1、1 包 头 四 中 2018-2019 学 年 第 一 学 期 第 二 次 月 考 试 高二年级数学（文科）试题 满分：150 分 考试时间： 120 分钟 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的 四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 . 1 设 i 是虚数单位，则复数 (1 i) (1 2i) ( ) A 3 3i B 1 3i C 3 i D 1 i 2. 我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来 米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米 内夹谷约 为 ( ) A 169 石
2、B 269 石 C 338 石 D 1365 石 3 在某次测量中得到的 A 样本数据如下： 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. 若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据，则 A， B 两样本的下列数字特征对应相 同的是 ( ) A 众数 B 平均数 C 中位数 D 标准差 4 一 个 容 量 为 20 的 样 本 , 各 组 频 数 如 下 :(10,20,2;(20,30,3;(30,40,4;(40,50,5;(50,60, 4;(60,70,2. 则样本在 (10,50 上的频率为 ( ) A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.25
3、2 5. 四名同学根据各自的样本数据研究变量 x， y 之间的相关关系，并求得回归直 线方程， 分别得到以下四个结论： y 与 x 负 相 关 且 y 2.347x 6.423 ； y 与 x 负 相 关 且 y3 .476x 5.648 ； 3 y 与 x 正相关且 y 5.437x 8.493 ；y 与 x 正相关且其中一定不 正 确 的 结论的序号是 ( ) A B C D y4 .326x 4 .578. 6. 执行如图 X37- 10 所示的程序框图，则计算机输出的所有点 ( x， y) 所满足的函 数为 ( ) A y x 1 B y 2x C y 2x 1 D y2 x 图 7
4、圆 ( x 2) 2 y 2 4 与圆 ( x 2) 2 ( y 1) 2 9 的位置关系为 ( ) A 内切 B 相交 C 外切 D 相离 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3x4 y 5 0 与圆 x2 y2 4 相交于 A、 B 两点，则弦 AB的长等于 ( ) A 3 3 B 2 3 C. 3 D 1 9. 双曲线 x2 y2 1 的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) 4 1 A. 2 B. 2 2 C 1 D. 2 10. 在长为 12 cm 的线段 AB上任取一点 C， 现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC， CB的长，则该矩形 面积大于 20 cm2 的概率为 ( ) 1
5、A. 6 B. 1 3 C. 2 4 3 D. 5 5 1 2 1 y2 11. 过双曲线 x2 3 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近 线于 A， B 两点，则 | AB| ( ) 4 3 A. 3 B 2 3 C 6 D 4 3 x2 y2 12. 从 椭 圆 a2 b21(ab0) 上一点 P向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1， A是椭 圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O是坐标原点 ) ， 则该椭圆的离心率是 ( ) 2 A. 4 B. 1 2 C. 2 3 2 D. 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，
6、共 20 分. 13 某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品 , 三种产品的数量之比为 234, 现采用分层抽样的方法从中抽出 一个容量为 n 的样本 , 样本中 A型号的产品有 16 件 , 那 么样本容量 n= . 14 已 知 样 本 数 据 x1 ， x2， ， xn 的 均 值 x5 ， 则 样 本 数 据 2x1 1， 2x2 1， ， 2xn 1 的 均 值 为 15 已知双曲线 x2 y2 1， 点 F ， F 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF PF2 ，则 | PF1 | | PF2| 的值为 6 16 设 m， n R， 若直线 l ： mx ny 1 0
7、 与 x 轴相交于点 A， 与 y 轴相交于点 B， 且 l 与圆 x2 y2 4 相交 所得弦的长为 2， O为坐标原点， 则 AOB面积的最小值为 7 三、解答题：共 70 分 . 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 考生根据要 求 作答 . 17（本 小 题 满 分 10 分）若 圆 C经 过 坐 标 原 点 和 点 (4 ，0) ， 且 与 直 线 y 1 相 切 ， 求 圆 C的方程 8 9 18 （ 本小题满分 12 分） 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该 产品按事先拟定 的价格进行试销，得到如下数据： 单价 x( 元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8
8、9 销量 y( 件) 90 84 83 80 75 68 (1) 求 回 归 直 线 方 程 y bx a，其中 b 20， a y b x ； (2) 预 计 在 今 后 的 销 售 中 ， 销 量 与 单 价 仍 然 服 从 (1) 中 的 关 系 ， 且 该 产 品 的 成 本 是 4 元 / 件，为使工厂 获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？ ( 利润销 售 收 入 成 本 ) 19（本小题满分 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后 10 即 可 抽 奖 抽 奖 方 法 是 ： 从 装 有 2 个 红 球 A1， A2 和 1 个 白 球 B 的 甲 箱 与
9、装 有 2 个 红 球 a1 ， a2 和 2 个 白 球 b1， b2 的 乙 箱 中 ， 各 随 机 摸 出 1 个 球 若 摸 出 的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖 11 (1) 用球的标号列出所有可能的摸出结果 (2) 有 人 认 为 ： 两 个 箱 子 中 的 红 球 比 白 球 多 ， 所 以 中 奖 的 概 率 大 于 不 中 奖 的 概 率你认为正确吗？ 请说明理由 20（本小题满分 12 分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查， 调查结果如下表所示： 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合
10、计 70 30 100 (1) 根据表中数据，问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜 品的饮食习惯 方面有差异”； (2) 已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现 在从 这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率 n（ n n n n ） 2 11 22 2 12 21 附 ： n1 n2 n 1n 2， P( 2k ) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 12 21 （ 本小题满分 12 分）已知动点 M(x， y) 到直线 l ： x 4 的距离是它到点 N(1， 0)的 距 离
11、 的 2 倍 (1) 求动点 M的 轨 迹 C的方程； (2) 过 点 P(0， 3) 的 直 线 m与轨迹 C交 于 A， B 两 点 若 A 是 PB的 中 点 ， 求 直 线 m的斜率 13 x2 y 2 22（本小题满分 12 分） 设 F1， F2 分别是椭圆 C： a2 b2 1( a b0 ) 的左、右焦点， M是 C上 一点且 MF2 与 x 轴垂直直线 MF1 与 C的另一个交点为 N. (1) 若直线 MN的 斜 率 为 3 4， 求 C的离心率； (2) 若直线 MN在 y 轴 上 的 截 距 为 2， 且 | MN| 5| F1N| ， 求 a， b. 14 数学（文科
12、）试题答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 1.C 2. A 3.D 4. .B 5. D 6. D 7. B 8. B 9. B 10. C 11.D 12.C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13 72 14 11 15 2 3 16 3 三、解答题：共 70 分 . 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 5 3 17 （ 本小题满分 10 分） r 24( r 1)2， 得 r 2， 圆心为 2， 2 .故圆 C 3 的 方 程 是 (x 2)2 y 2 2 25 4 . 18（本小题满分 12 分）解：(1) 由
13、于 x 1 6(x1 x2 x3 x4 x5 x6) 8.5， 1 y 6(y1 y2 y3 y4 y5 y6) 80. 所 以 a y b x 80 208.5 250，从而回归直线方程为 y 20x 250. (2)设工厂获得的利润为 L 元，依题意得 L x( 20x 250) 4( 20x 250) 20x2 330x 1000 15 20 x 33 4 2 361.25. 当 且 仅 当 x 8.25 时 ， L 取得最大值 故当单价定为 8.25 元时，工厂可获得最大利润 19. （本 小 题 满 分 12 分） 解 ： (1)所有可能的摸出结果是 A1，a1 ，A 1，a2 ，A
14、 1，b1 ，A 1，b2 ，A 2，a1 ，A 2，a2 ，A 2，b1 ，A 2， b2， B， a1， B， a2， B， b1， B，b2 (2)不正确理由如下： 16 由 (1)知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为 A1， a1， A1， a2， A2， a1， A2， a2， 共 4 种， 4 1 1 2 1 所以中奖的概率为 12 3，不中奖的概率为 1 3 33， 故这种说法不正确 20 （ 本小题满分 12 分）解：(1)将 22 列联表中的数据代入公式计算，得 2 n（ n11n22 n12n21） 2 n1 n2 n 1n 2 100（
15、 6010 2010） 2 70308020 100 21 4.762. 由 于 4.762 3.841， 所 以 有 95% 的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异” (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间 (a1， a2， b1)，( a1， a2， b2)， (a1， a2， b3)， (a1， b1， b2)， (a1， b1 ， b3)， (a1， b2， b3)， (a2， b1， b2)， (a2， b1， b3)， (a2， b2， b3)， (b1， b2， b3)， 其中 ai 表示喜欢甜品的学生， i 1， 2，
16、bj 表示不喜欢甜品的学生， j 1， 2， 3. 由 10 个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件，则 A (a1， b1， b2)， (a1， b1， b3)， (a1， b2 ，b3 )，(a 2，b1，b2 )，(a 2，b1，b3 )，(a 2，b2，b 3)， (b1， b2， b3) 7 事件 A 由 7 个基本事件组成，因而 P(A) 10. 21 （ 本小题满分 12 分） (1)设 M 到直线 l 的距离为 d，根据题意， d2|MN|. 17 由此得| 4 x| 2 （x 1） 2 y2. x2 y2 化简得
17、 4 3 1， x2 y2 所 以 ， 动 点 M 的 轨 迹 方 程 为 4 3 1. (2)方法一：由题意，设直线 m 的方程为 y kx 3， A(x1， y1)， B(x2， y2) x2 y2 将 y kx 3 代 入 4 3 1 中 ， 有 (34k 2)x2 24kx 240， 其 中 ， (24k)2 4 24(3 4k2) 96(2k2 3)0. 18 1 24k 由 求 根 公 式 得 ， x1 x2 34k 2， 24 x1x2 3 4k2. 又因 A 是 PB 的中点，故 x2 2x1. 将代入 ，得 8k 12 x1 3 4k2， x2 3 4k2， 8k 2 12
18、3 可得 34k 2 3 34k 2，且 k22， 3 解 得 k 2或 k 2， 3 3 所以，直线 m的斜率为 2或 2. b2 3ac. 22 （ 本小题满分 12 分）解： (1)根据 c a2 b2及题设知 M c， a ， 2b2 将 b2 a2 c2 代 入 2b2 3ac， c 1 c 解 得 a 2， a 2(舍 去 ) 1 故 C 的离心率为 2. (2)由题意知，原点 O 为 F 1F2 的中点， MF 2y 轴，所以直线 MF 1 与 y 轴的交 b2 点 D(0， 2)是线段 MF 1 的 中 点 ， 故 a 4 ， 即 b2 4a. 由 |MN | 5|F 1N|得 |DF 1| 2|F 1N|. 设 N(x1， y1)， 由 题 意 知 y10， 则 19 2（ c x1） c， 2y12， 即 9c2 3 x1 2c， y1 1. 1 代入 C 的方程，得 4a2 b21. 9（ a2 4a） 1 将及 c a2 b2代入得 4a2 4a 1， 解得 a 7， b2 4a 28， 故 a7 ， b 2 7.
