1、北京市海淀区 20152016 学年八年级第一学期期末考试 数学试题 2016.1 一、选择题（本题共 36 分，每小题 3 分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个符合题意请将正确选项前的字母填在表格中相应的 位置 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1下列标志是轴对称图形的是 A B C D 【考点】轴对称与轴对称图形 【试题解析】 根据轴对称图形的定义可观察得知 B 为轴对称图形故选 B 【答案】B 2P M2.5 是 指 大 气 中 直 径 小 于 或 等 于 2.5 微 米 的 颗 粒 物 ， 2.5 微 米 等 于 0.000 002 5 米 ， 把
2、 数 字 0.000 002 5 用 科 学 记 数 法 表 示 为 A B C D6160.2516106.1 【考点】科学记数法和近似数、有效数字 【试题解析】 根据题意得 0.000 002 5= 故选 D 【答案】D 3使分式 有意义的 x 的取值范围是23x A B C D3x3x 【考点】分式的概念 【试题解析】 由于分式的分母不能为 0，否则无意义，所以 故选 A 【答案】A 4下列计算中，正确的是 A B C D238()a842a325a235a 【考点】幂的运算 【试题解析】 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。所以 D 选项 正确故选 D 【答案】D 5如图，ABCDCB，
3、若 AC7，BE5，则 DE 的长为 A2 B3 C4 D5 【考点】全等三角形的性质 【试题解析】 由于ABCDCB，根据全等三角形的性质可得 BD=AC=7，又因为 BE5，所以 DE=BD-BE=2故选 A 【答案】A 6在平面直角坐标系中，已知点 A（2，m ）和点 B（n，3）关 于 x 轴对称，则 的值是n A1 B1 C5 D5 【考点】平面直角坐标系及点的坐标 【试题解析】 由于 A、B 两点关于 x 轴对称，所以横坐标相同，纵坐标互为相反数，得 m=3，n=2故选 C 【答案】C 7工人师傅常用角尺平分一个任意角做法如下：如图，AOB 是一个任意 角，在边 OA，OB 上分别
4、取 OMON，移动角尺，使角尺两边相同的刻 度分别与点 M，N 重合，过角尺顶点 C 作射线 OC由此作法便可得 MOCNOC，其依据是 ASSS BSAS CASA DAAS 【考点】全等三角形的判定 【试题解析】 根据题意得在MOC 和NOC 中 ，MOCNOC（SSS） 故选 A 【答案】A 8下列各式中，计算正确的是 A B2(1)xx2319x C D 4a 2()6x 【考点】整式的运算因式分解 【试题解析】 根据题意得 B 选项 故选 B 【答案】B 9若 ，则 的值为1ab2ab A4 B3 C1 D0 【考点】因式分解整式的运算 【试题解析】 根据题意得 故选 C 【答案】C
5、 10如图，在ABC 中，ABAC ， A40，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点，则DBC 的度数是 A20 B30 C40 D50 【考点】线段的垂直平分线 【试题解析】 根据题意得ABAC，A40ABC=70，又AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点，ABD=40，DBC=30故选 B 【答案】B 11若分式 的值为正整数，则整数 a 的值有61a A3 个 B4 个 C6 个 D8 个 【考点】分式的基本性质 【试题解析】 根据题意得 的值为正整数，a+1 必定是可以整除 6 正整数，a+1=1，2,3 或 6，a=0,1,2，或 5故选 B 【答案】B 12如图，
6、等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 16，腰 AC 的 垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点若点 D 为 BC 边 的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为 A6 B8 C10 D12 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【试题解析】 根据题意得 CD=2，等腰三角形 ABC 的高 AD=8，EF 垂直平分 AC，所以连接 AM 可得 AM=CM，CDM 周长=CD+DM+CM=CD+DM+AM，当 AM 与 DM 在同一直线上时最短，即为高 AD=8，CDM 周长的最小值 为=2+8=10故选 C 【答案】C 二、填空题（本题共 2
7、4 分，每小题 3 分） 13当 时，分式 值为 0x1x 【考点】分式的概念 【试题解析】 根据题意得分式分母不能为 0 ，所以分式的分子为 0 时，即 x=0 时，分式 值为 0 【答案】 14分解因式： 24xy 【考点】因式分解 【试题解析】 根据题意得 【答案】 15计算： 23xy 【考点】分式的运算 【试题解析】 根据题意得 【答案】 16如果等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，那么它的周长为 【考点】等腰三角形 【试题解析】 根据题意得等腰三角形的另一边可能为 7 或 3，由于三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边 之差小于第三边）可知，另一边为 3 不成立，所以另一边只
8、能为 7所以周长为 7+7+3=17 【答案】17 17如图，DEAB， A25，D45，则ACB 的度数为 【考点】三角形的性质及其分类 【试题解析】 根据题意得 DEAB，A25，AFE=DFC=65，D45， ACD70，ACB=110 【答案】110 18等式 成立的条件为 22()ab 【考点】整式乘法 【试题解析】 根据题意得 ， 【答案】 19如图，在ABC 中，BD 是边 AC 上的高，CE 平分ACB ，交 BD 于点 E， DE2，BC5，则BCE 的面积为 【考点】 三角形中的角平分线、中线、高线三角形的面积 【试题解析】 根据题意得 DE=2，如图，过 E 作 BC 的
9、垂线交于 F，CE 平分ACB，EF=ED=2（角平分线的性质） ， 又BC5，BCE 的面积= 。 【答案】5 20图 1 是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数（V） ，网眼数（F） ，边数 （E）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下： 特殊网图 结点数（V） 4 6 9 12 网眼数（F） 1 2 4 6 边数（E） 4 7 12 表中“”处应填的数字为 ；根据上述探索过程，可以猜想 V ，F， E 之间满足 的等量关系为 ； 如图 2，若网眼形状为六边形，则 V ，F， E 之间满足的等量关系为 图 1 图 2 【考点】定义新概念及程序 【试题解析】 根
10、据题意可观察得出“”处应填的数字为 17，根据规律观察可得 【答案】17， ， 三、解答题（本题共 16 分，每小题 4 分） 21计算： 104(3)32 【考点】实数运算 【试题解析】 原式 2 【答案】2 22如图，E 为 BC 上一点，AC BD，AC BE，BC DB 求证：AB= ED 【考点】全等三角形的判定全等三角形的性质 【试题解析】 证明：ACBD， CEBD 在ABC 和EDB 中, ABCEDB ABED 【答案】见解析 23计算： 223411xx 【考点】分式的运算 【试题解析】 原式 . 【答案】 24解方程： 31x 【考点】分式方程的解法 【试题解析】 方程两
11、边乘以 ，得 解得 . 检验：当 时， 所以， 原分式方程的解为 【答案】2 四、解答题（本题共 13 分，第 25 题 4 分，第 26 题 5 分，第 27 题 4 分） 25已知 ，求 的值3xy2()()2xyxy 【考点】整式的运算 【试题解析】 原式 . 当 时， 原式 3. 【答案】3 26北京时间 2015 年 7 月 31 日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得 2022 年第 24 届冬季奥 林匹克运动会举办权北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张 家口也成为本届冬奥会的协办城市近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国 家发改委批复，同意
12、新建北京至张家口铁路，铁路全长约 180 千米按照设计，京张高铁列车 的平均行驶速度是普通快车的 1.5 倍，用时比普通快车用时少了 20 分钟，求高铁列车的平均行 驶速度 【考点】分式方程的应用 【试题解析】 设普通快车的平均行驶速度为 x 千米/时,则高铁列车的平均行驶速度为 1.5x 千米/时 根据题意得 解得 经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意 【答案】270 千米/时 27已知：如图，线段 AB 和射线 BM 交于点 B （1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法） 在射线 BM 上作一点 C，使 ACAB； 作ABM 的角平分线交 AC 于 D 点； 在射线 CM
13、上作一点 E，使 CECD ，连接 DE （2）在（1）所作的图形中，猜想线段 BD 与 DE 的数量关系，并证明 MBA 【考点】角及角平分线尺规作图 【试题解析】 （1） （2）BDDE 证明：BD 平分ABC， 1 ABC ABAC， ABC4 1 4 CECD， 23 423， 3 4 13 BDDE 【答案】见解析 五、解答题（本题共 11 分，第 28 题 5 分，第 29 题 6 分） 28如图 1，我们在 2016 年 1 月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差” （将十字星左右两 数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差” ） 该十字星的十字差为 ，
14、再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为 4824608 （1）如图 2，将正整数依次填入 5 列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差” ，可以 发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为_ （2）若将正整数依次填入 k 列的长方形数表中（ ） ，继续前面的探究，可以发现相应“十3k 字差”为与列数 k 有关的定值，请用 k 表示出这个定值，并证明你的结论 （3）如图 3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差” ，若某个十字星 中心的数在第 32 行，且其相应的“十字差”为 2015，则这个十字星中心的数为 _（直接写出结果） 图 1 图 2 图 3 【考
15、点】定义新概念及程序 【试题解析】 （1） ； （2） ； 证明：设十字星中心的数为 x，则十字星左右两数分别为 ， ，上下两数分别为 ， （ ） 十字差为 这个定值为 （3）观察图 3 得，第 n 排的数字比（n-1）排的数字多 2(n-1),第 n 排的数字比（n+1）排的数少 2n,设 第 32 行某十字星中心的数为 x，则十字星左右两数分别为 ， ，上下两数分别为 x-62,x+64 . 十字差 【答案】 （1）24（2） （3）976 29数学老师布置了这样一道作业题： 在ABC 中，AB ACBC，点 D 和点 A 在直线 BC 的同侧， BDBC ，BAC，DBC ， 120，连
16、接 AD，求 ADB 的度数 小 聪 提 供 了 研 究 这 个 问 题 的 过 程 和 思 路 ： 先 从 特 殊 问 题 开 始 研 究 ， 当 90 ，30时 （ 如 图 1 ） ， 利用轴对称知识，以 AB 为对称轴构造ABD 的轴对称图形ABD，连接 CD（ 如 图 2） ，然后 利用 90， 30以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题 图 1 图 2 （1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下ADB 的度数； （2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题； （3 ） 解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点 D 和点 A 在直线 BC
17、的异侧时 ，且ADB 的度数与（1）中相同，则 ， 满足的条件为_ _（直接写出结果） 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【试题解析】 （1）如图,作AB DABD， B DBD，连接 CD，AD ABAC，BAC90， ABC45 DBC30， ABDABCDBC15 ABAB，AB DABD， B DBD， ABDABD ABDABD15，ADBADB DBCABDABC60 BDBD，BDBC， BDBC DBC 是等边三角形 DBDC，BDC60 ， ADBADC ADBADC ADB BDC30 ADB30 （2）第一种情况：当 时 如图,作AB DABD， B DBD，连接 C
18、D，AD ABAC， ABCACB BACABCACB180， 2ABC180 ABC ABDABCDBC 同（1）可证ABDABD ABDABD ，BDBD，ADBADB DBCABDABC ， DBC60 以下同（1）可求得ADB30 第二种情况：当 时， 如图,作AB DABD， B DBD，连接 CD，AD ABAC， ABCACB BACABCACB180， 2ABC180 ABC ABDDBCABC 同（1）可证ABDABD ABDABD ，BDBD，ADBADB DBCABCABD ， DBC60 BDBD，BDBC， BDBC DBC 是等边三角形 DBDC，BDC60 同（1
19、）可证ADBADC ADBADC ADBADCBDC360， 2 ADB60360 ADB150 ADB150 （3） ， 或 ， 【答案】见解析 数学参考答案 2016.1 一、选择题（本题共 36 分，每小题 3 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A D A C A B C B B C 二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分） 13 ； 14 ； 15 ； 1617； 17110；0x(2)yx 269xy 18 ； 195； 2017， ， ab 1VFE1VFE 三、解答题（本题共 16 分，每小题 4 分） 21解：原式 -3 分2
20、13 2 . -4 分 22证明：ACBD， CEBD -1 分 在ABC 和EDB 中,AEBD ABCEDB -3 分 ABED -4 分 23解：原式 -1 分2342(1)(1)()xxx -2 分 2()xx -3 分2(1) . -4 分x 24解：方程两边乘以 ，得()1x . -1 分(1)(1)3()xx 解得 . -3 分2 检验：当 时， x()10x 所以， 原分式方程的解为 -4 分2 四、解答题（本题共 13 分，第 25 题 4 分，第 26 题 5 分，第 27 题 4 分） 25解：原式 -1 分222()xyxy -2 分2()xy . -3 分 当 时，3
21、 原式 3. -4 分xy 26解：设普通快车的平均行驶速度为 x 千米/ 时,则高铁列车的平均行驶速度为 1.5x 千米/时-1 分 根据题意得 -3 分1801.53x 解得 -4 分 经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意180 .5270x 答：高铁列车的平均行驶速度为 270 千米/时 -5 分 27解：（1） （注：不写结论不扣分） MEDCBA -1 分 （2）BDDE -2 分 证明：BD 平分ABC， 1 ABC ABAC， ABC4 1 42 CECD， 4321 ME DCBA 23 423， 3 41 13 BDDE -4 分 五、解答题（本题共 11 分，第 28
22、题 5 分，第 29 题 6 分） 28 （1）24； -1 分 （2） ； -2 分2k 证明：设十字星中心的数为 x，则十字星左右两数分别为 ， ，上下两数分别为 ，1xxk （ ） x3 十字差为 -3 分(1)()kx 22x k -4 分21k 这个定值为 2 （3）976 -5 分 29 （1）解：如图,作AB D ABD， B DBD，连接 CD，AD ABAC， BAC90 ， ABC45 DBC30， ABDABC DBC15 ABAB，AB DABD， B DBD ， ABDABD ABDABD 15 ， ADBADB DBCABDABC 60 BDBD，BDBC， BDB
23、C DBC 是等边三角形 -1 分 DBDC， BDC 60 ，ABC， DA ADBADC ADBADC ADB BDC 3012 ADB30 -2 分 （2）解：第一种情况：当 时60 如图,作AB DABD， B DBD，连接 CD，AD ABAC， D D CBA ABCACB BACABCACB 180， 2ABC 180 ABC 180922 ABDABC DBC 0 同（1）可证ABD ABD ABDABD ，BD BD，ADBADB92 DBCABDABC 09018()2 ，120 DBC60 以下同（1）可求得ADB30 -3 分 第二种情况：当 时，60 如图,作AB D
24、ABD， B DBD，连接 CD，AD ABAC， ABCACB BACABCACB 180， 2ABC 180 ABC 180922 ABDDBC ABC 902（ ） 同（1）可证ABD ABD ABDABD ，BDBD，ADB ADB（ ） DBCABCABD 90(90)=18()22 ，120 DBC60 BDBD，BDBC， BDBC DBC 是等边三角形 DBDC， BDC 60 同（1）可证ADBADC ADBADC ADBADCBDC360， 2 ADB60360 ADB150 ADB150 -4 分 （3） ， 或 ， -6 分018 601280 120 （注：本卷中许多问题解法不唯一，请老师根据评分标准酌情给分）
