1、湖南省永州市祁阳县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每题只有一个正确选项，每小题 3 分，共 24 分） 1已知A 为锐角且 tanA= ，则A=（ ） A30 B45 C60 D不能确定 2一元二次方程 x2=2x 的根是（ ） Ax=2 Bx= 2 Cx 1=0，x 2=2 Dx 1=0，x 2=2 3下列各点中，在函数 y= 的图象上的点是（ ） A （1，0.5） B （2， 1） C （ 1，2） D （2，1） 4为估计某地区黄羊的只数，先捕捉 20 只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊 完全混合于黄羊群后，第二次捕捉 60 只黄
2、羊，发现其中 2 只有标志由这些信息，我们可以估计 该地区有黄羊（ ） A400 只 B600 只 C800 只 D1000 只 5如图，ABC 内接于O，CD 是O 的直径，A=35，则 BCD 的度数是（ ） A55 B65 C70 D75 6两个相似三角形的对应边分别是 15cm 和 23cm，它们的周长相差 40cm，则这两个三角形的周长 分别是（ ） A75cm，115cm B60cm ，100cm C85cm ，125cm D45cm，85cm 7用配方法将函数 y= x22x+1 写成 y=a（xh） 2+k 的形式是（ ） Ay= （x 2） 21 By= （x 1） 21 C
3、y= （x 2） 23 Dy= （x1） 23 8根据下列表格的对应值： x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 x2+5x3 3.00 1.69 0.25 1.31 3.00 可得方程 x2+5x3=0 一个解 x 的范围是（ ） A0x25 B0.25x0.50 C0.50x0.75 D0.75x1 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9如图，ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积比为 10某家用电器经过两次降价，每台零售价由 1000 元下降到 810 元若两次降价的百分率相同， 则这个百分率为 11某水果店一
4、次购进苹果 200 箱，已经卖出 6 箱，质量分别是（单位：kg） 15.5，16，14.5，13.5，15，15.5你估计该商店这次进货 kg 12已知抛物线 y=x24x+c 与 x 轴只有一个交点，则 c= 13将二次函数 y=x2 的图象向右平移 1 个单位，在向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式 是 14如图，已知梯形护坡坝 AB 的坡度为 i=1：4，坡高 BC=2m，则斜坡 AB 的长为 m 15一个圆锥的母线是 15cm，侧面积是 75cm2，这个圆锥底面半径是 cm 16在函数 y= （k 为常数）的图象上有三个点（2，y 1） ， （ 1，y 2） ， （ ，y 3
5、） ，函数值 y1，y 2，y 3 的大小为 三、解答题（本题共 9 小题，共 72 分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17解方程：（x+2） 210（x+2）=0 18已知：如图，1=2，ABAC=AD AE 求证：C= E 19某校准备选出甲、乙两人中的一人参加县里的射击比赛，他们在相同条件下各射靶 5 次，成绩 统计如下： 命中环数/环 7 8 9 10 甲命中的频数/次 1 1 0 3 乙命中的频数/次 0 1 3 1 （1）求甲、乙两人射击成绩的方差分别是多少？ （2）已知该校选手前三年都取得了县射击比赛的第一名，请问应选择谁去参加比赛？ 20如图，O 是ABC 的外接圆，A=
6、45，BD 是直径，且 BD=2，连接 CD，求 BC 的长 21已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 分别与 x，y 轴交于点 B、A，与反比例函 数的图象分别交于点 C、D，CE x 轴于点 E，tanABO= ，OB=8，OE=4求该反比例函数的解析 式 22如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量祁阳县文昌古塔 BD 的高度，他们先在 A 处测得古塔顶 端点 D 的仰角为 45，再沿着 BA 的方向后退 12 米至 C 处，测得古塔顶端点 D 的仰角为 30求该 古塔 BD 的高度（结果保留根号） 23如图，已知 AB 为 O 的直径，PA 与O 相切于点 A，线段 OP 与
7、弦 AC 垂直并相交于点 D，OP 与 O 相交于点 E，连接 BC （1）求证：PAD ABC； （2）若 PA=10，AD=6，求 AB 和 PE 的长 24如图所示，在ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm ，点 P 从点 A 出发，沿 AB 以 4cm/s 的速 度向点 B 运动，同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以 3cm/s 的速度向点 A 运动，设运动时间为 x 秒 （1）当 x 为何值时，BP=CQ； （2）以 A、P、 Q 为顶点的三角形能否与以 C、Q 、B 为顶点的三角形相似？若能，求出 x 的值； 若不能，请说明理由 25如图，抛物线 y=x2+2x+3
8、与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，连接 BC、BD （1）点 D 的坐标是 ； （2）在抛物线的对称轴上求一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，并求出此 时点 M 的坐标 （3）若点 P 在 x 轴上且位于点 B 右侧，且点 P 是线段 AQ 的中点，连接 QD，且 BDQ=45，求点 P 坐标（请利用备用图解决问题） 湖南省永州市祁阳县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每题只有一个正确选项，每小题 3 分，共 24 分） 1已知A 为锐角且 tanA= ，则A=（ ） A
9、30 B45 C60 D不能确定 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据特殊角的三角函数值求解 【解答】解：A 为锐角，tanA= ， A=60 故选 C 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值 2一元二次方程 x2=2x 的根是（ ） Ax=2 Bx= 2 Cx 1=0，x 2=2 Dx 1=0，x 2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：x 2+2x=0， x（x+2）=0， x=0 或 x+2=0， 所以 x1=0，x 2=2 故选 D 【点评】本题考查了解一
10、元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解 化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方 程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学 转化思想） 3下列各点中，在函数 y= 的图象上的点是（ ） A （1，0.5） B （2， 1） C （ 1，2） D （2，1） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】需把所给点的横纵坐标相乘，结果是 2 的，就在此函数图象上 【解答】解：反比例函数 y= 中，k=2 ， 只需把各点横纵坐标相乘，结果为 2 的点在函数图象上， 四个选项中只
11、有 C 选项符合 故选 C 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积 应等于比例系数 4为估计某地区黄羊的只数，先捕捉 20 只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊 完全混合于黄羊群后，第二次捕捉 60 只黄羊，发现其中 2 只有标志由这些信息，我们可以估计 该地区有黄羊（ ） A400 只 B600 只 C800 只 D1000 只 【考点】用样本估计总体 【专题】应用题 【分析】捕捉 60 只黄羊，发现其中 2 只有标志说明有标记的占到 ，而有标记的共有 20 只，根 据所占比例解得 【解答】解：20 =600（只） 故选：B 【点
12、评】统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估 计总体 5如图，ABC 内接于O，CD 是O 的直径，A=35，则 BCD 的度数是（ ） A55 B65 C70 D75 【考点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理求出DBC 、D 的度数，根据三角形内角和定理计算即可 【解答】解：连接 BD， CD 是O 的直径， DBC=90， A=35， D=A=35， 则BCD=90 A=55 故选：A 【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等是解题 的关键 6两个相似三角形的对应边分别是 15cm 和 23cm，它们的周长相差
13、 40cm，则这两个三角形的周长 分别是（ ） A75cm，115cm B60cm ，100cm C85cm ，125cm D45cm，85cm 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据题意两个三角形的相似比是 15：23，可得周长比为 15：23，计算出周长相差 8 份及 每份的长，可得两三角形周长 【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是 15：23，周长比就是 15：23， 大小周长相差 8 份，所以每份的周长是 408=5cm， 所以两个三角形的周长分别为 515=75cm，523=115cm故选 A 【点评】本题考查对相似三角形性质的理解： （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）
14、相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 7用配方法将函数 y= x22x+1 写成 y=a（xh） 2+k 的形式是（ ） Ay= （x 2） 21 By= （x 1） 21 Cy= （x 2） 23 Dy= （x1） 23 【考点】二次函数的三种形式 【专题】配方法 【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般 式转化为顶点式 【解答】解：y= x22x+1= （x 24x+4） 2+1= （x2） 21 故选 A 【点评】二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y=ax 2+
15、bx+c（a0，a 、b、c 为常数） ； （2）顶点式：y=a（xh） 2+k； （3）交点式（与 x 轴）：y=a（xx 1） （x x2） 8根据下列表格的对应值： x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 x2+5x3 3.00 1.69 0.25 1.31 3.00 可得方程 x2+5x3=0 一个解 x 的范围是（ ） A0x25 B0.25x0.50 C0.50x0.75 D0.75x1 【考点】估算一元二次方程的近似解 【分析】由于 x=0.50 时，x 2+5x3=0.25；x=0.75 时，x 2+5x3=1.31，则在 0.50 和 0.75 之间有一个值 能
16、使 x2+5x3 的值为 0，于是可判断方程 x2+5x3=0 一个解 x 的范围为 0.50x0.75 【解答】解：x=0.50 时，x 2+5x3=0.25；x=0.75 时，x 2+5x3=1.31， 方程 x2+5x3=0 一个解 x 的范围为 0.50x0.75 故选 C 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法 是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程 的根 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9如图，ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，则ADE 与A
17、BC 的面积比为 1：4 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 【分析】根据三角形的中位线得出 DE= BC，DEBC，推出 ADEABC，根据相似三角形的性 质得出即可 【解答】解：D、E 分别为 AB、AC 的中点， DE= BC，DE BC， ADEABC， =（ ） 2= ， 故答案为：1：4 【点评】本题考查了三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等 于相似比的平方 10某家用电器经过两次降价，每台零售价由 1000 元下降到 810 元若两次降价的百分率相同， 则这个百分率为 10% 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】设
18、家用电器平均每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格=降价前的价格（1降价的百分 率） ，则第一次降价后的价格是 1000（1x） ，第二次后的价格是 1000（1 x） 2，据此即可列方程求 解 【解答】解：设这个百分率为 x，根据题意得： 1000（1x） 2=810， 解得：x 1=0.1=10%或 x2=1.9（舍去） ， 则这个百分率为 10% 故答案为：10% 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找出等量关系准确的列出方程是解决 问题的关键注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解 11某水果店一次购进苹果 200 箱，已经卖出 6 箱，质量分别是（单位：kg
19、） 15.5，16，14.5，13.5，15，15.5你估计该商店这次进货 3000 kg 【考点】用样本估计总体 【分析】首先求出 6 箱苹果的平均质量，然后利用样本估计总体的思想就可以求出 200 箱苹果的总 质量 【解答】解：抽取 6 箱苹果的平均质量为 =15 千克， 所以估计 200 箱苹果的总质量为 20015=3000 千克 故答案为 3000 【点评】此题考查了用样本估计总体，首先利用平均数的计算公式求出抽取苹果质量的平均数，然 后利用样本估计总体的思想求出所有苹果的质量 12已知抛物线 y=x24x+c 与 x 轴只有一个交点，则 c= 4 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【
20、分析】利用抛物线与 x 轴只有一个交点，则 b24ac=0 进而求出 c 的值即可 【解答】解：函数 y=x24x+c 抛物线与 x 轴只有一个交点， b24ac=164c=0， 解得：c=4， 故答案为 4 【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，正确把握抛物线与 x 轴交点个数确定方法是解题关 键 13将二次函数 y=x2 的图象向右平移 1 个单位，在向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式 是 y=（x 1） 2+2 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】抛物线平移不改变 a 的值 【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0） ，向右平移 1 个单位，在向上平移 2 个单位后，那
21、么新抛 物线的顶点为（1，2） 可设新抛物线的解析式为：y=（xh） 2+k，代入得：y=（x1） 2+2故所得 图象的函数表达式是：y=（x1） 2+2 【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标 14如图，已知梯形护坡坝 AB 的坡度为 i=1：4，坡高 BC=2m，则斜坡 AB 的长为 2 m 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【专题】推理填空题 【分析】根据梯形护坡坝 AB 的坡度为 i=1：4，坡高 BC=2m，可以得到 AC 的长，然后根据勾股 定理可以得到 AB 的长，从而可以解答本题 【解答】解：梯形护坡坝 AB 的坡度为 i=1：4，坡高 BC=2m， ， AC=
22、8m， 根据勾股定理，得 AB= m 故答案为：2 【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是明确什么是坡度，根据坡度 可以计算所求边的长 15一个圆锥的母线是 15cm，侧面积是 75cm2，这个圆锥底面半径是 5 cm 【考点】圆锥的计算 【专题】计算题 【分析】设这个圆锥底面半径为 rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥 底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到 2r15=75，然后解方程求出 r 即可 【解答】解：设这个圆锥底面半径为 rcm， 根据题意得 2r15=75，解得 r=5， 即这个圆锥底面半径是 5cm 故答案为 5
23、 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周 长，扇形的半径等于圆锥的母线长 16在函数 y= （k 为常数）的图象上有三个点（2，y 1） ， （ 1，y 2） ， （ ，y 3） ，函数值 y1，y 2，y 3 的大小为 y 3y 1y 2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】先判断出函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可 【解答】解： k220，函数应在二四象限，若 x10，x 20，说明横坐标为2， 1 的点在第二象 限，横坐标为 的在第四象限，第二象限的 y 值总比第四象限的点的 y 值大， 那么 y3 最小，在第 二象限内
24、，y 随 x 的增大而增大，y 1y 2 即 y3y 1y 2 【点评】在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限 内在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比 较 三、解答题（本题共 9 小题，共 72 分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17解方程：（x+2） 210（x+2）=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题；一次方程（组）及应用 【分析】方程变形后，利用因式分解法求出解即可 【解答】解：方程分解得：（x+210） （x+2）=0， 可得 x8=0 或 x+2=0， 解得：x 1=2，x
25、2=8 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 18已知：如图，1=2，ABAC=AD AE 求证：C= E 【考点】相似三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】先根据 ABAC=ADAE 可得出 = ，再由1=2 可得出ABEADC，由相似三角形 的对应角相等即可得出结论 【解答】证明：在ABE 和ADC 中， ABAC=ADAE， = 又1=2， ABEADC C=E 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键 19某校准备选出甲、乙两人中的一人参加县里的射击比赛，他们在相同条件下各射靶 5 次，成绩
26、统计如下： 命中环数/环 7 8 9 10 甲命中的频数/次 1 1 0 3 乙命中的频数/次 0 1 3 1 （1）求甲、乙两人射击成绩的方差分别是多少？ （2）已知该校选手前三年都取得了县射击比赛的第一名，请问应选择谁去参加比赛？ 【考点】方差 【专题】计算题 【分析】 （1）先计算出甲乙两人的平均成绩，然后根据方差公式计算他们的方差； （2）根据方差的意义判断选择谁去参加比赛 【解答】解：（1）甲的平均数为 =9（环） ，乙的平均数为 =9（环） ， 所以甲的方差= （7 9） 2+（89） 2+3（109） 2=1.6， 乙的方差= （8 9） 2+3（99） 2+（109） 2=0.
27、4； （2）因为甲的方差比乙的方差大， 所以乙的成绩比较稳定，应选择乙去参加比赛 【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据 的方差，计算公式是：s 2= （x 1x） 2+（x 2x） 2+（x nx） 2；方差是反映一组数据的波动大小 的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程 度越小，稳定性越好 20如图，O 是ABC 的外接圆，A=45，BD 是直径，且 BD=2，连接 CD，求 BC 的长 【考点】圆周角定理；勾股定理；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义 【分析】先根据圆周角定理可求出D=45 ，B
28、CD=90，再根据三角形内角和定理可知BCD 是等 腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出 BC 的长 【解答】解：在O 中，A=45，D=45， BD 为O 的直径， BCD=90， BCD 是等腰直角三角形， BC=BDsin45， BD=2， 【点评】本题主要考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及锐角三角函数的定义，关键是求 出BCD 是等腰直角三角形 21已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 分别与 x，y 轴交于点 B、A，与反比例函 数的图象分别交于点 C、D，CE x 轴于点 E，tanABO= ，OB=8，OE=4求该反比例函数的解析 式 【考点】反比例
29、函数与一次函数的交点问题 【分析】根据已知条件求出 c 点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式 【解答】解：OB=8 ，OE=4， BE=4+8=12 CEx 轴于点 EtanABO= = CE=6 点 C 的坐标为 C（4，6） 设反比例函数的解析式为 y= ， （m 0） 将点 C 的坐标代入，得 6= m=24 该反比例函数的解析式为 y= 【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题主要考查待定系数法求函数解析式 22如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量祁阳县文昌古塔 BD 的高度，他们先在 A 处测得古塔顶 端点 D 的仰角为 45，再沿着 BA 的方向后退 12 米至 C 处，测
30、得古塔顶端点 D 的仰角为 30求该 古塔 BD 的高度（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】先根据题意得出BAD、BCD 的度数及 AC 的长，再在 RtABD 中可得出 AB=BD，利 用锐角三角函数的定义可得出 BD 的长 【解答】解：根据题意可知： BAD=45，BCD=30，AC=12m 在 RtABD 中， BAD=BDA=45， AB=BD 在 RtBDC 中， tanBCD= ， = ， 则 BC= BD， 又 BCAB=AC， BDBD=12， 解得：BD=6 +6 答：古塔 BD 的高度为（6 +6）米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰
31、角俯角问题，涉及到等腰直角三角形的判定与性质、 锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键 23如图，已知 AB 为 O 的直径，PA 与O 相切于点 A，线段 OP 与弦 AC 垂直并相交于点 D，OP 与 O 相交于点 E，连接 BC （1）求证：PAD ABC； （2）若 PA=10，AD=6，求 AB 和 PE 的长 【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）由 PA 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 AP 垂直于 AB，可得出PAO 为直角， 得到PAD 与DAO 互余，再由 AB 为圆 O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得
32、出 ACB 为直角，得到DAO 与B 互余，根据同角的余角相等可得出PAC=B，再由一对直角相等，利用 两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形 APD 与三角形 ABC 相似； （2）在直角三角形 APD 中，利用勾股定理求出 PD 的长，进而确定出 AC 的长，由第一问两三角 形相似得到的比例式，将各自的值代入求出 AB 的上，求出半径 AO 的长，在直角三角形 APO 中， 由 AP 及 AO 的长，利用勾股定理求出 OP 的长，用 OPOE 即可求出 PE 的长 【解答】 （1）证明：PA 是O 的切线，AB 是直径， PAO=90， C=90， PAC+BAC=90， B+BAC=9
33、0， PAC=B， 又 OPAC， ADP=C=90， PADABC； （2）解：PAO=90 ，PA=10，AD=6 ， PD= =8， ODAC， AD=DC=6， AC=12， PADABC， ， ， AB=15， OE= AB= ， OP= = ， PE=OPOE= =5 【点评】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理， 熟练掌握性质及定理是解本题的关键 24如图所示，在ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm ，点 P 从点 A 出发，沿 AB 以 4cm/s 的速 度向点 B 运动，同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以 3cm/s
34、的速度向点 A 运动，设运动时间为 x 秒 （1）当 x 为何值时，BP=CQ； （2）以 A、P、 Q 为顶点的三角形能否与以 C、Q 、B 为顶点的三角形相似？若能，求出 x 的值； 若不能，请说明理由 【考点】相似形综合题 【专题】综合题；图形的相似 【分析】 （1）根据题意表示出 BP 与 CQ，由 BP=CQ 列出关于 x 的方程，求出方程的解即可得到 x 的值； （2）以 A、P、 Q 为顶点的三角形能与以 C、Q 、B 为顶点的三角形相似，分两种情况考虑：当 APQCQB 时；当APQCBQ 时，由相似得比例求出 x 的值即可 【解答】解：（1）依题意可得：BP=204x，CQ=
35、3x， 当 BP=CQ 时，20 4x=3x， x= （秒） ， 答：当 x= 秒时，BP=CQ ； （2）以 A、P、 Q 为顶点的三角形能否与以 C、Q 、B 为顶点的三角形相似， 当APQ CQB 时，有 = ，即 = ， 解得：x= （秒） ； 当APQ CBQ 时，有 = ，即 = ， 解得：x=5（秒）或 x=10（秒） （舍去） ， 答：当 x= 或 x=5 秒时，APQ 与 CQB 相似 【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，一元一次方程的解法，熟练 掌握相似三角形的性质是解本题的关键 25如图，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于点 A、B，与
36、y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，连接 BC、BD （1）点 D 的坐标是 （1， 4） ； （2）在抛物线的对称轴上求一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，并求出此 时点 M 的坐标 （3）若点 P 在 x 轴上且位于点 B 右侧，且点 P 是线段 AQ 的中点，连接 QD，且 BDQ=45，求点 P 坐标（请利用备用图解决问题） 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）根据待定系数法，可得抛物线的顶点坐标； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得 PA=PB，根据两点之间线段最短， 可得 P 在线段 BC 上，根据待定系数法，可得 BC
37、 的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可 得答案； （3）根据勾股定理，可得 BD 的长，根据相似三角形的判定与性质，可得 QN 与 BN 的关系，根 据等腰直角三角形的性质，可得 DN 与 QN 的关系，根据勾股定理，可得 BQ 的长，根据线段的和 差，可得 AQ 的长，根据线段中点的性质，可得 AP 的长，根据线段的差，可得 OP 的长，可得 P 点坐标 【解答】解：（1）y= x2+2x+3=（x 1） 2+4， 顶点 D 的坐标为（1，4） ； （2）如图 1 ， 连结 BC，交对称轴于点 M，此时 M 为所求点，使得 MA+MC 达到最小值 当 x=0 时，y=3 C（0，3）
38、当 y=0 时， x2+2x+3=0， 解得：x 1=1，x 2=3， B（3，0） 设 BC 所在直线的解析式为：y=kx+3，将 B 点坐标代入函数解析式，得 3k+3=0， k=1， BC 所在直线的解析式为：y=x+3， 当 x=1 时，y=2； M（1，2） ； （3）如图 2 ， 连接 QD，作 QNDB，交 DB 的延长线于 N， 设对称轴与 x 轴的交点为点 H 点 D 坐标是（1，4） 点 H 坐标是（1，0） DH=4，BH=2， 在 RtBDH 中，BD= =2 又QNB=DHB，QBN= DBH， QBNDBH， = ， = = =2， QN=2BN 又BDQ=45， 在 RtDNQ 中， DQN=45， DN=QN=2BN， BN=BD=2 ， QN=4 在 RtQBN 中，BQ= =10 AB=4， AQ=AB+BQ=14 AP= AQ=7 OP=APAO=71=6， P（ 6，0） 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用配方法得出顶点坐标；利用线段垂直平分线的性质，线 段的性质得出 P 点的位置是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出 BQ 与 BQ 的关系是解题 关键，又利用了等腰直角三角形的性质得出 QN 的长，利用勾股定理得出 BQ 的长
