1、福建省福州市 2011 届高三上学期期末质量检查 数学试题（理科） （满分：100 分；完卷时间：90 分钟） 友情提示：答案一律填写在答题 卡上。 一、选择题（每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 等于（ ）2|1,|1,MyxRNyxRMN则 A （0，1 ） ， （1，2） B（0 ，1） ， （1，2 ） C D |或 | 2设复数 等于 （ ）2ziz则 A-3 B3 C D3i3i 3如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中 为数字m 09 中的一个） ，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别 为 ，则一定有 （ ）12,a
2、 A B21a C D 的大小不确定12, 4已知实数 满足 的最小值为 （ ）,xy,0xy则 A2 B3 C4 D5 5若双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 21xyab （ ） A B5 C D22 6设函数 的部分图象如图所示，直线 是它的()sin)(0,)fx6x 一条对称轴，则函数 的解析式为 （ ）fx A ()si)3fx B n26 C ()sin4)3fx D 26 7已知实数 成等比数列，且函数 时取到极大值 ，则,abcdln(2)yxb当 c 等于 （ ） A-1 B0 C1 D2 8如图所示，正方形的四个顶点分别为 ，(0,),(,)0
3、,1OAB 曲线 经过点 B。现将一个质点随机投入正方形中，则质点落2yx 在图中阴影区域的概率是 （ ） A B114 C D325 9如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在 P 处有 一棵树与两墙的距离分别是 ，(012),4am 不考虑树的粗细， 现在用 16m 长的篱笆，借助墙角 围成一个矩形的花圃 ABCD。设此矩形花圃的面积为 S m2，S 的最大值为 ，若将这棵树围在花墙内，()f 则函数 的图象大致是 （ ）af 10在 中， “ ”是“ ”的 （ ）ABCBAC|BC A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 11定义：平面内横坐标为整数的点称
4、为“左整点” ，过函数 图象上任意两个29yx “左整点”作直线，则倾斜角大于 的直线条数为 （ ）45 A10 B11 C12 D13 12设函数 的定义域为实数集 R，对于给定的正数 ，定义函数()yfxk ，给出函数 ，若对于任意的()()kfkf 2()fx ，恒有 ，则 （ ）,x()kfxf Ak 的最大值为 2 Bk 的最小值为 2 Ck 的最大值为 1 Dk 的最小值为 1 二、填空题（每小题 4 分，满分 16 分） 13在二项式 的展开式中， 纱数是-10，则实数 52axx 的值为 。a 14在 中， ，则ABC5,3,sin2iACA AB 的长为 。 15为确保信息安
5、全，信息需加密传输，发送方由明文 密 文（加密） ，接收方由 密文明文（解密） ，已知加密 规则如图所示，例如，明文 1，2 ，3，4 对应密文 5，7，18，16 ，当接收方收到密文 14，9 ，23 ，28 时， 则解密得到的明文为 。 16设 是定义在 R 上的奇函数 ，且()fx 时，有 恒成立，20,当 2()0xff 则不等式 的解集为 。()xf 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 17 （本小题满分 12 分） 数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，其前 项的和为na n.nS （）求数列 的通项公式 及 前 项和 ；
6、naS （）设 ，求数列 的通项公式 及前 项和 nabbnb.nT 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 的最小正周期为2()sin3sin()(02fxxx. （）求 的值； （）求函数 在区间 上的取值范围。 ()f0, 19 （本小题满分 12 分） 一个袋子内装有若干个黑球，3 个白球，2 个红球（所有的球除颜色外其它 均相同） ，从 中一次性任取 2 个球，每取得一个黑球得 0 分，每取一个白球得 1 分，每取一个红球得 2 分，用随机变量 表示取 2 个球的总得分，已知得 0 分的概率为 .6 （）求袋子内黑球的个数； （）求 的分布列与期望。 20 （本小题满分 12 分）
7、 某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它 费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为 0.5） ， 其它费用为每小时 800 元，且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时。 （）请将从甲地到乙地的运输成本 y（元）表示为航行速度 （海里/ 小时）的函数； x （）要使从甲地到乙 地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 21 （本小题满分 12 分） （文题满分 14 分） 如图， 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半 圆圆心，且 ，Q 为线段 OD 的ADBODAB 中点，已知|AB|=4 ，曲线 C 过 Q
8、点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB| 的值不变。 （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； （）过点 B 的直线 与曲线 C 交于 M、N 两点，与 OD 所在直线交于 E 点，若l 为定值。1212,:EMN求 证 22 （本小题满分 14 分） 已知函数 在（-，0）上是减函数，在（ 0，1）上是增函数，32()fxaxbc 函数 在 R 上有三个零点，且 1 是其中一个零 点。 （）求 的值； b （）求 的取值范围；(2)f （）设 ，且 的解集为（-，1） ，求实数 的取值范围。1gx()fxga 参考答案 一、选择题（每小题 5 分，满分 60 分）
9、1 D 2A 3B 4A 5A 6D 7A 8C 9C 10C 11B 12B 二、填空题（每小题 4 分,满分 16 分） 13 1 14 156,4,1,7 16 （,2）（0,2 ） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 （本小题满分 12 分） 解：（）依题意： 2 分(1)nan = 4 分(1)2nS23 （）由（）知 5 分1ab 7 分122nanb是 首 项 为 4,公 比 为 2的 等 比 数 列 9 分14nn 12 分2()4nnT 18 （本小题满分 12 分） 解：（） ()1cos23sincofxxx 2 分
10、1cos23inix 5 分sn()16 因为函数 fx的最小正周期为 ，且 0， 所以 2，解得 1 7 分 （）由（ ）得 1)62sin()(xf 因为 03x ， 所以 726 ， 9 分 所以 1sin16x ， 因此 ，即 ()fx的取值范围为 12 分3)2i(03,0 19 （本小题满分 12 分） 解：（）设袋中黑球的个数为 n，由条件知，当取得 2 个黑球时得 0 分，概率为： 2 分 251(0)6nCp 化简得： ，解得 或 （舍去） ，即袋子中有 4 个黑球 4 分23404n1 （）依题意： =0,1,2,3,4 5 分 143291(0), ()6Cpp 6 分
11、21349() 7 分 1329()6Cp 8 分 29 (4) 的分布列为 10 分 12 分914363612610E 01234P661 20 （本小题满分 12 分） 解：（）由题意， 每小时的燃料费用为 ，从甲地到乙地所用的时间为 小时， 2 分20.5(0)x30x 则从甲地到 乙地的运输成本 ， 分xy308.2(5) 故所求的函数为 ， 分23160.505)x 0 （）由（） ， 分16022yx 当且仅当 ，即 时取等号11 分0x4x 故当货轮航行速度为0 海里/小时时，能使该货轮运输成本最少 12 分 21 （本小题满分 12 分） （文 22 题 满分 14 分） 解
12、：（）以 AB、OD 所在直线 分别为 x 轴、y 轴， O 为原点 ，建立平面直角坐标系， 动点 P 在曲线 C 上运动且保持 |PA|+|PB|的值不变且点 Q 在曲线 C 上, |PA|+|PB|= |QA|+|QB|=2 |AB |=4521 曲线 C 是为以原点为中心， A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 ,a= ,c=2,b=15 曲线 C 的方程为 +y2=1 5 分5x （）证 法 1：设 点的坐标分别为 ，,MNE120(,)(,)(,)MxyNEy 又 易 知 点 的 坐 标 为 且 点 B 在 椭 圆 C 内 ,故 过 点 B
13、 的 直 线 l 必 与 椭 圆 C 相 交 B(20) ， 1E111,(2)xyxy ， 7 分11x10 将 M 点坐标代入到椭圆方程中得： ，1)()2(5201y 去分母整理，得 10 分10202y 同理，由 可得： 2ENB 0222y ， 是方程 的两个根，1250yx 12 分0 （）证法 2：设 点的坐标分别为 ，又易知 点,MNE120(,)(,)(,)MxyNEyB 的坐标为 且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭 圆 C 相交(,0) 显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 llk)2(xky 将直线 的 方程代入到椭圆 的方程中
14、，消去 并整理得y 8 分0520)51(2kxk ， 221x21 又 ，1EMB 则 ，1011(,)(2,)xyxy12x 同理，由 ， 10 分2ENB22 12 分10)(42112121 xxx 22 （本小题满分 14 分） 解: （）f（x）=x 3+ax2+b x+c， 23fab 1 分 f（x）在在（,0）上是减函数，在（0,1）上是增函数， 当 x=0 时 ， f（x）取到极小值，即 0fb=0 3 分 （）由（1）知，f（x）= x3+ax2+c， 1 是函数 f（x）的一个零点，即 f（1）=0，c=1 a 5 分 230fa的两个根分别为 1x， 23 f（x）在
15、（ 0,1）上是增函数，且函数 f（x ）在 R上有三个零点， 21，即 7 分 58432faa 故 f（2 ）的取值范围为 5,2 9 分 （）解法 1：由（）知 321fxa，且 32a 1 是函数 fx的一个零点， 10f， ，(),g(1)0g 点 是函数 和函数 的图像的一个交点 10 分,0fx()x 结合函数 和函数 的图像及其增减特征可知，当且仅当函数 和函数()f ()fx 的图像只有一个交点 时， 的解集为 ()gx(1,0)()fgx(,1 即方程组 32 ,yxa （）只有一个解 11 分0y 由 321，得 3211xax 即 x 即 220ax 1x或 12 分 由方程 2x， （） 得 247aa 32a， 当 0，即 270，解得 1 13 分 此时方程（）无实数解，方程组（）只有一个解 0xy 所以 321a时， 的解集为 14 分()fxg(,1) （）解法 2：由（）知 32ax，且 32a 1 是函数 fx的一个零点 2()1)1f x 又 的解集为 ，xg(,) 10 分2() 20fxax解 集 为 -， 1 11 分210xa恒 成 立 12 分24 227018aa 14 分3321又 的 取 值 范 围 为 ，
