,它的对应点的坐标是(kx,ky)或(kx,ky) (2)利用面积比等于位似比的平方得出即可 解答: 解:(1)B(3,1) ,B(6 ,2) 点 A( ,3) ,则 A的坐标为:( 2,32)
31、即(5,6 ) ; (2)ABC 的面积为 m, ABC的面积为 4m 故答案为:(1) (5,6) (2)4m 点评: 此题主要考查了位似变换的性质,正确理解位似与相似的关系,记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的 关系是解题的关键 15 (5 分)已知 2x2+2x4=0,求 2(x1) 2x(x6)+3 的值 考点: 整式的混合运算化简求值版权所有 分析: 本题应先将原式去括号、合并同类项,将原式化为含有 x2+2x+5 的式子,再根据方程求得 x 的值将 x 的值代入 x2+2x+5 的式子即可 解答: 解:2(x1) 2x(x6)+3 =2x24x+2x2+6x+3 =x2+2x
32、+5 2x2+2x4=0, x2+x2=0, x1=2,x 2=1, 所以 2(x1) 2x(x6)+3 =x+7 =5 或 8 点评: 此题考查了整式的混合运算化简求值,涉及的知识有:单项式乘以多项式法则,完全平方公式,去括号法则,以 及合并同类项法则,熟练掌握法则及公式是解本题的关键 16 (5 分)如图,在ABCD 中,点 E 在 BC 边上,点 F 在 DC 的延长线上,且 DAE=F (1)求证:ABEECF; (2)若 AB=5,AD=8,BE=2,求 FC 的长 考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质版权所有 分析: (1)由平行四边形的性质可知 ABCD,ADBC所以
33、 B=ECF,DAE= AEB,又因为又DAE= F,进而可 证明:ABEECF; (2)由(1)可知:ABEECF,所以 ,由平行四边形的性质可知 BC=AD=8,所以 EC=BCBE=82=6, 代入计算即可 解答: (1)证明:如图 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,ADBC B=ECF,DAE=AEB 又DAE=F, AEB=F ABEECF; (2)解:ABE ECF, , 四边形 ABCD 是平行四边形, BC=AD=8 EC=BCBE=82=6 点评: 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质,是中考常见题型 17 (5 分) (2013 朝阳区二模)如图,在
34、平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx2 的图象与 x、y 轴分别交于点 A、B,与反比例函数 (x0)的图象交于点 来源:学科网 ZXXK (1)求 A、B 两点的坐标; (2)设点 P 是一次函数 y=kx2 图象上的一点,且满足APO 的面积是ABO 的面积的 2 倍,直接写出点 P 的坐 标 考点: 反比例函数综合题版权所有 分析: (1)将点 M 的坐标代入反比例函数,可得出 n 的值,再将点 M 的具体坐标代入一次函数,从而得出 k 的值,然 后求 A、B 的坐标即可 (2)根据APO 的面积,求出点 P 的纵坐标,代入直线解析式可得出点 P 的坐标 解答: 解:(1)点
35、在反比例函数 (x 0)的图象上, n=1, 一次函数 y=kx2 的图象经过点 , k=2, 一次函数的解析式为 y=2x2, A( 1, 0) ,B(0,2) (2)S AOB= OAOB=1, 设点 P 的坐标为(a,2a 2) , 由题意得, 1|2a2|=2, 解得:a 1=1,a 2=3, 故 P1(3,4) ,P 2(1, 4) 点评: 本题考查了反比例函数的综合,解答本题的关键是求出点 M 的坐标,第二问中要设出点 P 的纵坐标,根据AOP 的面积求出纵坐标 18 (5 分)学校要围一个矩形花圃,花圃的一边利用 10 米长的墙,另三边用总长为 20 米的篱笆恰好围成(如图 所示
36、) 若花圃的面积为 48 平方米,AB 边的长应为多少米? 考点: 一元二次方程的应用版权所有 专题: 几何图形问题 分析: 设 AB 边的长为 x 米,则 BC 边的长为(202x)米,利用矩形的面积公式列出方程求解即可; 解答: 解:设 AB 边的长为 x 米,则 BC 边的长为(202x)米, x(202x )=48 解得 x=4 或 x=6 202x10, x5, x=6, 答:AB 边的长应为 6 米 点评: 本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出方程是解答本类题目的关键 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19 (5 分) (2012 东城区二模)如图,在平行四边形
37、 ABCD 中,AB=5,BC=8,AE BC 于点 E,cosB= ,求 tanCDE 的值 考点: 平行四边形的性质;解直角三角形版权所有 分析: 首先由已知条件和勾股定理计算 CE=5,所以 CD=AB,进而得到 CDE=CED=ADE,所以 tanCDE=tanADE 问题的解 解答: 解:在ABE 中,AEBC ,AB=5 ,cosB= , BE=3,AE=4 EC=BCBE=83=5 平行四边形 ABCD, CD=AB=5 CED 为等腰三角形 CDE=CED ADBC, ADE=CED CDE=ADE 在 RtADE 中,AE=4,AD=BC=8, tanCDE= = 点评: 本
38、题考查了解直角三角形的运用、勾股定理的运用、平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质,解题的关键 是找到图形中相等的角 20 (5 分)甲、乙两名同学玩抽纸牌比大小的游戏,规则是:“甲将同一副牌中正面分别标有数字 1,3,6 的三张 牌洗匀后,背面朝上放置在桌面上,随机抽一次且一次只抽一张,记下数字;乙将同一副牌中正面分别标有数字 2,3,4 的三张牌洗匀后,背面朝上放置在桌面上,随机抽一次且一次只抽一张,记下数字;若甲同学抽得的数字 比乙同学抽得的数字大,甲获胜,反之乙获胜,若数字相同,视为平局 ” (1)请用画树状图或列表的方法计算出平局的概率; (2)说明这个规则对甲、乙双方是否公平 考
39、点: 游戏公平性;列表法与树状图法版权所有 专题: 计算题 分析: (1)先列表展示所有 9 种等可能的结果数,再找出数字相同的结果数,然后根据概率公式计算; (2)分别计算出甲和乙获胜的概率,然后比较概率大小后判断游戏的公平性 解答: 解:(1)列表如下: 甲/乙 2 3 4 1 (1,2)乙胜 (1,3) 乙胜 (1,4)乙胜 3 (3,2) 甲胜 (3,3) 平局 (3,4) 乙胜 6 (6,2) 甲胜 (6,3) 甲胜 (6,4) 甲胜 由列表可知,可能出现的结果有 9 个,平局的结果有 1 个, 所以 P(平局)= (4 分) (2)甲获胜的概率= ,乙获胜的概率= , 所以两方获胜
40、的概率相等,游戏规则对双方是公平的 点评: 本题考查了游戏的公平性:判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率,然后比较概率的大小,概率相等就公平, 否则就不公平 来源:学科网 ZXXK 21 (5 分) (2013 朝阳区一模)如图, O 是 ABC 是的外接圆,BC 为O 直径,作 CAD=B,且点 D 在 BC 的延长线上 (1)求证:直线 AD 是O 的切线; (2)若 sinCAD= , O 的直径为 8,求 CD 长 考点: 切线的判定;解直角三角形版权所有 专题: 计算题 分析: (1)连结 OA,根据圆周角定理的推论得到BAC=90,由CAD= B 易得 BAO=CAD,则 CAD
41、+CAO=90, 于 是 OAAD,然后根据切线的判定方法即可得到直线 AD 是O 的切线; (2)在 RtABC 中,由 sinB=sinCAD= ,根据正弦的定义可计算出 AC=2 ,再根据勾股定理可计算出 AB=2 ,利用 DACDBA 得 = = = ,即 AD= CD,然后在 RtOAD 中,根据勾股定理可得 到关于 CD 的方程,然后解方程得 CD 的长 解答: (1)证明:连结 OA,如图, BC 为 O 直径, BAC=90,即BAO+ CAO=90, OA=OB, B=BAO, 而CAD=B , BAO=CAD, CAD+CAO=90,即 OAD=90, OAAD, 直线 A
42、D 是O 的切线; (2)在 RtABC 中,sinB=sinCAD= , 而 sinB= ,BC=8, AC=2 , AB= =2 , CAD=B, DACDBA, = = = ,即 AD= CD, 在 RtOAD 中,OA=OC=4, OA2+AD2=OD2, 42+( CD) 2=(4+CD) 2, CD= 点评: 本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线也考查了勾股定理、相似三角形的判定 与性质以及圆周角定理的推论 22 (5 分) (2012 朝阳区一模)阅读下面材料: 问题:如图,在ABC 中,D 是 BC 边上的一点,若BAD= C=2DAC=45,DC=2
43、求 BD 的长 小明同学的解题思路是:利用轴对称,把ADC 进行翻折,再经过推理、计算使问题得到解决 (1)请你回答:图中 BD 的长为 2 ; (2)参考小明的思路,探究并解答问题:如图,在ABC 中,D 是 BC 边上的一点,若 BAD=C=2DAC=30,DC=2,求 BD 和 AB 的长 考点: 翻折变换(折叠问题) ;全等三角形的判定与性质;勾股定理版权所有 专题: 压轴题 分析: (1)把ADC 沿 AC 翻折,得AEC,连接 DE,可得ADC AEC,又 DCA=45,即可得CDE 是等腰直角三 角形,利用勾股定理即可求出 BD 的长; (2)同理把ADC 沿 AC 翻折,得AE
44、C,连接 DE,可得ADC AEC,又由 BAD=C=2DAC=30, DC=2,易证得 CDE 为等边三角形,则 DE 的长,然后在 AE 上截取 AF=AB,连接 DF,可证得ABD AFD, 即可得 BD=DF,然后由角的关系,求得 DFE=DEF=75,根据等边对等角的性质,即可得 BD=DE,即可求得 BD 的长;再作 BGAD 于点 G,可得BDG 是等腰直角三角形,即可求得 BG 的长,又由BAD=30 ,即可求得 AB 的长 解答: 解:(1)把ADC 沿 AC 翻折,得AEC,连接 DE, ADCAEC, DCA=ECA,DC=EC ,DAC= CAE, BAD=C=2DAC
45、=45,DAE= DAC+CAE=2DAC, ECD=ECA+DCA=90, BAD=DAE, DE= =2 , ADB=DAC+ACD=22.5+45=67.5, ADE=180ADBEDC=18067.545=67.5, ADB=ADE, 在BAD 和 EAD 中, , BADEAD(ASA) , BD=DE=2 ;(2 分) 故答案为:2 (2)把ADC 沿 AC 翻折,得AEC,连接 DE, ADCAEC, DAC=EAC,DCA= ECA,DC=EC, BAD=BCA=2DAC=30, BAD=DAE=30,DCE=60, CDE 为等边三角形, (3 分) DC=DE, 在 AE 上截取 AF=AB,连接 DF, AD 是公共边, ABDAFD, BD=DF, 在ABD 中,ADB=DAC+ DCA=45, ADE=AED=75, ABD=105, AFD=105, DFE=75, DFE=DEF, DF=DE, BD=DC=2,(4 分) 作 BGAD 于点 G, 在 R