1、2015-2016 学年河北省唐山市乐亭县八年级（上）期末数学试卷 一.用心选一选（每小题 3 分，共 48 分，每小题给出的四个选项只有一个是符合题意的） 127 的立方根是( ) A3 B3 C 3 D3 2下列分式的约分不正确的是( ) A B C D 3要使二次根式 有意义， x 必须满足( ) Ax2 Bx 2 Cx2 Dx2 4下列各式中属于最简二次根式的是( ) A B C D 5下列各式 ，3.14，0.2 ， 中，无理数的个数为 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6下列计算不正确的是( ) A =2 B = =9 C9 的算术平方根是 3 D4 的平方根是2 7
2、如图，ABCD，点 E 在 BC 上，且 CD=CE，D=74，则B 的度数为( ) A68 B32 C22 D16 8下列根式中能与 合并的二次根式为( ) A B C D 9下列运算正确的是( ) A + = B = C （ 1） 2=31 D =5+3 10如图所示，已知1=2，要使 BD=CD，还应增加的条件是( ) AB=AC； B=C；ADBC ；AB=BC A B C D 11如图，矩形 OABC 的边 OA 长为 2，边 AB 长为 1，OA 在数轴上，以原点 O 为圆心， 对角线 OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( ) A2.5 B2 C D 12设
3、 mn=mn，则 的值是 ( ) A B0 C1 D1 13运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费 40 元， 乙种雪糕共花费 30 元，甲种雪糕比乙种雪糕多 20 根乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的 1.5 倍，若设甲种雪糕的价格为 x 元，根据题意可列方程为( ) A B C D 14如图，ABC 中， BAC=90，AB=AC，点 D 是斜边 BC 的中点，DEDF，若 AB=8cm，则四边形 AEDF 的面积为( ) A64 B32 C16 D8 15已知 mn0，分式 的分子分母都加上 1，所得分式 的值( ) A增大 B减小 C不变 D无法确定 16已知实
4、数 a 满足 ，那么 a20002 的值是( ) A1999 B2000 C2001 D2002 二.细心填一填，每小题 3 分，共 12 分 17比较大小： _ （填“、或=”） 18若实数 a、b 满足|a+2| ，则 =_ 19如图，等边ABC 的边长为 1cm，D、E 分别是 AB、AC 上的点，将ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A处，且点 A在ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 _cm 20如图，BOC=10 ，点 A 在 OB 上，且 OA=1，按下列要求画图：以 A 为圆心，1 为半 径向右画弧交 OC 于点 A1，得第 1 条线段 AA1；再以 A1 为圆心，1
5、为半径向右画弧交 OB 于点 A2，得第 2 条线段 A1A2；再以 A2 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A3，得第 3 条线段 A2A3；这样画下去，直到得第 n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了， 则 n=_ 三.解答题 21 （1）计算： （2 ） （2）先化简，再求值：（ ） ，其中 x= 22如图所示，网格中每个小正方形的边长为 1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴 影部分构成的图案，解答下列问题： （1）这三个图案都具有以下共同特征：都是_对称图形，都不是_对称 图形 （2）请在图（2）中设计出一个面积为 4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与 图（1
6、）中所给出的图案相同 23张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 a 221 321 421 521 b 4 6 8 10 c 22+1 32+1 42+1 52+1 （1）请你分别观察 a、b、c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n（n1）的代数式表示： a=_；b=_；c=_； （2）猜想：以 a、b、c 为边长的三角形是否是直角三角形？为什么？ 24ABC 中， ABC 与 ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作一直线交 AB、AC 于 E、F且 BE=EO （1）说明 OF 与 CF 的大小关系； （2）若 BC=12cm，点 O 到 AB 的距离为
7、4cm，求 OBC 的面积 25某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定 价 7 元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高 了 20%，他用 1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本，当按定价售出 200 本时，出现滞 销，便以定价的 4 折售完剩余的书 （1）第一次购书的进价是多少元？ （2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱， 赔多少；若赚钱，赚多少？ 26如图，在ABC 中， ACB=90，AC=6cm ，BC=8cm，动点 P 从点 C 出发，按 CBA 的路径，以 2
8、cm 每秒的速度运动，设运动时间为 t 秒 （1）当 t=2 时，求 ACP 的面积； （2）王老师提出一个问题：“当 t 为何值时，线段 AP 是CAB 的平分线？” 聪明的小亮通 过探索，得到如下思路：第一步：连结 AP，若 AP 平分CAB，则点 P 在 CB 边上过点 P 作 PDAB，垂足为 D，则 ACPADP，这时可求得 AD，DB 的长；第二步：在PDB 中，根据勾股定理，建立关于 t 的方程，通过解方程可求出 t 的值请你根据小亮的思路， 在备用图 1 中补全图形，并求出 t 的值； （3）请你利用备用图 2 来继续探索：当 t 为何值时， ACP 是等腰三角形？（直接写出结
9、 论） 2015-2016 学年河北省唐山市乐亭县八年级（上）期末 数学试卷 一.用心选一选（每小题 3 分，共 48 分，每小题给出的四个选项只有一个是符合题意的） 127 的立方根是( ) A3 B3 C 3 D3 【考点】立方根 【专题】计算题；实数 【分析】原式利用立方根定义计算即可得到结果 【解答】解：27 的立方根是 3， 故选 B 【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键 2下列分式的约分不正确的是( ) A B C D 【考点】约分 【分析】根据约分的定义，把分子分母同时约去它们的公因式即可 【解答】解：A、分子分母同时除以 x 即可，此选项计算正确； B、
10、分子分母同时除以 a 可得 ，此选项计算错误； C、 = =1，此选项计算正确； D、分子分母同时除以 mn 即可，此选项计算正确； 故选：B 【点评】此题主要考查了分式的约分，关键是正确的找出分子分母的公因式 3要使二次根式 有意义， x 必须满足( ) Ax2 Bx 2 Cx2 Dx2 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围 【解答】解：根据题意得：x2 0，解得：x2 故选 B 【点评】本题考查了二次根式的意义和性质概念：式子 （a0）叫二次根式性质： 二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 4下列各式中属于最
11、简二次根式的是( ) A B C D 【考点】最简二次根式 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两 个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 【解答】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 A 错误； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 B 错误； C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故 C 正确； D、被开方数含分母，故 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满 足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式 5下列各式 ，3
12、.14，0.2 ， 中，无理数的个数为 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】无理数 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念， 有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是 无理数由此即可判定选择项 【解答】解： ， 是无理数， 故选：B 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开 方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 6下列计算不正确的是( ) A =2 B = =9 C9 的算术平方根是 3 D4 的平方根是2 【考点】算术平方根；平方根
13、【分析】依据平方根和算术平方根的定义回答即可 【解答】解：A、 =2，故 A 错误，与要求相符； B、 = =9，故 B 正确，与要求不符； C、9 的算术平方根是 3，正确，与要求不符； D、4 的平方根是2，正确，与要求不符 故选：A 【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义，掌握算术平方根和平方根的定义 是解题的关键 7如图，ABCD，点 E 在 BC 上，且 CD=CE，D=74，则B 的度数为( ) A68 B32 C22 D16 【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出C 的度数，再根据两直线平行，内错角相等解 答即可 【解答】解：CD=
14、CE， D=DEC， D=74， C=180742=32， ABCD， B=C=32 故选 B 【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟 记性质是解题的关键 8下列根式中能与 合并的二次根式为( ) A B C D 【考点】同类二次根式 【分析】根据二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式， 可得答案 【解答】解：A、 =2 与 不是同类二次根式，故 A 错误； B、 =2 与 不是同类二次根式，故 B 错误； C、 = 与 不是同类二次根式，故 C 错误； D、 =3 与 是同类二次根式，故 D 正确； 故选：D 【点评】此题主
15、要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开 方数相同的二次根式叫做同类二次根式 9下列运算正确的是( ) A + = B = C （ 1） 2=31 D =5+3 【考点】二次根式的混合运算 【分析】分别利用二次根式的性质计算求出即可 【解答】解：A、 + 无法计算，故此选项错误； B、 = ，故此选项正确； C、 （ 1） 2=32 +1，故此选项错误； D、 = ，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的运算法则是解题关 键 10如图所示，已知1=2，要使 BD=CD，还应增加的条件是( ) AB=AC； B=C；ADBC
16、 ；AB=BC A B C D 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】根据等腰三角形性质推出即可； 根据等腰三角形的判定得出 AB=AC，再根 据等腰三角形性质推出即可；求出 ADBADC，根据全等推出即可；根据等腰三 角形性质和全等三角形的性质和判定判断即可 【解答】解：或或， 理由是：AB=AC，1=2， BD=CD； B=C， AB=AC， 1=2， BD=CD ADBC， ADB=ADC=90， 在ADB 和 ADC 中， ， ADBADC（ASA） ， BD=CD 由 AB=BC 和1=2 不能推出 BD=CD，错误； 故选 C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质
17、和判定的应用，能灵活运用定 理进行推理是解此题的关键 11如图，矩形 OABC 的边 OA 长为 2，边 AB 长为 1，OA 在数轴上，以原点 O 为圆心， 对角线 OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( ) A2.5 B2 C D 【考点】实数与数轴 【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可 【解答】解：由勾股定理可知， OB= ， 这个点表示的实数是 故选 D 【点评】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的 关键是根据勾股定理求出 OB 的长 12设 mn=mn，则 的值是 ( ) A B0 C1 D
18、1 【考点】分式的加减法 【专题】计算题 【分析】首先把分式进行通分，然后把 mn=mn 整体代入，即可解答 【解答】解：原式= ， mn=mn， 原式 =1 故选 D 【点评】本题主要考查分式的减法，整体法代入在解题中很重要的 13运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费 40 元， 乙种雪糕共花费 30 元，甲种雪糕比乙种雪糕多 20 根乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的 1.5 倍，若设甲种雪糕的价格为 x 元，根据题意可列方程为( ) A B C D 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【专题】压轴题 【分析】若设甲种雪糕的价格为 x 元，根据等量关系“甲种雪糕比乙
19、种雪糕多 20 根” 可列方 程求解 【解答】解：设甲种雪糕的价格为 x 元，则 甲种雪糕的根数： ； 乙种雪糕的根数： 可得方程： =20 故选 B 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的 有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的本题分析题意，找到合适的等量关系是解 决问题的关键 14如图，ABC 中， BAC=90，AB=AC，点 D 是斜边 BC 的中点，DEDF，若 AB=8cm，则四边形 AEDF 的面积为( ) A64 B32 C16 D8 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】利用点 D 是斜边 BC 的中点，可以得到 A
20、DBC，而 DEDF，得出1=2；由等 腰直角三角形 ABC 的性质及 1=2 可以证明ADECDF；得出 SADE=SCDF，得到 S 四边形 AEDF=SADE+SADF=SCDF+SADF=SACD= SABC，即可得出结果 【解答】解：AB=AC，点 D 是 BC 中点， ADBC 2=90ADF DEDF， 1=90ADF 1=2 AB=AC，BAC=90， C=45 又 点 D 是 BC 中点， DAC=EAD= BAC=45 C=EAD=DAC AD=CD 在ADE 和 CDF 中， ， ADECDF（ASA） SADE=SCDF， S 四边形 AEDF=SADE+SADF=SC
21、DF+SADF =SACD= SABC = 88=16cm2 故选：C 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等 腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键 15已知 mn0，分式 的分子分母都加上 1，所得分式 的值( ) A增大 B减小 C不变 D无法确定 【考点】分式的值 【专题】计算题 【分析】先计算 = = ，再由 mn0 得到 mn 0， m（m+1）0，则 = 0 【解答】解： = = ， mn0， mn 0，m （m+1 ）0， = 0， 故选 A 【点评】本题考查了分式的值：把满足条件的字母的值代入分式值进行计算得到的值叫分 式的
22、值也考查了分式值的大小 16已知实数 a 满足 ，那么 a20002 的值是( ) A1999 B2000 C2001 D2002 【考点】二次根式有意义的条件；绝对值；无理方程 【专题】计算题 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出 a 的取值范围，依此计算绝对值，从而求得 a20002 的值 【解答】解：a2001 0， a2001， 则原式可化简为：a2000+ =a， 即： =2000， a2001=20002， a20002=2001 选 C 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和绝对值的性质求出 x 的范围，对原式进行 化简是解决本题的关键 二.细心填一填，每小题 3 分，共 1
23、2 分 17比较大小： （填“、或=”） 【考点】实数大小比较 【分析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解 【解答】解：（ ） 2=12， （3 ） 2=18， 而 1218， 2 3 故答案为： 【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取 近似值法、比较 n 次方的方法等 18若实数 a、b 满足|a+2| ，则 =1 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值 【分析】根据非负数的性质列出方程求出 a、b 的值，代入所求代数式计算即可 【解答】解：根据题意得： ， 解得： ， 则原式= =1 故答案是：1 【点评】本题考查了
24、非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0 19如图，等边ABC 的边长为 1cm，D、E 分别是 AB、AC 上的点，将ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A处，且点 A在ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 3cm 【考点】翻折变换（折叠问题） ；轴对称的性质 【分析】由题意得 AE=AE，AD=AD，故阴影部分的周长可以转化为三角形 ABC 的周 长 【解答】解：将ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A处， 所以 AD=AD，AE=AE 则阴影部分图形的周长等于 BC+BD+CE+AD+AE， =BC+BD+CE+AD+AE， =BC+AB+AC， =3
25、cm 故答案为：3 【点评】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系 20如图，BOC=10 ，点 A 在 OB 上，且 OA=1，按下列要求画图：以 A 为圆心，1 为半 径向右画弧交 OC 于点 A1，得第 1 条线段 AA1；再以 A1 为圆心，1 为半径向右画弧交 OB 于点 A2，得第 2 条线段 A1A2；再以 A2 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A3，得第 3 条线段 A2A3；这样画下去，直到得第 n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了， 则 n=8 【考点】等腰三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得A
26、 1AB 的度数，A 2A1C 的 度数，A 3A2B 的度数， A4A3C 的度数，依此得到规律，再根据三角形外角小于 90 即可求解 【解答】解：由题意可知：AO=A 1A，A 1A=A2A1， 则AOA 1=OA1A，A 1OA2=A1A2A， BOC=10， A1AB=20， A2A1C=30，A 3A2B=40，A 4A3C=50， 10n90， 解得 n9 由于 n 为整数，故 n=8 故答案为：8 【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 三.解答题 21 （1）计算： （2 ） （2）先化简，
27、再求值：（ ） ，其中 x= 【考点】分式的化简求值；二次根式的加减法 【专题】计算题；分式 【分析】 （1）原式去括号化简后，合并同类二次根式即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约 分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式=3 10 +3 =3 7 ； （2）原式= = = ， 当 x= 时，原式= = =34 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 22如图所示，网格中每个小正方形的边长为 1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴 影部分构成的图案，解答下列问题： （1）这三个图案都
28、具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形 （2）请在图（2）中设计出一个面积为 4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与 图（1）中所给出的图案相同 【考点】利用旋转设计图案 【专题】作图题；压轴题 【分析】 （1）观察三个图形，利用中心对称和轴对称的性质即可解答； （2）根据中心对称的性质设计图案即可 【解答】解：（1）中心、轴； （2）如图所示： 【点评】本题考查的是利用旋转设计图案，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键 23张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 a 221 321 421 521 b 4 6 8 10 c 22+1 32+1
29、42+1 52+1 （1）请你分别观察 a、b、c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n（n1）的代数式表示： a=n21；b=2n；c=n 2+1； （2）猜想：以 a、b、c 为边长的三角形是否是直角三角形？为什么？ 【考点】勾股定理的逆定理；列代数式 【专题】计算题 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可 【解答】解：a=n 21，b=2n，c=n 2+1， 理由：a 2+b2=（n 21） 2+（2n） 2=n4+2n2+1，c 2=（n 2+1） 2=n4+2n2+1， a2+b2=c2， 以 a、b、c 为边长的三角形是直角三角形 【点评】本题考查勾
30、股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形 三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 24ABC 中， ABC 与 ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作一直线交 AB、AC 于 E、F且 BE=EO （1）说明 OF 与 CF 的大小关系； （2）若 BC=12cm，点 O 到 AB 的距离为 4cm，求 OBC 的面积 【考点】角平分线的性质；平行线的性质 【分析】 （1）由 BE=EO，根据等边对等角，可得 EBO=EOB，又由ABC 中，ABC 与 ACB 的平分线交于点 O，可得EBO= OBC，即可判定 EFBC，则可证得 FOC=OCB=OCF，由等角对等
31、边，即可证得 OF=CF； （2）由点 O 到 AB 的距离为 4cm，根据角平分线的性质，即可得点 O 到 BC 的距离为 4cm，则可求得OBC 的面积 【解答】解：（1）OF=CF 理由：BE=EO ， EBO=EOB， ABC 中， ABC 与ACB 的平分线交于点 O， EBO=OBC， EOB=OBC， EFBC， FOC=OCB=OCF， OF=CF； （2）过点 O 作 OMBC 于 M，作 ONAB 于 N， ABC 中， ABC 与ACB 的平分线交于点 O，点 O 到 AB 的距离为 4cm， ON=OM=4cm， SOBC= BCOM= 124=24（cm 2） 【点评
32、】此题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的判定与性 质此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法 25某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定 价 7 元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高 了 20%，他用 1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本，当按定价售出 200 本时，出现滞 销，便以定价的 4 折售完剩余的书 （1）第一次购书的进价是多少元？ （2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱， 赔多少；若赚钱，赚多少？ 【考点】
33、分式方程的应用 【分析】 （1）设第一次购书的单价为 x 元，根据第一次用 1200 元购书若干本，第二次购书 时，每本书的批发价已比第一次提高了 20%，他用 1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本，列出方程，求出 x 的值即可得出答案； （2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价） 求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案 【解答】解：（1）设第一次购书的单价为 x 元，根据题意得： +10= 解得：x=5 经检验，x=5 是原方程的解， 答：第一次购书的进价是 5 元； （2）第一次购书为 12005=240（本） ， 第二次购书为 240+1
34、0=250（本） ， 第一次赚钱为 240（7 5）=480（元） ， 第二次赚钱为 200（7 51.2）+50（70.45 1.2）=40（元） ， 所以两次共赚钱 480+40=520（元） ， 答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了 520 元 【点评】此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语， 找到合适的等量关系是解决问题的关键 26如图，在ABC 中， ACB=90，AC=6cm ，BC=8cm，动点 P 从点 C 出发，按 CBA 的路径，以 2cm 每秒的速度运动，设运动时间为 t 秒 （1）当 t=2 时，求 ACP 的面积； （2）王老师提出
35、一个问题：“当 t 为何值时，线段 AP 是CAB 的平分线？” 聪明的小亮通 过探索，得到如下思路：第一步：连结 AP，若 AP 平分CAB，则点 P 在 CB 边上过点 P 作 PDAB，垂足为 D，则 ACPADP，这时可求得 AD，DB 的长；第二步：在PDB 中，根据勾股定理，建立关于 t 的方程，通过解方程可求出 t 的值请你根据小亮的思路， 在备用图 1 中补全图形，并求出 t 的值； （3）请你利用备用图 2 来继续探索：当 t 为何值时， ACP 是等腰三角形？（直接写出结 论） 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理 【分析】 （1）根据速度为每秒
36、 2cm，求出出发 2 秒后 CP 的长，然后根据面积公式即可得 到结果； （2）如图 1，由勾股定理得到 AB= =10，根据已知条件得到 ACPADP，于 是得到 AD=AC=6cm，BD=ABAD=4cm，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）如图 2，若 P 在边 BC 上时，AC=CP=6cm，此时用的时间为 3s，ACP 为等腰三 角形； 若 P 在 AB 边上时，有三种情况：（i ）若使 AP=CA=6cm，此时 BP=4cm，P 运动的路 程为 8+4=12cm，所以用的时间为 6s， BCP 为等腰三角形；ii）若 CP=AC=6cm，过 C 作 斜边 AB 的高，根据面积
37、法求得高为 4.8cm，作 CDAB 于点 D，在 RtPCD 中， PD=3.6，所以 AP=2PD=7.2cm，所以 P 运动的路程为 187.2=10.8cm，则用的时间为 5.4s，ACP 为等腰三角形；）若 AP=CP，此时 P 应该为斜边 AB 的中点，P 运动的路程 为 8+5=13cm，则所用的时间为 6.5s， ACP 为等腰三角形 【解答】解：（1）AC=6cm，PC=22=4cm ， SABC= ACPC= =12cm2； （2）如图 1，C=90 ， AB= =10， 根据题意得：ACPADP， AD=AC=6cm，BD=ABAD=4cm ， PD=PC=2t， PB=
38、82t， 在 RtPDB 中，PD 2+BD2=PB2， （ 2t） 2+42=（8 2t） 2， 解得：t=1.5； （3）如图 2，若 P 在边 BC 上时，AC=CP=6cm， 此时用的时间为 3s，ACP 为等腰三角形； 若 P 在 AB 边上时，有三种情况： （i）如图 3， 若使 AP=CA=6cm，此时 BP=4cm，P 运动的路程为 8+4=12cm， 所以用的时间为 6s，BCP 为等腰三角形； ii）如图 4， 若 CP=AC=6cm，过 C 作斜边 AB 的高，根据面积法求得高为 4.8cm， 作 CDAB 于点 D， 在 RtPCD 中，PD=3.6， 所以 AP=2PD=7.2cm， 所以 P 运动的路程为 187.2=10.8cm， 则用的时间为 5.4s，ACP 为等腰三角形； ）如图 5， 若 AP=CP，此时 P 应该为斜边 AB 的中点，P 运动的路程为 8+5=13cm 则所用的时间为 6.5s，ACP 为等腰三角形 综上所述，当 t 为 3s、5.4s、 6s、6.5s 时， ACP 为等腰三角形 【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等也考查了勾股定理和分类讨论的思想
