1、第 1 页 共 4 页 海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习 数 学（文科） 2012.01 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. （1）复数 i(2) （A） （B） （C） （D）2i2i2i （2）如图，正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点，那么ACDEFB=EF （A） （B） 1 +1A- （C） （D ）2B-2 （3）已知数列 满足： ，那么使 成na11, 0, (*)nnaaN5na 立的 的最大值为（ ） （A）4 （B）5 （C）24 （D）25 （4）某程序的框图如图
2、所示，若执行该程序，则输出的 值为 i （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （5）已知直线 ： 与直线 ： ，那么“ ”是“ ”的 1l0kxy+=2l10kxy+-=12k1l2 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）函数 的部分图象如图所示，那么 ()sin(2),)fxxA=+R(0)f= （A） （B） 1-1- （C） （D）323 （7）已知函数 ，则下列结论正确的是 ()2fxx F ED C BA 开始 i=1,s=0 s=s+2 i -1i s100 i= i +1 输出 i 结束 是 否 第 2 页 共 4 页 （
3、A） 是偶函数，递增区间是 （ B） 是偶函数，递减区间是()fx()0,+()fx(,1)- （C） 是奇函数，递减区间是 （D） 是奇函数，递增区间是 1- 0 （8）点 到图形 上每一个点的距离的最小值称为点 到图形 的距离. 已知点 ，圆 ：AAC(1,)AC ，那么平面内到圆 的距离与到点 的距离之差为 1 的点的轨迹是 220xy+=C （A）双曲线的一支 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）射线 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）双曲线 的离心率为 . 2145xy （10）已知抛物线 过点 ，那么点 到此抛物线的焦点的距离为 . 2ax
4、=(,1)4AA （11）若实数 满足 则 的最大值为 . ,y05,1y+- 2zxy=+ （12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位： ）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，C 两城市中平均温度较高的城市是_，气温波动较大的城市是_. （13）已知圆 ： ，过点 的直线 将圆 分成弧长之比为 的两段圆弧，则C2(1)8xy(1,0)AlC1:2 直线 的方程为 . l （14）已知正三棱柱 的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设 的中ABC- ,ABC 心分别是 ，现将此三棱柱绕直线 旋转，射线,OO 旋转所成的角为 弧度（ 可以取到任意一个实数） ，Ax甲城市 乙城市 9 0
5、8 7 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7 侧 （ 左 ） 视 图正 （ 主 ） 视 图 4 3 第 3 页 共 4 页 对应的俯视图的面积为 ，则函数 的最大值为 ；最小正周期为 . ()Sx()Sx 说明：“三棱柱绕直线 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时， 旋转所成的O OA 角为正角，顺时针方向旋转时， 旋转所成的角为负角.A 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分 13 分） 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， .ABCCabc2AB3sin （）求 的值；cos （）若 ，
6、求边 的长.2b=,ac (16)（本小题满分 13 分） 为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大 学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过 预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛. （）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. （17） （本小题满分 13 分） 在四棱锥 中，底面 是菱形， .PABCD-ABCBDO= （）若 ，求证： 平面 ； P （）若平面 平面 ，求证： ；= （）在棱 上是否存在点 （异于点 ）使得 平面MM ，
7、若存在，求 的值；若不存在，说明理由.PADPC (18)（本小题满分 13 分） 已知函数 ，其中 是常数.2()e)xfaa （）当 时，求 在点 处的切线方程；1af(1,f （）求 在区间 上的最小值.()fx0,) （19） （本小题满分 13 分） B C D OA P 第 4 页 共 4 页 已知椭圆 : 的右焦点为 ，离心率为 .C 21(0)xyab1F(,0)12 （）求椭圆 的方程及左顶点 的坐标；P （）设过点 的直线交椭圆 于 两点，若 的面积为 ，求直线 的方程.1F,ABPA361AB （20） （本小题满分 14 分） 若集合 具有以下性质：A ， ；01 若
8、，则 ，且 时， .yx,yx0xA1 则称集合 是“好集”. （）分别判断集合 ，有理数集 是否是“好集” ，并说明理由；1,B=-Q （）设集合 是“好集” ，求证：若 ，则 ；Ayx,yx （）对任意的一个“好集” ，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题 ：若 ，则必有 ；pyx, A 命题 ：若 ，且 ，则必有 ；q0xxy 数学参考答案第 1 页，共 6 页 海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学（文科） 参考答案及评分标准 201201 一.选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A C B C D
9、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9） （10） （11）7 （12）乙，乙 3254 （13） 或 （14） ；1yx=+1yx- 83 注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12） 、 （14）题第一空3分；第二空 2分. 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分 13 分） 解：（）因为 ，2AB 所以 . 2 分2cos1sin=- 因为 ，3in 所以 . 3 分1cos2A=- （）由题意可知， .(0,)B 所以 . 5 分26cos1sin3- 所以 .2iiicosAB= 7 分
10、因为 ， ，sinibab 所以 . 23= 数学参考答案第 2 页，共 6 页 所以 . 10 分463a= 由 可知， .过点 作 于 .1cosA(0,)2CDAB 所以 .4610cos233aBbA=+=+= 13 分 (16)（本小题满分 13 分） 解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙， 丙乙甲”. 2 分 （）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 ，事件 包含的基本事件A 有“甲乙丙，乙甲丙” ，则 4 分 .2163PA 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为 .13 7 分 （）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件 ，事件 包含
11、的基本事件B 有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲” ，则10 分 .4263PB 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为 .23 13 分 (17)（本小题满分 14 分） （）证明：因为 底面 是菱形ABCD 所以 . 1 分AC 因为 ， ，P 所以 平面 . 3 分 （）证明：由（）可知 .AB 因为 平面 平面 ，平面 平面 ，CDPCABDC= 平面 ，BD 所以 平面 . 5 分PA 数学参考答案第 3 页，共 6 页 因为 平面 ，POAC 所以 . 7 分BD 因为 底面 是菱形， 所以 . 所以 . 8 分= （）解：不存在. 下面用反证法说明. 9 分 假设存在点 （异于点
12、 ）使得 平面 .MCBMPAD 在菱形 中， ，ABDA 因为 平面 ， 平面 ，P 所以 平面 . 11 分 因为 平面 ， 平面 ，BCBPC ，CM= 所以 平面 平面 . PAD 13 分 而平面 与平面 相交，矛盾. 14 分B (18)（本小题满分 13 分） 解：（）由 可得2()e)xfa . 2 分 当 时, , . 4 分1a()ef(1)4ef 所以 曲线 在点 处的切线方程为 ，yx e41yx 即 . 6 分 4e3 （）令 ，2()()0xfax 解得 或 . 8 分xa 当 ，即 时，在区间 上， ，所以 是(2)02,)()0fx()fx 上的增函数.0,)
13、所以 的最小值为 ; 10(fx()fa 分 M B C D OA P 数学参考答案第 4 页，共 6 页 当 ，即 时, 随 的变化情况如下表(2)0a2a(),fxx(2)a(2),a()f -0+x(0)f ()f 由上表可知函数 的最小值为 .x24()eaf 13 分 （19） （本小题满分 13 分） 解：（）由题意可知： ， ， 所以 . 1c=2a= 所以 . 223ba=- 所以 椭圆 的标准方程为 ，左顶点 的坐标是 . C 214xyP(2,0)- 4 分 （）根据题意可设直线 的方程为 ， .ABxmy=+12(,)(,)AxyB 由 可得： . 21,43xym+=
14、2(34)690+- 所以 ， ， . 226()0122634my=-+122934y=-+ 7 分 所以 的面积PAB212111()SPF=- 9 分 . 2236368()44mm+-+= 10 分 因为 的面积为 ，PAB361 所以 . 234m+= 数学参考答案第 5 页，共 6 页 令 ，则 .21tm=+2(1)3tt= 解得 （舍） ， .16t2t 所以 . 所以直线 的方程为 或 .AB+310xy-=310xy-= 13 分 （20） （本小题满分 14 分） 解：（）集合 不是“好集”. 理由是：假设集合 是“好集”. B 因为 ， ，所以 . 这与 矛盾.1B-1
15、2-=-2- 2 分 有理数集 是“好集”. 因为 ， ,Q0Q 对任意的 ，有 ，且 时， .,xyxy-x1 所以有理数集 是“好集”. 4 分 （）因为集合 是“好集” ，A 所以 .若 ，则 ，即 .0,xyAy0y 所以 ，即 . 7 分)( （）命题 均为真命题. 理由如下： 9qp, 分 对任意一个“好集” ，任取 ， A,xy 若 中有 0 或 1 时，显然 .yx, 下设 均不为 0，1. 由定义可知： .Ax1, 所以 ，即 .1Ax-(1)Ax- 所以 . () 由（）可得： ，即 . 同理可得 .()x-+2x2yA 若 或 ，则显然 .0xy+=1y()y 数学参考答案第 6 页，共 6 页 若 且 ，则 .0xy+1xy2()xyA+ 所以 .2)(2 所以 .Axy1 由（）可得： .Axy21 所以 .Axy 综上可知， ，即命题 为真命题.p 若 ，且 ，则 .,xy0x1A 所以 ，即命题 为真命题. 14 分 =q
