1、九年级数学二次函数综合练习题 一解答题（共 30 小题） 1 （2013雅安）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（1，0） ，C （0，3）三点，其顶点为 D，对称 轴是直线 l，l 与 x 轴交于点 H （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点，求 PBC 周长的最小值； （3）如图（2） ，若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A、D 不重合） ，过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m，ADF 的面积为 S 求 S 与 m 的函数关系式； S 是否存在最大值？
2、若存在，求出最大值及此时点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由 2 （2013孝感）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 BC 上，若AEF=90，且 EF 交正方形外角的 平分线 CF 于点 F （1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并 指出是哪两个三角形全等（不要求证明） ； （2）如图 2，若点 E 在线段 BC 上滑动（不与点 B，C 重合） AE=EF 是否总成立？请给出证明； 在如图 2 的直角坐标系中，当点 E 滑动到某处时，点 F 恰好落在抛物线 y=x2+x+1 上，求此时点
3、F 的坐标 3 （2013铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年 1 月起安装使用回收净化设备（安装时间不计） ，这样既改善 了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润的月平均值 w（万元）满足 w=10x+90 （1）设使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润和为 y，请写出 y 与 x 的函数关系式 （2）请问前多少个月的利润和等于 1620 万元？ 4 （2013泰州）已知：关于 x 的二次函数 y=x2+ax（a 0） ，点 A（n，y 1） 、B（n+1，y 2） 、C （n+2，y 3）都在这 个二次函数的图象上，其中 n 为正整数 （1）y
4、1=y2，请说明 a 必为奇数； （2）设 a=11，求使 y1y2y3 成立的所有 n 的值； （3）对于给定的正实数 a，是否存在 n，使 ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形？如果存在，求 n 的值（用含 a 的 代数式表示） ；如果不存在，请说明理由 5 （2013十堰）已知抛物线 y=x22x+c 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线的顶点为 D 点，点 A 的 坐标为（1，0 ） （1）求 D 点的坐标； （2）如图 1，连接 AC，BD 并延长交于点 E，求E 的度数； （3）如图 2，已知点 P（ 4，0） ，点 Q 在 x 轴下方的抛物线上，直线 PQ
5、 交线段 AC 于点 M，当PMA=E 时，求 点 Q 的坐标 6 （2013晋江市）将矩形 OABC 置于平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，4） ，点 C 的坐标为（m，0） （m0） ，点 D（m，1）在 BC 上，将矩形 OABC 沿 AD 折叠压平，使点 B 落在坐标平面内，设点 B 的对应点为 点 E （1）当 m=3 时，点 B 的坐标为 _ ，点 E 的坐标为 _ ； （2）随着 m 的变化，试探索：点 E 能否恰好落在 x 轴上？若能，请求出 m 的值；若不能，请说明理由 （3）如图，若点 E 的纵坐标为1，抛物线 （a0 且 a 为常数）的顶点落在ADE 的内部，求 a
6、 的取值范围 7 （2013济南）如图 1，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴相交于点 A，C，与 y 轴相交于点 B，连接 AB，BC，点 A 的坐标为（2，0） ，tan BAO=2，以线段 BC 为直径作M 交 AB 与点 D，过点 B 作直线 lAC，与抛物线和M 的另一个交点分别是 E，F （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求点 C 的坐标和线段 EF 的长； （3）如图 2，连接 CD 并延长，交直线 l 于点 N，点 P，Q 为射线 NB 上的两个动点（点 P 在点 Q 的右侧，且不与 N 重合） ，线段 PQ 与 EF 的长度相等，连接 DP，CQ ，四边形 CDPQ
7、 的周长是否有最小值？若有，请求出此时点 P 的坐标并直接写出四边形 CDPQ 周长的最小值；若没有，请说明理由 8 （2012湘潭）如图，抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式； （2）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求 MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标 9 （2012宁德）如图，矩形 OBCD 的边 OD、OB 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的负半轴上，且 OD=10，OB=8，将矩 形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转，使点
8、 C 恰好与 x 轴上的点 A 重合 （1）直接写出点 A、B 的坐标：A（ _ ， _ ） 、B（ _ ， _ ） ； （2）若抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、B 两点，则这条抛物线的解析式是 _ ； （3）若点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点，作 MNx 轴于点 N，问是否存在点 M，使 AMN 与 ACD 相 似？若存在，求出点 M 的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当 x7 时，在抛物线上存在点 P，使 ABP 得面积最大，求 ABP 面积的最大值 10 （2012眉山）已知：如图，直线 y=3x+3 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 A 点，B 点在 x
9、轴上，OAB 是等腰 直角三角形 （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）若直线 CDAB 交抛物线于 D 点，求 D 点的坐标； （3）若 P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标和 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由 11 （2012莱芜）如图，顶点坐标为（2， 1）的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于 A、B 两点 （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC、AD ，求ACD 的面积； （3）点 E 为直线 BC 上一动点，过
10、点 E 作 y 轴的平行线 EF，与抛物线交于点 F问是否存在点 E，使得以 D、E、F 为顶点的三角形与 BCO 相似？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 12 （2012河池）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，以底边 BC 的垂直平分线和 BC 所在的直线建立平面直 角坐标系，抛物线 y= x2+ x+4 经过 A、B 两点 （1）写出点 A、点 B 的坐标； （2）若一条与 y 轴重合的直线 l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移，分别交线段 OA、CA 和抛物线于点 E、M 和点 P，连接 PA、PB设直线 l 移动的时间为 t（0t 4）秒，求四边形 PBCA
11、 的面积 S（面积单位）与 t（秒） 的函数关系式，并求出四边形 PBCA 的最大面积； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 P，使得PAM 是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由 13 （2012贵港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+3 的顶点为 M（2，1） ，交 x 轴于点 A、B 两点，交 y 轴于点 C，其中点 B 的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）设经过点 C 的直线与该抛物线的另一个点为 D，且直线 CD 和直线 CA 关于直线 CB 对称，求直线 CD 的解 析式； （3）在该抛物线的对称轴上
12、存在点 P，满足 PM2+PB2+PC2=35，求点 P 的坐标；并直接写出此时直线 OP 与该抛 物线交点的个数 w W w . 14 （2012抚顺）如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，顶点 A 的纵坐标为 1，点 B（4，0）在此抛物线上 （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线对称轴与 x 轴交点为 C，点 D（x，y）为抛物线上一动点，过点 D 作直线 y=2 的垂线，垂足为 E 用含 y 的代数式表示 CD2，并猜想 CD2 与 DE2 之间的数量关系，请给出证明； 在此抛物线上是否存在点 D，使EDC=120 ？如果存在，请直接写出 D 点坐标；如果不存在，请说明理由 15
13、（2012恩施州）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0） ，C （2，3）两点，与 y 轴交于点 N其顶点为 D （1）抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）设点 M（3，m） ，求使 MN+MD 的值最小时 m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EFBD 交抛物线于点 F， 以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由； （4）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值 16 （2012大连）如图，抛物线 y=
14、ax2+bx+c 经过 A（ ，0） 、B（3 ，0） 、C （0，3）三点，线段 BC 与抛物 线的对称轴相交于 D该抛物线的顶点为 P，连接 PA、AD、DP ，线段 AD 与 y 轴相交于点 E （1）求该抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系中是否存在点 Q，使以 Q、C、D 为顶点的三角形与ADP 全等？若存在，求出点 Q 的坐 标；若不存在，说明理由； （3）将CED 绕点 E 顺时针旋转，边 EC 旋转后与线段 BC 相交于点 M，边 ED 旋转后与对称轴相交于点 N，连 接 PM、 DN，若 PM=2DN，求点 N 的坐标（直接写出结果） 17 （2012朝阳）已知，如图，在
15、平面直角坐标系中，RtABC 的斜边 BC 在 x 轴上，直角顶点 A 在 y 轴的正半 轴上，A（0，2） ，B（ 1，0） （1）求点 C 的坐标； （2）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式和对称轴； （3）设点 P（m ，n）是抛物线在第一象限部分上的点， PAC 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求使 S 最大时点 P 的坐标； （4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点 M，使得MPC（P 为上述（3）问中使 S 最大时的点）为等腰三角形？ 若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 18 （2013徐州）如图，二次函数 y= x2+bx 的图象与 x 轴
16、交于点 A（3，0）和点 B，以 AB 为边在 x 轴上方作 正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E （1）请直接写出点 D 的坐标： _ ； （2）当点 P 在线段 AO（点 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，求出这个最大值； （3）是否存在这样的点 P，使PED 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标及此时PED 与正方形 ABCD 重 叠部分的面积；若不存在，请说明理由 19 （2013台州）如图 1，已知直线 l：y=x+2 与 y 轴交于点 A，抛物线 y=（x 1） 2+k 经过点
17、 A，其顶点为 B，另 一抛物线 y=（x h） 2+2h（h1）的顶点为 D，两抛物线相交于点 C （1）求点 B 的坐标，并说明点 D 在直线 l 上的理由； （2）设交点 C 的横坐标为 m 交点 C 的纵坐标可以表示为： _ 或 _ ，由此进一步探究 m 关于 h 的函数关系式； 如图 2，若ACD=90 ，求 m 的值 20 （2013齐齐哈尔）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（4，0） ，B（ 1，3） ，C（3，3） （1）求此二次函数的解析式； （2）设此二次函数的对称轴为直线 l，该图象上的点 P（ m，n）在第三象限，其关于直线 l 的对称点为 M
18、，点 M 关于 y 轴的对称点为 N，若四边形 OAPN 的面积为 20，求 m、n 的值 21 （2013宁夏）如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为 （0，3）它的对称轴是直线 x= （1）求抛物线的解析式； （2）M 是线段 AB 上的任意一点，当MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标 22 （2013唐山一模）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植 实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元经调查，种植亩数 y（亩）与补贴数额 x（元） 之间大致满足如图 1 所
19、示的一次函数关系随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益 z（元）会相应降低，且 z 与 x 之间也大致满足 z=3x+3000 （1）求出政府补贴政策实施后，种植亩数 y 与政府补贴数额 x 之间的函数关系式； （2）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？ （3）要使全市这种蔬菜的总收益 W（元）最大，政府应将每亩补贴数额 X 定为多少？并求出总收益 W 的最大 值 （4）该市希望这种蔬菜的总收益不低于 7200 000 元，请你在坐标系中画出 3 中的函数图象的草图，利用函数图象 帮助该市确定每亩补贴数额的范围，在此条件下要使总收益最大，说明每亩补贴数
20、额应定为多少元合适？ 23 （2013上海模拟）某产品每千克的成本价为 20 元，其销售价不低于成本价，当每千克售价为 50 元时，它的 日销售数量为 100 千克，如果每千克售价每降低（或增加）一元，日销售数量就增加（或减少）10 千克，设该产 品每千克售价为 x（元） ，日销售量为 y（千克） ，日销售利润为 w（元） （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）写出 w 关于 x 的函数解析式及函数的定义域； （3）若日销售量为 300 千克，请直接写出日销售利润的大小 24 （2013溧水县二模）我区的某公司，用 1800 万元购得某种产品的生产技术、生产设备，进
21、行该产品的生产加 工，已知生产这种产品每件还需成本费 40 元经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在 100 元到 200 元之 间为合理当单价在 100 元时，销售量为 20 万件，当销售单价超过 100 元，但不超过 200 元时，每件新产品的销 售价格每增加 10 元，年销售量将减少 1 万件；设销售单价为 x（元） ，年销售量为 y（万件） ，年获利为 W（万元） （年利润=年销售总额 生产成本投资成本） （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求第一年的年获利 W 与 x 之间的函数关系式，并请说明不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定 是亏损的，最小亏损是少
22、？ （3）在使第一年亏损最小的前提下，若该公司希望到第二年的年底，弥补第一年的亏损后，两年的总盈利为 1490 万元，且使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？ 25 （2013高淳县二模）某批发商以 40 元/ 千克的价格购入了某种水果 500 千克据市场预测，该种水果的售价 y（元/千克）与保存时间 x（天）的函数关系为 y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗 10 千克，且最多能保 存 8 天另外，批发商保存该批水果每天还需 40 元的费用 （1）若批发商保存 1 天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为 _ （元/千克） ，获得的总利 润为 _ （元） ； （2）设批发商将
23、这批水果保存 x 天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润 w（元）与保存时间 x（天）之间 的函数关系式； （3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润 26 （2013大丰市二模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次在 112 月份中，公司前 x 个月累计获得的总利润 y（万元）与销售时间 x（月）之间满足二次函数关系式 y=a（x h） 2+k，二次函数 y=a（x h） 2+k 的一部分图象如图所示，点 A 为抛物线的顶点，且点 A、B 、C 的横坐标 分别为 4、10、12，点 A、B 的纵坐标分别为16、20 （1）试确定函数关系式 y=a（x
24、h） 2+k； （2）分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及 10 月份一个月内所获得的利润； （3）在前 12 个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？ 27 （2013遵义）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）的顶点坐标为（ 4， ） ，且与 y 轴交于点 C（0，2） ，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） （1）求抛物线的解析式及 A，B 两点的坐标； （2）在（1）中抛物线的对称轴 l 上是否存在一点 P，使 AP+CP 的值最小？若存在，求 AP+CP 的最小值，若不存 在，请说明理由； （3）以 AB 为直径的 M 相
25、切于点 E，CE 交 x 轴于点 D，求直线 CE 的解析式 28 （2013威海）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+ 与直线 y=x 交于点 A，点 B 在直线 y= x+ 上， BOA=90抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A，O ，B，顶点为点 E （1）求点 A，B 的坐标； （2）求抛物线的函数表达式及顶点 E 的坐标； （3）设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C，直线 BC 交抛物线于点 D，过点 E 作 FEx 轴，交直线 AB 于点 F， 连接 OD，CF ，CF 交 x 轴于点 M试判断 OD 与 CF 是否平行，并说明理由 29 （2013呼和浩特）如图，已
26、知二次函数的图象经过点 A（6，0） 、B（2，0）和点 C（0，8） （1）求该二次函数的解析式； （2）设该二次函数图象的顶点为 M，若点 K 为 x 轴上的动点，当KCM 的周长最小时，点 K 的坐标为 _ ； （3）连接 AC，有两动点 P、Q 同时从点 O 出发，其中点 P 以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 OAC 按 OAC 的路线运动，点 Q 以每秒 8 个单位长度的速度沿折线 OCA 按 OCA 的路线运动，当 P、Q 两点相遇时，它们 都停止运动，设 P、Q 同时从点 O 出发 t 秒时， OPQ 的面积为 S 请问 P、Q 两点在运动过程中，是否存在 PQOC？若存在，请
27、求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由； 请求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； 设 S0 是中函数 S 的最大值，直接写出 S0 的值 30 （2013鄂州）在平面直角坐标系中，已知 M1（3，2） ，N 1（5，1） ，线段 M1N1 平移至线段 MN 处（注：M 1 与 M，N 1 与 N 分别为对应点） （1）若 M（2，5） ，请直接写出 N 点坐标 （2）在（1）问的条件下，点 N 在抛物线 上，求该抛物线对应的函数解析式 （3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为 B，与 y 轴交于点 A，点 E 为线段 AB 中点，点 C（0，m ）是 y 轴负半 轴
28、上一动点，线段 EC 与线段 BO 相交于 F，且 OC：OF=2： ，求 m 的值 （4）在（3）问条件下，动点 P 从 B 点出发，沿 x 轴正方向匀速运动，点 P 运动到什么位置时（即 BP 长为多少） ， 将ABP 沿边 PE 折叠，APE 与PBE 重叠部分的面积恰好为此时的 ABP 面积的 ，求此时 BP 的长度 九年级数学二次函数综合练习题 参考答案与试题解析 一解答题（共 30 小题） 1 （2013雅安）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（1，0） ，C （0，3）三点，其顶点为 D，对称 轴是直线 l，l 与 x 轴交于点 H （1）求该抛物线
29、的解析式； （2）若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点，求 PBC 周长的最小值； （3）如图（2） ，若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A、D 不重合） ，过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m，ADF 的面积为 S 求 S 与 m 的函数关系式； S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由 考点： 二次函数综合题4387773 专题： 综合题；压轴题 分析： （1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可； （2）根据 BC 是定值，得到当 PB+PC 最
30、小时， PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可； （3）设点 E 的横坐标为 m，表示出 E（m ，2m+6） ，F（m，m 22m+3） ，最后表示出 EF 的长，从而表示 出 S 于 m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可 解答： 解：（1）由题意可知： 解得： 抛物线的解析式为：y= x22x+3； （2）PBC 的周长为：PB+PC+BC BC 是定值， 当 PB+PC 最小时，PBC 的周长最小， 点 A、点 B 关于对称轴 I 对称， 连接 AC 交 l 于点 P，即点 P 为所求的点 AP=BP PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC A（ 3， 0）
31、 ，B（1，0） ，C（ 0，3） ， AC=3 ，BC= ； 故PBC 周长的最小值为 3 + （3）抛物线 y=x22x+3 顶点 D 的坐标为（1，4） A（ 3， 0） 直线 AD 的解析式为 y=2x+6 点 E 的横坐标为 m， E（ m，2m+6 ） ，F （m，m 22m+3） EF=m22m+3（2m+6） =m24m3 S=SDEF+SAEF = EFGH+ EFAG = EFAH = （m 24m3）2 =m24m3； S=m24m3 =（m+2） 2+1； 当 m=2 时，S 最大，最大值为 1 此时点 E 的坐标为（2，2） 点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数
32、解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示 出三角形的面积的基础 2 （2013孝感）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 BC 上，若AEF=90，且 EF 交正方形外角的 平分线 CF 于点 F （1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并 指出是哪两个三角形全等（不要求证明） ； （2）如图 2，若点 E 在线段 BC 上滑动（不与点 B，C 重合） AE=EF 是否总成立？请给出证明； 在如图 2 的直角坐标系中，当点 E 滑动到某处时，点 F 恰好落在抛物线 y=x2+x+
33、1 上，求此时点 F 的坐标 考点： 二次函数综合题4387773 专题： 综合题；压轴题 分析： （1）取 AB 的中点 G，连接 EG，利用 ASA 能得到 AGE 与 ECF 全等； （2）在 AB 上截取 AM=EC，证得 AMEECF 即可证得 AE=EF； 过点 F 作 FHx 轴于 H，根据 FH=BE=CH 设 BH=a，则 FH=a1，然后表示出点 F 的坐标，根据点 F 恰 好落在抛物线 y=x2+x+1 上得到有关 a 的方程求得 a 值即可求得点 F 的坐标； 解答： （1）解：如图 1，取 AB 的中点 G，连接 EG AGE 与 ECF 全等 （2）若点 E 在线段
34、 BC 上滑动时 AE=EF 总成立 证明：如图 2，在 AB 上截取 AM=EC AB=BC， BM=BE， MBE 是等腰直角三角形， AME=18045=135， 又 CF 平分正方形的外角， ECF=135， AME=ECF 而BAE+AEB=CEF+ AEB=90， BAE=CEF， AMEECF AE=EF 过点 F 作 FHx 轴于 H， 由知，FH=BE=CH ， 设 BH=a，则 FH=a1， 点 F 的坐标为 F（a ，a 1） 点 F 恰好落在抛物线 y=x2+x+1 上， a1=a2+a+1， a2=2， （负值不合题意，舍去） ， 点 F 的坐标为 点评： 本题考查了
35、二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想，是一道好题 3 （2013铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年 1 月起安装使用回收净化设备（安装时间不计） ，这样既改善 了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润的月平均值 w（万元）满足 w=10x+90 （1）设使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润和为 y，请写出 y 与 x 的函数关系式 （2）请问前多少个月的利润和等于 1620 万元？ 考点： 一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式4387773 专题： 压轴题 分析： （1）利用“总利润= 月利润的平均值 月数”
36、列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于 1620 列出方程求解即可 解答： 解：（1）y=wx=（10x+90 ）x=10x 2+90x（x 为正整数） ， （2）设前 x 个月的利润和等于 1620 万元， 10x2+90x=1620 即：x 2+9x162=0 得 x= x1=9，x 2=18（舍去） ， 答：前 9 个月的利润和等于 1620 万元 点评： 本题考查了一元二次方程的应用及根据实际问题列出二次函数关系式的知识，解题的关键是弄清总利润与 月平均利润和月数之间的关系 4 （2013泰州）已知：关于 x 的二次函数 y=x2+ax（a 0） ，点 A（n，y 1） 、B（n+
37、1，y 2） 、C （n+2，y 3）都在这 个二次函数的图象上，其中 n 为正整数 （1）y 1=y2，请说明 a 必为奇数； （2）设 a=11，求使 y1y2y3 成立的所有 n 的值； （3）对于给定的正实数 a，是否存在 n，使 ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形？如果存在，求 n 的值（用含 a 的 代数式表示） ；如果不存在，请说明理由 考点： 二次函数综合题4387773 专题： 综合题；压轴题 分析： （1）将点 A 和点 B 的坐标代入二次函数的解析式，利用 y1=y2 得到用 n 表示 a 的式子，即可得到答案； （2）将 a=11 代入解析式后，由题意列出不等式组，
38、求得此不等式组的正整数解； （3）本问为存在型问题如解答图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点 B 为抛物线的 顶点，点 A、C 关于对称轴对称于是得到 n+1= ，从而可以求出 n= 1 解答： 解：（1）点 A（n，y 1） 、B（n+1，y 2） 、C（n+2，y 3）都在二次函数 y=x2+ax（a 0）的图象上， y1=n2+an，y 2=（n+1） 2+a（n+1） y1=y2， n2+an=（n+1） 2+a（n+1） 整理得：a=2n+1 a 必为奇数； （2）当 a=11 时，y 1y2y3 n2+11n（n+1 ） 2+11（n+1） （n+2 ） 2+11（n
39、+2） 化简得：0102n18 4n， 解得：n4， n 为正整数， n=1、2、3、4 （3）假设存在，则 BA=BC，如右图所示 过点 B 作 BNx 轴于点 N，过点 A 作 ADBN 于点 D，CEBN 于点 E xA=n， xB=n+1，x C=n+2， AD=CE=1 在 RtABD 与 RtCBE 中， ， RtABDRtCBE（HL） ABD=CBE，即 BN 为顶角的平分线 由等腰三角形性质可知，点 A、C 关于 BN 对称， BN 为抛物线的对称轴，点 B 为抛物线的顶点， n+1= ， n= 1 a 为大于 2 的偶数，存在 n，使 ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形
40、，n= 1 点评： 本题考查了二次函数的综合知识，涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解 不等式等知识点，有一定的难度，是一道好题 5 （2013十堰）已知抛物线 y=x22x+c 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线的顶点为 D 点，点 A 的 坐标为（1，0 ） （1）求 D 点的坐标； （2）如图 1，连接 AC，BD 并延长交于点 E，求E 的度数； （3）如图 2，已知点 P（ 4，0） ，点 Q 在 x 轴下方的抛物线上，直线 PQ 交线段 AC 于点 M，当PMA=E 时，求 点 Q 的坐标 考点： 二次函数综合题4387773 专题
41、： 压轴题 分析： （1）将点 A 的坐标代入到抛物线的解析式求得 c 值，然后配方后即可确定顶点 D 的坐标； （2）连接 CD、CB，过点 D 作 DFy 轴于点 F，首先求得点 C 的坐标，然后证得DCBAOC 得到 CBD=OCA，根据ACB= CBD+E=OCA+OCB，得到E=OCB=45； （3）设直线 PQ 交 y 轴于 N 点，交 BD 于 H 点，作 DGx 轴于 G 点，增大DGBPON 后利用相似三 角形的性质求得 ON 的长，从而求得点 N 的坐标，进而求得直线 PQ 的解析式，设 Q（m，n） ，根据点 Q 在 y=x22x3 上，得到 m2=m22m3，求得 m、
42、n 的值后即可求得点 Q 的坐标 解答： 解：（1）把 x=1，y=0 代入 y=x22x+c 得：1+2+c=0 c=3 y=x22x3=y=（x1） 24 顶点坐标为（1， 4） ； （2）如图 1，连接 CD、CB，过点 D 作 DFy 轴于点 F， 由 x22x3=0 得 x=1 或 x=3 B（3，0） 当 x=0 时，y=x 22x3=3 C（0，3） OB=OC=3 BOC=90， OCB=45， BC=3 又 DF=CF=1，CFD=90， FCD=45，CD= ， BCD=180OCBFCD=90 BCD=COA 又 DCBAOC， CBD=OCA 又ACB=CBD+E= O
43、CA+OCB E=OCB=45， （3）如图 2，设直线 PQ 交 y 轴于 N 点，交 BD 于 H 点，作 DGx 轴于 G 点 PMA=45， EMH=45， MHE=90， PHB=90， DBG+OPN=90 又ONP+ OPN=90， DBG=ONP DGB=PON=90， DGBPON = ， 即： = ON=2， N（ 0， 2） 设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b 则 解得： y= x2 设 Q（m，n）且 n0， n= m2 又 Q（ m，n）在 y=x22x3 上， n=m22m3 m2=m22m3 解得：m=2 或 m= n=3 或 n= 点 Q 的坐标为（2， 3
44、）或（ ， ） 点评： 本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形 的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一 6 （2013晋江市）将矩形 OABC 置于平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，4） ，点 C 的坐标为（m，0） （m0） ，点 D（m，1）在 BC 上，将矩形 OABC 沿 AD 折叠压平，使点 B 落在坐标平面内，设点 B 的对应点为 点 E （1）当 m=3 时，点 B 的坐标为 （3，4） ，点 E 的坐标为 （0，1） ； （2）随着 m 的变化，试探索：点 E 能否恰好落在 x 轴上？若能，请求出 m 的值
45、；若不能，请说明理由 （3）如图，若点 E 的纵坐标为1，抛物线 （a0 且 a 为常数）的顶点落在ADE 的内部，求 a 的取值范围 考点： 二次函数综合题4387773 专题： 综合题；压轴题 分析： （1）根据点 A、点 D、点 C 的坐标和矩形的性质可以得到点 B 和点 E 的坐标； （2）由折叠的性质求得线段 DE 和 AE 的长，然后利用勾股定理得到有关 m 的方程，求得 m 的值即可； （3）过点 E 作 EFAB 于 F，EF 分别与 AD、OC 交于点 G、H，过点 D 作 DPEF 于点 P，首先利用勾 股定理求得线段 DP 的长，从而求得线段 BF 的长，再利用AFG A
46、BD 得到比例线段求得线段 FG 的长， 最后求得 a 的取值范围 解答： 解：（1）点 B 的坐标为（3， 4） ，点 E 的坐标为（0，1） ； （2）点 E 能恰好落在 x 轴上理由如下：四边形 OABC 为矩形， BC=OA=4，AOC= DCE=90， 由折叠的性质可得：DE=BD=OACD=41=3，AE=AB=OC=m， 如图 1，假设点 E 恰好落在 x 轴上，在 RtCDE 中，由 勾股定理可得 ， 则有 ， 在 RtAOE 中，OA 2+OE2=AE2 即 解得 （7 分） （3）如图 2，过点 E 作 EFAB 于 F，EF 分别与 AD、OC 交于点 G、H，过点 D
47、作 DPEF 于点 P，则 EP=PH+EH=DC+EH=2， 在 RtPDE 中，由勾股定理可得 ， 在 RtAEF 中， ，EF=5，AE=m AF2+EF2=AE2 解得 ， ， ，E（ ，1） AFG=ABD=90，FAG=BAD AFGABD 即 ， 解得 FG=2， EG=EFFG=3 点 G 的纵坐标为 2， 此抛物线的顶点必在直线 上， 又 抛物线 的顶点落在ADE 的内部， 此抛物线的顶点必在 EG 上， 110 20a2 ， 解得 故 a 的取值范围为 点评： 本题考查了二次函数的综合知识，是一道有关折叠的问题，主要考查二次函数、矩形、相似形等知识，试 题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体
