1、第 1 页（共 40 页） 2016-2017 学年河南省漯河市召陵区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1一元二次方程 2x（3x 2）=（x1） （3x2）的解是（ ） Ax=1 Bx= Cx 1= ，x 2=0 Dx 1= ，x 2=1 2y= x+1 是关于 x 的一次函数，则一元二次方程 kx2+2x+1=0 的根的情况 为（ ） A没有实数根 B有一个实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 3如图，正六边形 ABCDEF 内接于O ，O 的半径为 4，则这个正六边形的边 心距 OM 和 的长分别为（ ） A2 ， B ， C2 ， D
2、2 ， 4已知反比例函数 y= ，下列结论不正确的是（ ） A图象必经过点（1，2） By 随 x 的增大而增大 C图象在第二、四象限内 D若 x1，则 y 2 5如图，ABC 中，AB=6，BC=4 ，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到AEF，使 得 AFBC，延长 BC 交 AE 于点 D，则线段 CD 的长为（ ） A4 B5 C6 D7 6如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B ，C 作一圆弧，点 B 与下列格点 的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） 第 2 页（共 40 页） A点（0，3） B点（2，3） C点（5，1） D点（6，1） 7矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置
3、如图所示，点 B 的坐标为（3，4） ， D 是 OA 的中点，点 E 在 AB 上，当CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为（ ） A （3 ，1 ） B （3， ） C （3， ） D （3，2） 8在平面直角坐标系中，函数 y=x22x（x 0）的图象为 C1，C 1 关于原点对称 的图象为 C2，则直线 y=a（a 为常数）与 C1、C 2 的交点共有（ ） A1 个 B1 个或 2 个 C 1 个或 2 个或 3 个 D1 个或 2 个或 3 个或 4 个 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 9a 、b 、c 是实数，点 A（a+1、b ） 、B（a+2，c）在二次函数 y=
4、x22ax+3 的图 象上，则 b、c 的大小关系是 b c （用“ ”或“ ”号填空） 10从数2 ， ，0，4 中任取一个数记为 m，再从余下的三个数中，任取一个 数记为 n，若 k=mn，则正比例函数 y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是 11正比例函数 y1=mx（ m0）的图象与反比例函数 y2= （k0）的图象交于 点 A（n，4）和点 B，AMy 轴，垂足为 M若AMB 的面积为 8，则满足 第 3 页（共 40 页） y1y 2 的实数 x 的取值范围是 12如图，ABC 中，AC=6，AB=4，点 D 与点 A 在直线 BC 的同侧，且 ACD=ABC，CD=2，点 E
5、 是线段 BC 延长线上的动点，当DCE 和ABC 相似 时，线段 CE 的长为 13如图，AC 是半圆 O 的一条弦，以弦 AC 为折线将弧 AC 折叠后过圆心 O，O 的半径为 2，则圆中阴影部分的面积为 14如图，P 是O 外一点，PA 和 PB 分别切O 于 A、B 两点，已知O 的半 径为 6cm， PAB=60，若用图中阴影部分以扇形围成一个圆锥的侧面，则这个 圆锥的高为 15矩形纸片 ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点 P，且 DP=3将矩形纸 片折叠，使点 B 与点 P 重合，折痕所在直线交矩形两边于点 E，F，则 EF 长为 三、解答题 16父亲节快到了，明明准备
6、为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个 水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同 （1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率； （2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可 第 4 页（共 40 页） 能性是否会增大？请说明理由 17在如图的网格图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位，在 RtABC 中， C=90，AC=3，BC=4 （1）试在图中做出ABC 以 A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转 90后的图形 AB1C1； （2）若点 B 的坐标为（3，5） ，试在图中画出平面直角坐标系，并标出 A、C 两点的坐标； （3）根据（2）的坐
7、标系，以 B 为位似中心，做 BA2C2，使BA 2C2 与ABC 位似，且BA 2C2 与ABC 位似比为 2：1，并直接写出 A2 的坐标 18如图，已知 AC、EC 分别为四边形 ABCD 和 EFCG 的对角线，点 E 在ABC 内，CAE+ CBE=90，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接 BF （1）求证：CAE CBF； （2）若 BE=1，AE=2，求 CE 的长 19如图 1，反比例函数 y= （x 0）的图象经过点 A（2 ，1） ，射线 AB 与 反比例函数图象交于另一点 B（1，a） ，射线 AC 与 y 轴交于点 C，BAC=75 ， ADy 轴，垂
8、足为 D 第 5 页（共 40 页） （1）求 k 的值； （2）求 tanDAC 的值及直线 AC 的解析式； （3）如图 2，M 是线段 AC 上方反比例函数图象上一动点，过 M 作直线 lx 轴， 与 AC 相交于点 N，连接 CM，求CMN 面积的最大值 20如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=CB，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，点 E 是 AB 边上一点（点 E 不与点 A、B 重合） ，DE 的延长线交O 于点 G，DFDG，且交 BC 于点 F （1）求证：AE=BF； （2）连接 GB，EF，求证： GBEF； （3）若 AE=1，EB=2，求 DG 的长
9、 21旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一 天内最多能出租一次，且每辆车的日租金 x（元）是 5 的倍数，发现每天的营 运规律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时， 每辆车的日租金每增加 5 元，租出去的观光车就会减少 1 辆，已知所有观光车 每天的管理费是 1100 元 （1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日 租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入管理费） （2）设每日净收入为 w 元，请写出 w 与 x 之间的函数关系式； 第 6 页（共 40 页） （3）若某日的净收入为 4
10、420 元，且使游客得到实惠，则当天的观光车的日租 金是多少元？ 22问题：如图 1，点 E、 F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF=45， 试判断 BE、EF、FD 之间的数量关系 【发现证明】 小聪把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用 图 1 证明上述结论 【类比引申】 如图 2，四边形 ABCD 中BAD90，AB=AD， B+D=180 ，点 E、F 分别在 边 BC、 CD 上，则当EAF 与BAD 满足 关系时，仍有 EF=BE+FD 【探究应用】 如图 3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成的 ABCD，已知 A
11、B=AD=80 米， B=60，ADC=120，BAD=150，道路 BC、CD 上分别有景点 E、F，且 AE AD，DF=40（ ，米，现要在 E、F 之间修一条笔直道路，求这条 道路 EF 的长（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73） 23如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（ 2，0） ，点 B（4，0） ，点 D（2，4） ，与 y 轴交于点 C，作直线 BC，连接 AC，CD （1）求抛物线的函数表达式； （2）E 是抛物线上的点，求满足 ECD=ACO 的点 E 的坐标； （3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P
12、为第一象限内抛 物线上一点，若以点 C， M，N，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 第 7 页（共 40 页） 第 8 页（共 40 页） 2016-2017 学年河南省漯河市召陵区九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1一元二次方程 2x（3x 2）=（x1） （3x2）的解是（ ） Ax=1 Bx= Cx 1= ，x 2=0 Dx 1= ，x 2=1 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】首先移项，再利用提取公因式法分解因式，进而解方程得出答案 【解答】解：2x（3x2）=（x1） （3x2） 2x（3x2）（x1） （3x
13、2）=0， （3x2）2x（x1）=0， 解得：x 1= ， x2=1 故选：D 2y= x+1 是关于 x 的一次函数，则一元二次方程 kx2+2x+1=0 的根的情况 为（ ） A没有实数根 B有一个实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 【考点】根的判别式；一次函数的定义 【分析】由一次函数的定义可求得 k 的取值范围，再根据一元二次方程的判别 式可求得答案 【解答】解： y= x+1 是关于 x 的一次函数， 第 9 页（共 40 页） 0， k10，解得 k1， 又一元二次方程 kx2+2x+1=0 的判别式=44k， 0， 一元二次方程 kx2+2x+1=0 无实数根
14、， 故选 A 3如图，正六边形 ABCDEF 内接于O ，O 的半径为 4，则这个正六边形的边 心距 OM 和 的长分别为（ ） A2 ， B ， C2 ， D2 ， 【考点】正多边形和圆；弧长的计算 【分析】连接 OC、OB，证出BOC 是等边三角形，根据锐角三角函数的定义 求出 OM，再由弧长公式求出弧 BC 的长即可 【解答】解：如图所示，连接 OC、OB ， 多边形 ABCDEF 是正六边形， BOC=60， OA=OB， BOC 是等边三角形， OBM=60 ， OM=OBsinOBM=4 =2 ， 的长= = ； 故选：D 第 10 页（共 40 页） 4已知反比例函数 y= ，下
15、列结论不正确的是（ ） A图象必经过点（1，2） By 随 x 的增大而增大 C图象在第二、四象限内 D若 x1，则 y 2 【考点】反比例函数的性质 【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可 【解答】解： 当 x=1 时，代入反比例函数解析式可得 y=2， 反比例函数 y= 的图象必过点（ 1，2） ， 故 A 正确； 在反比例函数 y= 中，k=20， 函数图象在二、四象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而增大， 故 B 不正确，C 正确； 当 x=1 时，y=2，且在第四象限内 y 随 x 的增大而增大， 当 x1 时，则 y2， 故 D 正确 故选 B 5如图，ABC 中，A
16、B=6，BC=4 ，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到AEF，使 得 AFBC，延长 BC 交 AE 于点 D，则线段 CD 的长为（ ） A4 B5 C6 D7 【考点】旋转的性质；平行线的判定 【分析】只要证明BACBDA，推出 = ，求出 BD 即可解决问题 第 11 页（共 40 页） 【解答】解：AFBC， FAD=ADB， BAC=FAD ， BAC=ADB， B= B ， BACBDA ， = ， = ， BD=9， CD=BDBC=94=5， 故选 B 6如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B ，C 作一圆弧，点 B 与下列格点 的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） A点（0
17、，3） B点（2，3） C点（5，1） D点（6，1） 【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理 【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出， OBD+EBF=90时 F 点的位置即可 【解答】解：连接 AC，作 AC，AB 的垂直平分线，交格点于点 O，则点 O就是 所在圆的圆心， 三点组成的圆的圆心为：O（2，0） ， 只有OBD+EBF=90时，BF 与圆相切， 第 12 页（共 40 页） 当BOD FBE 时， EF=BD=2， F 点的坐标为：（5，1） ， 点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1） 故选：C 7矩形 OABC
18、 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标为（3，4） ， D 是 OA 的中点，点 E 在 AB 上，当CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为（ ） A （3 ，1 ） B （3， ） C （3， ） D （3，2） 【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题 【分析】如图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 H，连接 CH 与 AB 的交点为 E， 此时CDE 的周长最小，先求出直线 CH 解析式，再求出直线 CH 与 AB 的交点 即可解决问题 【解答】解：如图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 H，连接 CH 与 AB 的交点为 E，此时CDE 的周长最小 D（
19、 ，0） ，A（3，0） ， H （ ，0 ） ， 第 13 页（共 40 页） 直线 CH 解析式为 y= x+4， x=3 时，y= ， 点 E 坐标（3， ） 故选：B 8在平面直角坐标系中，函数 y=x22x（x 0）的图象为 C1，C 1 关于原点对称 的图象为 C2，则直线 y=a（a 为常数）与 C1、C 2 的交点共有（ ） A1 个 B1 个或 2 个 C 1 个或 2 个或 3 个 D1 个或 2 个或 3 个或 4 个 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据关于原点对称的关系，可得 C2，根据直线 y=a（a 为常数）与 C1、C 2 的交点，可得答案 【解答】解：
20、函数 y=x22x（x 0）的图象为 C1，C 1 关于原点对称的图象为 C2，C 2 图象是 y=x22x， a 非常小时，直线 y=a（a 为常数）与 C1 没有交点，与 C2 有一个交点，所以直 线 y=a（a 为常数）与 C1、C 2 有一个交点； 直线 y=a 经过 C1 的顶点时，与 C2 有一个交点，共有两个交点； 直线 y=a（a 为常数）与 C1 有两个交点时，直线 y=a（a 为常数）与 C1、C 2 的交 点共有 3 个交点； 故选：C 第 14 页（共 40 页） 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 9a 、b 、c 是实数，点 A（a+1、b ） 、B（a+2
21、，c）在二次函数 y=x22ax+3 的图 象上，则 b、c 的大小关系是 b c （用“ ”或“ ”号填空） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可 【解答】解：二次函数 y=x22ax+3 的图象的对称轴为 x=a，二次项系数 10 ， 抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大， a +1a +2，点 A（a+1、b ） 、B（a+2，c）在二次函数 y=x22ax+3 的图象上， bc， 故答案为： 10从数2 ， ，0，4 中任取一个数记为 m，再从余下的三个数中，任取一个 数记为 n，若 k=mn，则正比例函
22、数 y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是 【考点】概率公式；正比例函数的图象 【分析】根据题意先画出图形，求出总的情况数，再求出符合条件的情况数， 最后根据概率公式进行计算即可 【解答】解：从数2， ，0，4 中任取 1 个数记为 m，再从余下，3 个数中， 任取一个数记为 n 根据题意画图如下： 共有 12 种情况， 第 15 页（共 40 页） 正比例函数 y=kx 的图象经过第三、第一象限， k=mn0 由树状图可知符合 mn0 的情况共有 2 种， 正比例函数 y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是 = 故答案为： 11正比例函数 y1=mx（ m0）的图象与反比例函数 y2
23、= （k0）的图象交于 点 A（n，4）和点 B，AMy 轴，垂足为 M若AMB 的面积为 8，则满足 y1y 2 的实数 x 的取值范围是 2x0 或 x2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】由反比例函数图象的对称性可得：点 A 和点 B 关于原点对称，再根据 AMB 的面积为 8 列出方程 4n2=8，解方程求出 n 的值，然后利用图象可 知满足 y1y 2 的实数 x 的取值范围 【解答】解：正比例函数 y1=mx（m0）的图象与反比例函数 y2= （k 0 ） 的图象交于点 A（n，4）和点 B， B（n，4 ） AMB 的面积为 8， 8n=8， 解得 n=2， A（2
24、，4 ） ， B（2 ，4） 由图形可知，当2x0 或 x2 时，正比例函数 y1=mx（m0）的图象在反比 例函数 y2= （ k0）图象的上方，即 y1y 2 故答案为2x0 或 x2 第 16 页（共 40 页） 12如图，ABC 中，AC=6，AB=4，点 D 与点 A 在直线 BC 的同侧，且 ACD=ABC，CD=2，点 E 是线段 BC 延长线上的动点，当DCE 和ABC 相似 时，线段 CE 的长为 3 或 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得 CE 的长，本题得以解 决 【解答】解：DCE ABC，ACD=ABC，AC=6，AB=4，CD
25、=2， A=DCE， 或 即 或 解得，CE=3 或 CE= 故答案为：3 或 13如图，AC 是半圆 O 的一条弦，以弦 AC 为折线将弧 AC 折叠后过圆心 O，O 的半径为 2，则圆中阴影部分的面积为 第 17 页（共 40 页） 【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题） 【分析】过点 O 作 OEAC，交 AC 于 D，连接 OC，BC，证明弓形 OC 的面积= 弓形 BC 的面积，这样图中阴影部分的面积=OBC 的面积 【解答】解：过点 O 作 OEAC，交 AC 于 D，连接 OC，BC， OD=DE= OE= OA， A=30， AB 是O 的直径， ACB=90 ， B=6
26、0， OB=OC=2， OBC 是等边三角形， OC=BC， 弓形 OC 面积=弓形 BC 面积， 阴影部分面积=SOBC= 2 = 故答案为： 14如图，P 是O 外一点，PA 和 PB 分别切O 于 A、B 两点，已知O 的半 径为 6cm， PAB=60，若用图中阴影部分以扇形围成一个圆锥的侧面，则这个 圆锥的高为 4 第 18 页（共 40 页） 【考点】切线的性质；扇形面积的计算；圆锥的计算 【分析】首先根据扇形的圆心角和扇形的半径求得扇形的弧长，然后求得圆锥 的底面半径，从而利用勾股定理求得圆锥的高 【解答】解：PA 和 PB 分别切O 于 A 和 B 点， PA=PB， PBA=
27、PAB=60 APB=60， AOB=120， 半径为 3cm， 扇形的弧长为 =4， 圆锥的底面半径为 42=2， 圆锥的高为 =4 cm， 故答案为：4 15矩形纸片 ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点 P，且 DP=3将矩形纸 片折叠，使点 B 与点 P 重合，折痕所在直线交矩形两边于点 E，F，则 EF 长为 6 或 2 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】如图 1，当点 P 在 CD 上时，由折叠的性质得到四边形 PFBE 是正方形， EF 过点 C，根据勾股定理即可得到结果；如图 2 当点 P 在 AD 上时，过 E 作 EQAB 于 Q，根据勾股定理得到 PB= =
28、 =3 ，推出 ABPEFQ ，列比例式即可得到结果 【解答】解：如图 1，当点 P 在 CD 上时， 第 19 页（共 40 页） PD=3，CD=AB=9 ， CP=6，EF 垂直平分 PB， 四边形 PFBE 是正方形，EF 过点 C， EF=6 ， 如图 2，当点 P 在 AD 上时， 过 E 作 EQAB 于 Q， PD=3，AD=6， AP=3， PB= = =3 ， EF 垂直平分 PB， 1=2， A=EQF， ABPEFQ， ， ， EF=2 ， 综上所述：EF 长为 6 或 2 故答案为：6 或 2 第 20 页（共 40 页） 三、解答题 16父亲节快到了，明明准备为爸爸
29、煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个 水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同 （1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率； （2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可 能性是否会增大？请说明理由 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）首先分别用 A，B ，C 表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然 后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆 刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃 前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可
30、求得给爸爸再增加一个花生 馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前 两个汤圆都是花生的可能性是否会增大 【解答】解：（1）分别用 A，B ，C 表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆， 画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有 2 种情况， 爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为： = ； （2）会增大， 第 21 页（共 40 页） 理由：分别用 A，B，C 表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得： 共有 20 种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有 6 种情况， 爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为： = ； 给爸爸再增
31、加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会 增大 17在如图的网格图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位，在 RtABC 中， C=90，AC=3，BC=4 （1）试在图中做出ABC 以 A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转 90后的图形 AB1C1； （2）若点 B 的坐标为（3，5） ，试在图中画出平面直角坐标系，并标出 A、C 两点的坐标； （3）根据（2）的坐标系，以 B 为位似中心，做 BA2C2，使BA 2C2 与ABC 位似，且BA 2C2 与ABC 位似比为 2：1，并直接写出 A2 的坐标 【考点】作图-位似变换；勾股定理；作图 -旋转变换 【分析】 （1）直接利
32、用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用 B 点坐标得出原点位置，进而得出 A、C 两点的坐标； 第 22 页（共 40 页） （3）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案 【解答】解：（1）如图所示：AB 1C1，即为所求； （2）如图所示：A（0、1） 、C （3、1） ； （3）如图所示：BA 2C2，即为所求，A 2（3、3 ） 18如图，已知 AC、EC 分别为四边形 ABCD 和 EFCG 的对角线，点 E 在ABC 内，CAE+ CBE=90，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接 BF （1）求证：CAE CBF； （2）若 BE=1，AE=2
33、，求 CE 的长 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】 （1）首先根据四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形，可得 = = ， ACE=BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得 CAE CBF 即可； 第 23 页（共 40 页） （2）首先根据CAE CBF，判断出CAE=CBF，再根据 CAE+CBE=90，判断出EBF=90 ；然后在 Rt BEF 中，根据勾股定理，求 出 EF 的长度，再根据 CE、EF 的关系，求出 CE 的长是多少即可 【解答】解：（1）四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形， = = ， 又ACE+ BCE=BCF+BCE=45， A
34、CE=BCF ， CAE CBF （2）：CAE CBF， CAE=CBF ， = ， 又CAE+ CBE=90， CBF+CBE=90， EBF=90 ， 又 = = ，AE=2 = ， BF= ， EF 2=BE2+BF2=3， EF= ， CE 2=2EF2=6， CE= 19如图 1，反比例函数 y= （x 0）的图象经过点 A（2 ，1） ，射线 AB 与 反比例函数图象交于另一点 B（1，a） ，射线 AC 与 y 轴交于点 C，BAC=75 ， 第 24 页（共 40 页） ADy 轴，垂足为 D （1）求 k 的值； （2）求 tanDAC 的值及直线 AC 的解析式； （3）
35、如图 2，M 是线段 AC 上方反比例函数图象上一动点，过 M 作直线 lx 轴， 与 AC 相交于点 N，连接 CM，求CMN 面积的最大值 【考点】反比例函数综合题；一次函数的性质；二次函数的最值 【分析】 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得 k=2 ； （2）作 BHAD 于 H，如图 1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定 B 点 坐标为（1，2 ） ，则 AH=2 1，BH=2 1，可判断ABH 为等腰直角三角形， 所以BAH=45，得到DAC=BAC BAH=30，根据特殊角的三角函数值得 tanDAC= ；由于 ADy 轴，则 OD=1，AD=2 ，然后在 RtOAD
36、中利用正 切的定义可计算出 CD=2，易得 C 点坐标为（0，1） ，于是可根据待定系数法求 出直线 AC 的解析式为 y= x1； （3）利用 M 点在反比例函数图象上，可设 M 点坐标为（t ， ） （0t2 ） ，由于直线 lx 轴，与 AC 相交于点 N，得到 N 点的横坐标为 t，利用一次 函数图象上点的坐标特征得到 N 点坐标为（t， t1） ，则 MN= t+1， 根据三角形面积公式得到 SCMN = t（ t+1） ，再进行配方得到 S= （t ） 2+ （0t 2 ） ，最后根据二次函数的最值问题求解 第 25 页（共 40 页） 【解答】解：（1）把 A（2 ，1）代入 y
37、= 得 k=2 1=2 ； （2）作 BHAD 于 H，如图 1， 把 B（1，a ）代入反比例函数解析式 y= 得 a=2 ， B 点坐标为（1，2 ） ， AH=2 1，BH=2 1， ABH 为等腰直角三角形， BAH=45， BAC=75 ， DAC=BACBAH=30， tanDAC=tan30= ； ADy 轴， OD=1，AD=2 ， tanDAC= = ， CD=2， OC=1， C 点坐标为（0，1 ） ， 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， 把 A（2 ，1） 、C （0，1）代入 得 ， 第 26 页（共 40 页） 解 ， 直线 AC 的解析式为 y= x1； （
38、3）设 M 点坐标为（ t， ） （0t2 ） ， 直线 lx 轴，与 AC 相交于点 N， N 点的横坐标为 t， N 点坐标为（t， t1） ， MN= （ t1）= t+1， S CMN = t（ t+1） = t2+ t+ = （ t ） 2+ （0t 2 ） ， a= 0， 当 t= 时，S 有最大值，最大值为 第 27 页（共 40 页） 20如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=CB，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，点 E 是 AB 边上一点（点 E 不与点 A、B 重合） ，DE 的延长线交O 于点 G，DFDG，且交 BC 于点 F （1）求证：AE=BF；
39、 （2）连接 GB，EF，求证： GBEF； （3）若 AE=1，EB=2，求 DG 的长 【考点】圆的综合题 【分析】 （1）连接 BD，由三角形 ABC 为等腰直角三角形，求出A 与C 的度 数，根据 AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到 ADB 为直角，即 BD 垂直于 AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到 AD=DC=BD= AC，进 而确定出A=FBD ，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用 ASA 得到 三角形 AED 与三角形 BFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接 EF，BG，由三角形 AED 与三角形 BFD 全等，得到 ED=FD，
40、进而得到 三角形 DEF 为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一 对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证； （3）由全等三角形对应边相等得到 AE=BF=1，在直角三角形 BEF 中，利用勾股 定理求出 EF 的长，利用锐角三角形函数定义求出 DE 的长，利用两对角相等的 三角形相似得到三角形 AED 与三角形 GEB 相似，由相似得比例，求出 GE 的长， 由 GE+ED 求出 GD 的长即可 【解答】 （1）证明：连接 BD， 在 RtABC 中，ABC=90，AB=BC， A=C=45 ， AB 为圆 O 的直径， 第 28 页（共 40 页） ADB=90
41、，即 BDAC， AD=DC=BD= AC，CBD=C=45， A=FBD ， DFDG， FDG=90 ， FDB+BDG=90， EDA+BDG=90， EDA= FDB， 在AED 和 BFD 中， ， AED BFD（ASA） ， AE=BF； （2）证明：连接 EF，BG ， AED BFD， DE=DF， EDF=90， EDF 是等腰直角三角形， DEF=45， G=A=45， G=DEF， GBEF； （3）AE=BF，AE=1， 第 29 页（共 40 页） BF=1， 在 RtEBF 中，EBF=90 ， 根据勾股定理得：EF 2=EB2+BF2， EB=2，BF=1， E
42、F= = ， DEF 为等腰直角三角形，EDF=90， cosDEF= ， EF= ， DE= = ， G=A， GEB= AED， GEBAED ， = ，即 GEED=AEEB， GE=2，即 GE= ， 则 GD=GE+ED= 21旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一 天内最多能出租一次，且每辆车的日租金 x（元）是 5 的倍数，发现每天的营 运规律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时， 每辆车的日租金每增加 5 元，租出去的观光车就会减少 1 辆，已知所有观光车 每天的管理费是 1100 元 第 30 页（共
43、 40 页） （1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日 租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入管理费） （2）设每日净收入为 w 元，请写出 w 与 x 之间的函数关系式； （3）若某日的净收入为 4420 元，且使游客得到实惠，则当天的观光车的日租 金是多少元？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得每辆车的日租金 至少应为多少元； （2）根据题意可以得到 w 与 x 的函数关系式； （3）由题意和（2）中的条件可以求得使游客得到实惠，当天的观光车的日租 金 【解答】解：（1）由题意知， 若观光
44、车能全部租出，则 0x100 ， 50x11000， 解得 x22， 又x 是 5 的倍数， 每辆车的日租金至少应为 25 元； （2）每辆车的净收入为 w 元， 当 0x100 时，w 1=50x1100； 当 x100 时，w 2=x（50 ） 1100= x2+70x1100， 即 w= ； （3）w=4420， 当 0x100 时， 50x1100=4420， 得 x=110.4（舍去） ， 当 x100 时，有： 第 31 页（共 40 页） x2+70x1100=4420， 解得，x 1=230，x 2=120， 即使游客得到实惠，则当天的观光车的日租金是 120 元 22问题：如
45、图 1，点 E、 F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF=45， 试判断 BE、EF、FD 之间的数量关系 【发现证明】 小聪把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用 图 1 证明上述结论 【类比引申】 如图 2，四边形 ABCD 中BAD90，AB=AD， B+D=180 ，点 E、F 分别在 边 BC、 CD 上，则当EAF 与BAD 满足 BAD=2EAF 关系时，仍有 EF=BE+FD 【探究应用】 如图 3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成的 ABCD，已知 AB=AD=80 米， B=60，ADC=120，BAD=15
46、0，道路 BC、CD 上分别有景点 E、F，且 AE AD，DF=40（ ，米，现要在 E、F 之间修一条笔直道路，求这条 道路 EF 的长（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73） 【考点】四边形综合题 【分析】 【发现证明】根据旋转的性质可以得到ADGABE ，则 GF=BE+DF， 只要再证明AFGAFE 即可 【类比引申】延长 CB 至 M，使 BM=DF，连接 AM，证ADFABM ，证 第 32 页（共 40 页） FAEMAE ，即可得出答案； 【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到ABE 是等边三角形，则 BE=AB=80 米把ABE 绕点 A 逆时针旋转 150至ADG，只要再证明 BAD=2EAF 即可得出 EF=BE+FD 【解答】 【发现证明】证明：如图（1） ，ADGABE ， AG=AE，DAG=BAE，DG=BE ， 又EAF=45 ，即DAF+BEA= EAF=45， GAF= FAE， 在GAF 和FAE 中， ， AFGAFE（
