1、高三数学期末综合练习（四） 一、选择题：（本大题 12个小题，每小题 5分，共 60分）各题答案必需答在答题卡上。 1. 函数 的反函数是 ( )2x(1y A. B. 0 )Rx(2y C. D. )(x 2. 直线 l1, l2 互相平行的一个充分条件是 ( ) A. l1, l2 都平行于同一个平面 B. l1, l2 与同一个平面所成的角相等 C. l1 平行于 l2 所在的平面 D. l1, l2 都垂直于同一个平面 3. 若点 是 300角终边上异于原点的一点, 则 的值为 ( )y,(Axy A. B. C. D. 3333 4. 函数 与 有相同的定义域,且都不是常数函数,对定
2、义域中的任何 ,有()yfx()g x , ，且当 时， ，则()0f1x0x()1gx ( )2()1fxFfg A 是奇函数但不是偶函数 B 是偶函数但不是奇函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数也不是偶函数 5. 与直线 的方向向量共线的一个单位向量是 ( )05y4x3 A. B. C. D. ),( )3,()54,3( 53,4 6. 已知函数 f (x) , 则函数 f (x)在区间 上的最大值是 ( )x3 2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在等比数列 中, 前 n 项和为 S n. 若 则公比 q 的值是 ( )an ,6,73 A. 2 B. 2
3、C. 3 D. 3 8. 若 为圆 的弦的中点,则该弦所在直线的方程是（ )1,(Psi5yco)0( A. B. C. D. 03xx01yx05yx2 9. 已知双曲线的中心在坐标原点,离心率 ,且它的一个顶点与抛物线 的焦2e8 点重合,则此双曲线的方程为 ( ) A. B. C. D. 14y2x12y4x13yx21y3x2 10. 已知 F1 和 F2 是两个定点，点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点， 并且 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ),eP和 A B C D 21e42121e212e 11. 设正数 x , y 满足 则 的取值范围是（
4、 ),ylogxl)3yx(log22x A. B. 60(,6 C. D. ),71 710 12. 如图, 设点 A 是单位圆上的一定点 , 动点 P 从点 A 出 发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点 P 所旋转过的弧 的长为 l, 弦 AP 的长为 d, 则函数 的图象 大致是 ( ) 二填空题(本大题共 4小题,每小题 4分,共 16分) 13. 函数 的最小正周期是 .xcosincosy2 14. 如图, 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, ABC90, ABBC AA 12, 点 D 是 A1C1 的中点, 则异面 直线 AD 和 BC1 所成角的大小为 . 15. 函数 的定
5、义域是)a0()2lga . 16. 已知 坐标原点 O 在直线 AB 上的射影为,3(A 点 C, 则 .O 高三数学期末综合练习（四） 班级 姓名 学号 得分 一. 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二. 填空题（每小题 4分，共 16分） 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 三、解答题：（本大题 6个小题，共 74分）各题解答必需答在答题卡上（必需写出必 要 的文字说明、推理过程或计算步骤） 。 17. (本小题满分 12分)已知 , . 求 的53sin,21)tan(),2()2tan( 值. 18.
6、 (本小题满分 12分) 为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑。已知甲公司 的报价为每台 5800 元，优惠条件是购买 10 台以上则从第 11 台起可按报价的 70% 计算； 乙公司的报价也是每台 5800 元，优惠条件是每台按报价的 85% 计算。假如你是学校的有 关负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你将选择购买哪个公司 的电脑？ 19. (本小题满分 12分)如图, 在矩形 ABCD 中, AB2BC, P, Q 分别为线段 AB, CD 的 中点, EP平面 ABCD. (1) 求证: AQ 平面 CEP; (2) 求证:平面 AEQ平面 DEP; (3)
7、 若 EPAP, 求二面角 QAEP 的大小. 20. (本小题满分 12分)已知数列 的前 n 项和为 设集合a ).Ra(n)1S2n ,Nn|S,aAn y,x41|)y,x(B (1) 求数列 的通项公式; (2) 若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上? 并说 明理由; (3) “ 至多只有一个元素”是否正确? 如果正确, 请给予证明; 如果不正 确, 请举例说明. 21. (本小题满分 12分) 已知函数 .)0x(13)x(f2 (1) 试确定函数 的单调区间,并证明你的结论;(f (2) 若 1, 1, 证明: 1x2 |)f|21 22. (本小题满
8、分 14分)已知点 P 与定点 F 的距离和它到定直线 l: 的距离之)0,1( 4x 比是 1 : 2. (1) 求点 P 的轨迹 C 方程; (2) 过点 F 的直线交曲线 C 于 A, B 两点, A, B 在 l 上的射影分别为 M, N. 求证 AN 与 BM 的公共点在 x 轴上. 高三数学期末综合练习（四） 参考答案及评分标准 一. 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A D B C D C A A B D B C 二. 填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13. ; 14. 30 ; 15. ; 16
9、. ; 3,2( 43 三. 解答题（共 74 分） 17 （本小题满分 12 分） 解: (2 分)21tan21)tan( (4 分)34t , , (8 分)( 54sin1cos243tan (12 分)27)(3tat2n)2tan( 18 （本小题满分 12 分） 解: 解：设学校计划购置 台电脑，若向甲公司购买，则总价格x ；-3 分15807%(10)yx 若向乙公司购买，则总价格 = -5 分2580x493 当 时，显然 ，故应选择乙公司； -7 分1x21y 当 时，令 ，即：06174930xx 8704 -9 分2x 所以：当 时，选择乙公司，120x 当 时，选择甲
10、、乙两公司价格一样， 当 时，选择甲公司 -11 分 答：（略） 19 （本小题满分 12 分） 证明: (1) 在矩形 ABCD 中, APPB, DQQC, AP CQ. AQCP 为平行四边形. CP AQ. (2 分) CP 平面 CEP, AQ 平面 CEP, AQ平面 CEP. (4 分) (2) EP 平面 ABCD, AQ 平面 ABCD, AQEP. (5 分) AB2BC, P 为 AB 中点, APAD. 连 PQ, ADQP 为正方形. AQDP. 又 EPDPP, (6 分) AQ平面 DEP. (7 分) AQ 平面 AEQ. 平面 AEQ平面 DEP. (8 分)
11、 (3)过 P 作 PO AE, 垂足为 O, 连 OQ. QPAB, QPEP, QP平面 AEP. 则 OQAE. QOP 为二面角 QAEP 的平面角. (10 分) EPAP ,ADB21 OP EP AP PQ.2 tanPOQarctan . 即二面角 QAEP 的大小为 arctan .(12 分) 20 （本小题满分 12 分） 解: (1)当 时, (1 分)1na1Sa1 当 时, 2 )1n(a1n(n22n (3 分) 可见, 当 时, 满足上式. 所以, 数列 的通项公式是 (4 分)an )N(an (2)由数列 的通项公式是 ,2a 可知数列 是等差数列. , (
12、6 分)2)a(nSn12 )a(n ).a(21Snn 点 的坐标满足方程,n ,xy 点 在直线 上.)a( )a(1 所以, 以集合 A 中的元素为坐标的点 均在直线 上. )nS,a( )ax(21y (8 分) (3)由 , 消去 y, 得 (9 分) 4yx)a(214ax22 当 时, 方程无解, 此时, (10 分)0a ;B 当 时, 方程只有一个解,a2 此时方程组也只有一个解, 即 a4yx2 故上述方程组至多有一解, 所以 至多有一个元素(12 分)BA 21 （本小题满分 12 分） 解: (1) 函数 在区间 上是增函数, 函数 在区间 上是减函数.(1 分)x(f
13、10()x(f,1 下面证明: 设 , 则21)(f21 )x)( 133x3 212112 )(1x( 321122 )1x)(x(3212 ,(3 分)1x)(x(31 ,4322 , 同理 . 又 , .(4 分)010221x01 当 时, , .x121 .)(f2)x(f 函数 在区间 上是增函数., 当 时, , .21x120x2 .0)(f)(f 函数 在区间 上是减函数., 综上所述: 函数 在区间 上是增函数, 在区间 上是减函数. (6 分) ),1 (2) 由可知,函数在区间上减函数, (8 分)1x,2 )(fx1)(fx21 又在函数 中, 3 , )(f0,0
14、. , , (10 分)01)(f21)(f1)x(f2 , . ,x1xx12 .(12 分)|)(f|2 22 （本小题满分 14 分） 解： (1) 如图(1) 设 P 点的坐标为 , y( 则由题设得: ,21|4x|)( 2 化简得: ,)(y1 即 即 .,323 点 P 的轨迹 C 的方程是 .(5 分 )14x2 (2) 当 AB 轴时, AB 的坐标分别为 , ,)231() AN 与 BM 的交点为 在 x 轴上. (6 分)025( 当 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的方程为 ,1x(ky 代入椭圆 ,得 (7 分)13y42 0)248)3k4(2 设 , ,
15、 则 , ,)(A1B2M1(N 且 (8 分) 3k4x821 直线 AN 方程是 , 直线 BM 方程是 .1212xy4xy212 联列, 得 , 消去 y, 得: . 4xy21211 4x22 即 即 , (10 分),6)8x(1 58162 把 代入直线 AN 的方程2511x4y 得 1 211121 x4y5y23)5( (13 分)0x4)(5k122 AN 与 BM 交于点 是 x 轴上一定点. (14 分),5( (2) 解法二: 如图 (2) 当 AB 不垂直于 x 轴时, 设 AFn, 则 AM2n, 设 BFm, 则 BN2m, 在ABN 和BAM 中, FHAM, FH 1BN, ABNAFH 和BAM BFH 1 m2FHnBNFA ,(10 分)2H 同理可推, nM11 , (12 分)nF1 ,H 与 H1 重合 AN 与 BM 交点是 x 轴上一定点. (14 分)
