1、2015-2016 学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意 1cos60 sin60的值等于（ ） A B C D 2一元二次方程 x281=0 的解是（ ） Ax= 9 Bx=9 Cx 1=9，x 2=9 Dx=81 3下列函数中，当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而增大的是（ ） Ay= x2 By= Cy= x+1 Dy= 4三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成的影子如图所示若 OA=20cm，OA=50cm ，则这个三角 尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ） A5：2
2、 B2：5 C4：25 D25：4 5已知：如图，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 是劣弧上不同于点 C 的任意一点，则 BPC 的度数是（ ） A45 B60 C75 D90 6将函数 y=2x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到的新函数是（ ） Ay=2（x+2 ） 2+3 By=2（x 2） 2+3Cy=2（x+2） 23Dy=2（x2） 23 7一元二次方程 x25x+7=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D没有实数根 8在 RtABC 中， C=90， AB=10，tanA= ，则 AC 的长是（ ）
3、A3 B4 C6 D8 9下列命题中，正确的是（ ） A平分弦的直线必垂直于这条弦 B垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧 C平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 D垂直于弦的直线必过圆心 10面积为 2 的直角三角形一直角边长为 x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象大致 表示为（ ） A B C D 11小洋用一张半径为 24cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计） ， 如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为 10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ） A120cm 2 B240cm 2 C260cm 2 D480cm 2 12如图
4、，在等边ABC 中，BC=6，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DEBC，将ADE 沿 DE 翻折 后，点 A 落在点 A处连结 A A并延长，交 DE 于点 M，交 BC 于点 N如果点 A为 MN 的中点， 那么ADE 的面积为（ ） A B3 C6 D9 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，只要求填写最后结果 13若关于 x 的方程 ax24x+3=0 有两个相等的实数根，则常数 a 的值是 14圆内接四边形 ABCD 的内角A ：B：C=2：3：4，则 D= 度 15已知ABCDEF，且相似比为 3：4，S ABC=2cm2，则 SDEF= cm 2 16如图
5、，O 的直径 AB=10cm，C 是O 上一点，点 D 平分 ，DE =2cm，则弦 AC= 17如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值为 三、解答题：本大题共 8 小题，共 69 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18按下列的要求解一元二次方程： （1） （因式分解法）x 2+7x+12=0 （2） （配方法）x 2+4x+1=0 19如图，一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于 A（1，6） ， B（a， 2）两点 （1）求一次函数与反比例函数的解析式；
6、（2）直接写出 y1y2 时 x 的取值范围 20如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30， 然后沿 AD 方向前行 10m，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角高度为 60（A、B、D 三点在同 一直线上） 请你根据他们测量数据计算这棵树 CD 的高度（结果精确到 0.1m） （参考数据： 1.414， 1.732） 21如图，在ABC 中，D 是 AB 上一点，且 ABC=ACD （1）求证：ACD ABC； （2）若 AD=3，AB=7，求 AC 的长 22某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 20 元，根据市场调查，在一
7、段时间内，销售单 价是 30 元时，销量是 300 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具，若商场想获得利润 3750 元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的 100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？ 23如图，抛物线经过点 A、 B、C （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线和 x 轴的另一个交点为 D，求ODC 的面积 24如图，AB 为 O 的直径，AD 与O 相切于点 A，DE 与O 相切于点 E，点 C 为 DE 延长线 上一点，且 CE=CB （1）求证：BC 为O 的切线； （2）若 ，AD=2，求线段 BC 的长 25 如图，对称轴为 x=1 的抛物线
8、 y=ax2+bx+c（a 0）与 x 轴相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐 标为（3，0） （1）求点 B 的坐标 （2）已知 a=1，C 为抛物线与 y 轴的交点 若点 P 在抛物线上，且 SPOC=4SBOC，求点 P 的坐标 设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QDx 轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值 2015-2016 学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）期末数学 试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，共 36 分，在每小题 给出的四个选项中，只有一个选项符合题意 1cos60 sin60的值等于（ ） A B C D 【考点】特殊角的三角函
9、数值 【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案 【解答】解：cos60sin60= = ， 故选：D 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键 2一元二次方程 x281=0 的解是（ ） Ax= 9 Bx=9 Cx 1=9，x 2=9 Dx=81 【考点】解一元二次方程-直接开平方法 【分析】首先移项，把81 移到等号右边，再两边直接开平方即可 【解答】解：x 281=0， 移项得：x 2=81， 两边直接开平方得：x=9， 到 x1=9，x 2=9， 故选：C 【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未
10、知数的项移 到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成 x2=a（a0）的形式，利用数的开方直接求解 3下列函数中，当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而增大的是（ ） Ay= x2 By= Cy= x+1 Dy= 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质 【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质进行解答即可 【解答】解：A、y= x2，对称轴 x=0，当 x0 时，y 随着 x 的增大而减小，故本选项错误； B、反比例函数 y= 中，k=10，当 x0 时 y 随 x 的增大而增大，故本选项正确； C、k0，y 随 x 的增大而减小，故本选项错误； D、 k 0， y 随
11、着 x 的增大而 增大，故本选项错误 故选 B 【点评】本题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，主要掌握二次函数、反比例函数、 正比例函数的增减性（单调性） ，是解题的关键，是一道难度中等的题目 4三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成的影子如图所示若 OA=20cm，OA=50cm ，则这个三角 尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ） A5：2 B2：5 C4：25 D25：4 【考点】相似三角形的应用 【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比 等于相似比解答即可 【解答】解：如图，OA=20cm ，OA=50cm ， = = =
12、 ， 三角尺与影子是相似三角形， 三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比= =2：5 故选：B 【点评】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等 于相似比的性质 5已知：如图，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 是劣弧上不同于点 C 的任意一点，则 BPC 的度数是（ ） A45 B60 C75 D90 【考点】圆周角定理；正多边形和圆 【分析】连接 OB、OC，首先根据正方形的性质，得BOC=90，再根据圆周角定理，得 BPC=45 【解答】解：如图，连接 OB、OC，则BOC=90， 根据圆周角定理，得：BPC= BOC=45 故选 A
13、【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用 这里注意：根据 90的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心 6将函数 y=2x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到的新函数是（ ） Ay=2（x+2 ） 2+3 By=2（x 2） 2+3Cy=2（x+2） 23 Dy=2（x2） 23 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】由于所给的函数解析式为顶点坐标式，可直接利用“上加下减、左加右减” 的平移规律进行 解答 【解答】解：将函数 y=2x2 向左平移 2 个单位，得：y=2（x+2） 2； 再向下平移 3 个单位，得：y=2（x+2） 23； 故
14、选 C 【点评】此题主要考查的是二次函数图象的平移规律，即：左加右减，上加下减 7一元二次方程 x25x+7=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D没有实数根 【考点】根的判别式 【分析】求出根的判别式的值再进行判断即可 【解答】解：一元二次方程 x25x+7=0 中， =（5） 2417=30， 所以原方程无实数根 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1） 0方程有 两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根 8在 RtABC 中， C=90， AB=10，tanA
15、= ，则 AC 的长是（ ） A3 B4 C6 D8 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理 【分析】根据锐角三角函数正切等于对边比邻边，可得 BC 与 AC 的关系，根据勾股定理，可得 AC 的长 【解答】解：由 tanA= = ，得 BC=3x，CA=4x ， 由勾股定理，得 BC2+AC2=AB2，即（3x） 2+（4x） 2=100， 解得 x=2， AC=4x=42=8 故选：D 【点评】本题考查了锐角三角函数，利用了锐角三角函数正切等于对边比邻边，还利用了勾股定 理 9下列命题中，正确的是（ ） A平分弦的直线必垂直于这条弦 B垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧 C平分弦的直径必垂
16、直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 D垂直于弦的直线必过圆心 【考点】命题与定理 【分析】根据垂径定理及其推论对各选项分别进行判断 【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，所以 A 选项错误； B、垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧，所以 B 选项正确； C、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，所以 C 选项错误； D、垂直平分弦的直线必过圆心，所以 D 选项错误 故选 B 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两 部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么” 形
17、 式 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 10面积为 2 的直角三角形一直角边长为 x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象大致 表示为（ ） A B C D 【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象 【分析】根据题意有：xy=4；故 y 与 x 之间的函数图象为反比例函数，且根据 x y 实际意义 x、y 应大于 0，其图象在第一象限 【解答】解： xy=4， xy=4， y= （x0，y0） ， 当 x=1 时，y=4，当 x=4 时， y=1， 故选：C 【点评】考查了反比例函数的图象及应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该 类问题的关
18、键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限 11小洋用一张半径为 24cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计） ， 如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为 10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ） A120cm 2 B240cm 2 C260cm 2 D480cm 2 【考点】圆锥的计算 【专题】计算题 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于 圆锥的母线长和扇形的面积公式计算 【解答】解：圆锥的侧面积= 21024=240（cm 2） ， 所以这张扇形纸板的面积为 240cm2 故选 B 【点评】本题
19、考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周 长，扇形的半径等于圆锥的母线长 12如图，在等边ABC 中，BC=6，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DEBC，将ADE 沿 DE 翻折 后，点 A 落在点 A处连结 A A并延长，交 DE 于点 M，交 BC 于点 N如果点 A为 MN 的中点， 那么ADE 的面积为（ ） A B3 C6 D9 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】利用ADE 沿 DE 翻折的特性求出 AM=AM，再由 DEBC，得到 = ，求得 AE，再 求出 AM，利用ADE 的面积 = DEAM 求解 【解答】解：ADE 沿 DE 翻折后
20、，点 A 落在点 A处 AM=AM， 又 A为 MN 的中点， AM=AM=AN， DEAC， = ， ABC 是等边三角形，BC=6， BC=AC， = AE=2， AN 是 ABC 的 BC 边上的高，中线及角平分线， MAE=30， AM= ，ME=1， DE=2， ADE 的面积= DEAM= 2= ， 故选：A 【点评】本题主要考查了三角形的折叠问题上，解题的关键是运用比例求出 AE，再求面积 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，只要求填写最后结果 13若关于 x 的方程 ax24x+3=0 有两个相等的实数根，则常数 a 的值是 【考点】根的判别式 【分析】
21、根据判别式的意义得到=（ 4） 24a3=0，然后求解即可 【解答】解：根据题意得=（ 4） 24a3=0， 解得 a= 故答案为 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方 程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根 14圆内接四边形 ABCD 的内角A ：B：C=2：3：4，则 D= 90 度 【考点】圆内接四边形的性质 【分析】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为 360，从而求得 D 的度数 【解答】解：圆内接四边形的对角互补 A：B： C： D=2：3：4：3 设A=2x，则 B=3x，C=4x，D=3x 2x+
22、3x+4x+3x=360 x=30 D=90 【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为 360的运用 15已知ABCDEF，且相似比为 3：4，S ABC=2cm2，则 SDEF= cm 2 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求 SDEF 的值 【解答】解：ABCDEF，且相似比为 3：4 SABC：S DEF=9：16 SDEF= 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方 16如图，O 的直径 AB=10cm，C 是O 上一点，点 D 平分 ，DE=2cm，则弦 AC= 6cm 【考点】
23、圆周角定理；垂径定理 【分析】由题意可知 OD 平分 BC，OE 为ABC 的中位线，根据直径求出半径，进而求出 OE 的长 度，再根据中位线原理即可解答 【解答】解：点 D 平分 ， OD 平分 BC， OE 为ABC 的中位线， 又O 的直径 AB=10cm， OD=5cm，DE=2cm ， 0E=3cm 则弦 AC=6cm 故答案为 6cm 【点评】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧 17如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值
24、为 0 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】数形结合 【分析】依据抛物线的对称性求得与 x 轴的另一个交点，代入解析式即可 【解答】解：设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q， 抛物线的对称轴是过点（1，0） ，与 x 轴的一个交点是 P （4，0） ， 与 x 轴的另一个交点 Q（ 2，0） ， 把（2， 0）代入解析式得：0=4a 2b+c， 4a2b+c=0， 故答案为：0 【 点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与 x 轴的一个交点和对称轴，能够表示出与 x 轴的另一 个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键 三、解答题：本大题共 8 小题，共 69 分，解答题应写出文字说明、证明过程
25、或演算步骤 18按下列的要求解一元二次方程： （1） （因式分解法）x 2+7x+12=0 （2） （配方法）x 2+4x+1=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -配方法 【专题】计算题 【分析】 （1）利用因式分解法把原方程化为 x+4=0 或 x+3=0，然后解两个一次方程即可； （2）利用配方法得到（x+2） 2=3，然后利用直接开平方法解方程 【解答】解：（1） （x+4） （x+3）=0 ， x+4=0 或 x+3=0， 所以 x1=4，x 2=3； （2）x 2+4x=1， x2+4x+4=3， （x+2） 2=3， x+2= 所以 x1=2+ ，x 2=2
26、【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解 化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方 程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学 转化思想） 也考查了配方法解一元二次方程 19如图，一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于 A（1，6） ， B（a， 2）两点 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出 y1y2 时 x 的取值范围 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】探究型 【分析】 （1）先把 A（1，6）代入反比
27、例函数的解析式求出 m 的值，进而可得出反比例函数的解 析式，再把 B（a ，2）代入反比例函数的解析式即可求出 a 的值，把点 A（1，6） ，B（3，2）代入 函数 y1=kx+b 即可求出 k、b 的值，进而得出一次函数的解析式； （2）根据函数图象可知，当 x 在 A、B 点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的 上方，再由 A、B 两点的横坐标即可求出 x 的取值范围 【解答】解：（1）点 A（1 ，6） ，B （a，2）在 y2= 的图象上， =6，m=6 反比例函数的解析式为：y 2= ， =2，a= =3， 点 A（ 1，6） ， B（3，2）在函数 y1=kx+b
28、的图象上， ， 解这个方程组，得 一次函数的解析式为 y1=2x+8，反比例函数的解析式为 y2= ； （2）由函数图象可知，当 x 在 A、B 之间时一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 点 A（ 1，6） ， B（3，2） ， 1x3 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用数形结合求不等式的解集是解答 此题的关键 20如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30， 然后沿 AD 方向前行 10m，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角高度为 60（A、B、D 三点在同 一直线上） 请你根据他们测量数据计算这棵树
29、CD 的高度（结果精确到 0.1m） （参考数据： 1.414， 1.732） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【专题】几何图形问题 【分析】首先利用三角形的外角的性质求得ACB 的度数，得到 BC 的长度，然后在直角BDC 中， 利用三角函数即可求解 【解答】解：CBD= A+ACB， ACB=CBDA=6030=30， A=ACB， BC=AB=10（米） 在直角BCD 中，CD=BC sinCBD=10 =5 51.732=8.7（米） 答：这棵树 CD 的高度为 8.7 米 【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 21如图，在ABC 中，D
30、 是 AB 上一点，且 ABC=ACD （1）求证：ACD ABC； （2）若 AD=3，AB=7，求 AC 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明ADCACB； （2）根据相似三角形的对应边成比例得出 AC：AB=AD：AC，即 AC2=ABAD，将数值代入计算 即可求出 AC 的长 【解答】 （1）证明：在ADC 与ACB 中， ABC=ACD， A=A， ACDABC； （2）解：ACDABC， AC：AB=AD：AC， AC2=ABAD， AD=2，AB=7， AC2=72=14， AC= 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质
31、，用到的知识点为： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为 两角对应相等，两三角形相似） ； 相似三角形的对应边成比例 22某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 20 元，根据市场调查，在一段时间内，销售单 价是 30 元时，销量是 300 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具，若商场想获得利润 3750 元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的 100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】销售问题 【分析】利用每件利润 销量=3750，进而求出答案即可 【解答】解：设该玩具的销售单价为 x
32、 元，则依题意有：30010（x30） （x20）=3750 化简得 x280x+1575=0 解这个方程得：x 1=35，x 2=45 因为利润不得超过原价的 100%， 所以 x2=45 应舍去 答：该玩具应定价为 35 元 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润等于单件利润乘 以销量，难度不 大 23如图，抛物线经过点 A、 B、C （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线和 x 轴的另一个交点为 D，求ODC 的面积 【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与 x 轴的交点 【专题】计算题 【分析】 （1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式 y=a（x1） 2
33、4，然后把 A 点坐标代入求 出 a 的值即可； （2）利用抛物线的对称性易得 D 点坐标，然后根据三角形面积公式求解 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x1） 24， 把 A（1，0）代入得 a（ 11） 24=0，解得 a=1， 所以抛物线的解析式为 y=（x1） 24； （2）因为抛物线的对称轴为直线 x=1， 则点 A（1，0）关于直线 x=1 的对称点 D 的坐标为（3，0） ， 所以ODC 的面积= 34=6 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要 根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已
34、知抛物线上 三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时， 常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来 求解也考查了二次函数的性质 24如图，AB 为 O 的直径，AD 与O 相切于点 A，DE 与O 相切于点 E，点 C 为 DE 延长线 上一点， 且 CE= CB （1）求证：BC 为O 的切线； （2）若 ，AD=2，求线段 BC 的长 【考点】切线的判定与性质；勾股定理 【专题】计算题 【分析】 （1）因为 BC 经过圆的半径的外端，只要证明 ABBC 即可连接 OE、OC，利用 OBCOEC，得
35、到OBC=90 即可证明 BC 为O 的切线 （2）作 DFBC 于点 F，构造 RtDFC，利用勾股定理解答即可 【解答】 （1）证明：连接 OE、OC CB=CE，OB=OE，OC=OC ， OBCOEC OBC=OEC 又 DE 与O 相切于点 E， OEC=90 OBC=90 BC 为 O 的切线 （2）解：过点 D 作 DFBC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2 AD、DC、BC 分别切O 于点 A、E、B ， DA=DE，CE=CB 设 BC 为 x，则 CF=x2，DC=x+2 在 RtDFC 中， （x+2 ） 2（x2） 2=（2 ） 2，
36、解得 x= BC= 【点评】此题考查了切线的判定和勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形和全等三角形是解 题的关键 25 如图，对称轴为 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）与 x 轴相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐 标为（3，0） （1）求点 B 的坐标 （2）已知 a=1，C 为抛物线与 y 轴的交点 若点 P 在抛物线上，且 SPOC=4SBOC，求点 P 的坐标 设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QDx 轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】 （1） 由抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1
37、，交 x 轴于 A、B 两点，其中 A 点的坐标 为（3， 0） ，根据二次函数的对称性，即可求得 B 点的坐标； （2）a=1 时，先由对称轴为直线 x=1，求出 b 的值，再将 B（1，0）代入，求出二次函数的解 析式为 y=x2+2x3，得到 C 点坐标，然后设 P 点坐标为（x，x 2+2x3） ，根据 SPOC=4SBOC 列出关 于 x 的方程，解方程求出 x 的值，进而得到点 P 的坐标； 先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y=x3，再设 Q 点坐标为（x， x3） ，则 D 点坐标为 （x，x 2+2x3） ，然后用含 x 的代数式表示 QD，根据二次函数的性质即可求
38、出线段 QD 长度的最大 值 【解答】解：（1）对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A、B 两点， A、 B 两点关于直线 x=1 对称， 点 A 的坐标为（ 3，0） ， 点 B 的坐标为（1，0） ； （2）a=1 时，抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1， =1，解得 b=2 将 B（1，0）代入 y=x2+2x+c， 得 1+2+c=0，解得 c=3 则二次函数的解析式为 y=x2+2x3， 抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为（0， 3） ，OC=3 设 P 点坐标为（x，x 2+2x3） ， SPOC=4SBOC， 3|x|=
39、4 31， |x|=4，x=4 当 x=4 时，x 2+2x3=16+83=21； 当 x=4 时，x 2+2x3=1683=5 点 P 的坐标为（4，21）或（ 4，5） ； 设直线 AC 的解析式为 y=kx+t （k0 ）将 A（ 3，0） ，C（0， 3）代入， 得 ，解得 ， 即直线 AC 的解析式为 y=x3 设 Q 点坐标为（x，x 3） （3 x0） ，则 D 点坐标为（x，x 2+2x3） ， QD=（x3）（ x2+2x3）= x23x=（x+ ） 2+ ， 当 x= 时，QD 有最大值 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、 线段长度问题此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想
