1、湖南省衡阳市 2016-2017 学年八年级（上）期末数学试卷(解析 版) 一、精心选一选，旗开得胜（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分.每 道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目 要求的选项填在答题卷上相应题号下的方框内） 1在实数 、3、0、 、3.1415、 、 、2.123122312233 （不 循环）中，无理数的个数为（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 29 的算术平方根是（ ） A3 B3 C3 D 3下列运算正确的是（ ） Aa 2+a3=a5 Ba 2a3=a6 C（a 2b3） 3=a5b6 D（a 2） 3=a
2、6 4如图所示，在下列条件中，不能判断ABDBAC 的条件是（ ） AD= C ，BAD=ABC BBAD=ABC，ABD=BAC C BD=AC，BAD=ABC DAD=BC，BD=AC 5将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A8 、15 、17 B7、24、25 C3、4、5 D2、3、4 6若（x+m ）（ x8）中不含 x 的一次项，则 m 的值为（ ） A8 B8 C0 D8 或 8 7如图，在ABC 中，AB=AC ，A=36，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D，交 AB 于 E，下述结论错误的是（ ） ABD 平分ABC B BCD 的周长等于
3、 AB+BC C AD=BD=BC D点 D 是线段 AC 的中点 8已知AOB，求作射线 OC，使 OC 平分AOB 作法的合理顺序是（ ） 作射线 OC；在 OA 和 OB 上分别截取 OD，OE，使 OD=OE； 分别以 D， E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，在 AOB 内，两弧交于 C A B C D 9下列命题是真命题的是（ ） A如果|a|=1，那么 a=1 B三个内角分别对应相等的两个三角形全等 C如果 a 是有理数，那么 a 是实数 D两边一角对应相等的两个三角形全等 10如图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查，A 表示只知道 父亲生日，B 表示只知道母亲生
4、日， C 表示知道父母两人的生日，D 表示都不知 道，若该班有 40 名学生，则只知道母亲生日的人数有（ ）人 A25% B10 C22 D25 二、细心填一填，一锤定音（本大题共 8 道小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11因式分解：m 2mn= 12如图，AB=AC，要使ABEACD ，应添加的条件是 （添加一个条件 即可） 13如图，一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆 底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是 米 14若 xm=3， xn=2，则 xm+n= 15在 RtABC 中，B=90，若 AB=3，BC=4 ，则斜边 AC 上的高 BD= 16
5、已知：y= ，则 x 的取值范围是 17一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，这个三角形的周长是 18已知：x+ =3，则 x2+ = 三、用心做一做，慧眼识金（本大题共 4 道小题，每小题 6 分，满分 24 分） 19（6 分）计算： +2 20（6 分）先化简，再求值：（x +1） 2（x+1）（x 1），其中 x=1 21（6 分）如图，已知 AEBC ，AE 平分DAC 求证：AB=AC 22（6 分）已知：如图，C 为 BE 上一点，点 A，D 分别在 BE 两侧， ABED，AB=CE，BC=ED，求证：AC=CD 四、综合用一用，马到成功（本大题共 2 道小题，每小题 7
6、分，满分 14 分） 23（7 分）在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研 讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进 行评比初三三班将本班 50 篇学生调查报告得分进行整理（成绩均为整数）， 列出了频率分布表，并画出了频率分布直方图（部分）如下： 分组 频率 49.559.5 0.04 59.569.5 0.04 69.579.5 0.16 79.589.5 0.34 89.599.5 0.42 合计 1.00 根据以上信息回答下列问题： （1）该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告共有 篇； （2）该班被评为优秀等级（80 分及 80
7、分以上）的调查报告占 %； （3）补全频率分布直方图 24（7 分）如图，甲轮船以 16 海里/小时的速度离开港口 O 向东南方向航行， 乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达 B、A 两点，且知 AB=30 海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 五、耐心解一解，再接再厉（本大题共 1 道小题，满分 8 分） 25（8 分）某学校的操场是一个长方形，长为 2x 米，宽比长少 5 米，实施 “阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体 育活动，将操场的长和宽都增加 4 米 （1）求操场原来的面积是多少平方米（用代数式表示）？ （2）若 x=20
8、，求操场面积增加后比原来多多少平方米？ 六、探究试一试，超越自我（本大题共 2 道小题，每小题 10 分，满分 20 分） 26（10 分）如图，在等腰 RtABC 中，C=90，D 是斜边上 AB 上任一点， AE CD 于 E，BFCD 交 CD 的延长线于 F，CHAB 于 H 点，交 AE 于 G （1）试说明 AH=BH （2）求证：BD=CG （3）探索 AE 与 EF、BF 之间的数量关系 27（10 分）如图所示，在长方形 ABCD 中，AB=6 厘米，BC=12 厘米，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 1 厘米/ 秒的速度移动，点 Q 沿 BC 从点 B 开始向
9、点 C 以 2 厘米/ 秒的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用 t（秒）表示移动的时间 （0t6 ） （1）当 PB=2 厘米时，求点 P 移动多少秒？ （2）t 为何值时， PBQ 为等腰直角三角形？ （3）求四边形 PBQD 的面积，并探究一个与计算结果有关的结论 2016-2017 学年湖南省衡阳市八年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、精心选一选，旗开得胜（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分.每 道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目 要求的选项填在答题卷上相应题号下的方框内） 1在实数 、3、0、 、3.1415、 、
10、、2.123122312233 （不 循环）中，无理数的个数为（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【考点】无理数 【分析】根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数， 含有 的数，找出无理数的个数 【解答】解： =1， =12， 所给数据中无理数有： ， ，2.123122312233（不循环）共 4 个 故选 C 【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式： 开方开不尽的数，无限不循环小数，含有 的数 29 的算术平方根是（ ） A3 B3 C3 D 【考点】算术平方根 【分析】根据开方运算，可得一个正数的算术平方根 【解答】解：9 的算术平方
11、根是 3 故选：A 【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根 3下列运算正确的是（ ） Aa 2+a3=a5 Ba 2a3=a6 C（a 2b3） 3=a5b6 D（a 2） 3=a6 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法 【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项进行计 算即可 【解答】解：A、a 2 与 a3 不是同类项不能合并，故本选项错误； B、应为 a2a3=a5，故本选项错误； C、应为（a 2b3） 3=a6b9，故本选项错误； D、（a 2） 3=a6，正确； 故选 D 【点评】本题主要考查了幂的乘方法则：底数不变指数相
12、乘；同底数幂的乘法 法则：底数不变指数相加；同类项的概念：所含字母相同，相同字母的指数也 相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并 4如图所示，在下列条件中，不能判断ABDBAC 的条件是（ ） AD= C ，BAD=ABC BBAD=ABC，ABD=BAC C BD=AC，BAD=ABC DAD=BC，BD=AC 【考点】全等三角形的判定 【分析】本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等 或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，必须是这边和 公共边的夹角对应相等，只有符合以上条件，才能根据三角形全等判定定理得 出结论 【解答】解：A、符合 AAS，能判断
13、ABDBAC； B、符合 ASA，能判断ABDBAC ； C、符合 SSA，不能判断ABDBAC ； D、符合 SSS，能判断 ABDBAC 故选 C 【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等判定定理中，最易出 错的是“边角边 ”定理，这里强调的是夹角，不是任意一对角 5将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A8 、15 、17 B7、24、25 C3、4、5 D2、3、4 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可 【解答】解：A、8 2+152=172，能构成直角三角形，故本选项错误； B、7 2+242=252，能构
14、成直角三角形，故本选项错误； C、 3 2+42=52，能构成直角三角形，故本选项错误； D、2 2+324 2，不能构成直角三角形，故本选项正确 故选 D 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 a，b ，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键 6若（x+m ）（ x8）中不含 x 的一次项，则 m 的值为（ ） A8 B8 C0 D8 或 8 【考点】多项式乘多项式 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开式子，并合并，不含 x 的一次项就 是含 x 项的系数等于 0，求解即可 【解答】解：（x+m）（ x8）=x 28x+mx8m=x
15、2+（m8）x8m， 又结果中不含 x 的一次项， m8=0， m=8 故选：A 【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据不含某一项就是说这一项 的系数等于 0 得出是解题关键 7如图，在ABC 中，AB=AC ，A=36，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D，交 AB 于 E，下述结论错误的是（ ） ABD 平分ABC B BCD 的周长等于 AB+BC C AD=BD=BC D点 D 是线段 AC 的中点 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质 【分析】由在ABC 中，AB=AC，A=36，根据等边对等角与三角形内角和定 理，即可求得ABC 与C 的度数，又由 AB 的
16、垂直平分线是 DE，根据线段垂 直平分线的性质，即可求得 AD=BD，继而求得ABD 的度数，则可知 BD 平分 ABC；可得BCD 的周长等于 AB+BC，又可求得BDC 的度数，求得 AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用 【解答】解：在ABC 中，AB=AC，A=36， ABC=C= =72， AB 的垂直平分线是 DE， AD=BD， ABD=A=36， DBC=ABCABD=7236=36=ABD， BD 平分ABC ，故 A 正确； BCD 的周长为：BC+CD+BD=BC+CD +AD=BC+AC=BC+AB，故 B 正确； DBC=36，C=72， BDC
17、=180DBCC=72， BDC=C， BD=BC， AD=BD=BC ，故 C 正确； BDCD， ADCD ， 点 D 不是线段 AC 的中点，故 D 错误 故选 D 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内 角和定理等知识此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合 思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换 8已知AOB，求作射线 OC，使 OC 平分AOB 作法的合理顺序是（ ） 作射线 OC；在 OA 和 OB 上分别截取 OD，OE，使 OD=OE； 分别以 D， E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，在 AOB 内，两弧交于 C A B C
18、 D 【考点】作图基本作图 【分析】找出依据即可依此画出 【解答】解：角平分线的作法是：在 OA 和 OB 上分别截取 OD，OE，使 OD=OE； 分别以 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，在 AOB 内，两弧交于 C； 作射线 OC 故其顺序为 故选 C 【点评】本题很简单，只要找出其作图依据便可解答 9下列命题是真命题的是（ ） A如果|a|=1，那么 a=1 B三个内角分别对应相等的两个三角形全等 C如果 a 是有理数，那么 a 是实数 D两边一角对应相等的两个三角形全等 【考点】命题与定理 【分析】根据绝对值的性质，三角形全等的判定方法，对各选项分析判断即可 得解 【解答】
19、解：A、如果|a| =1，那么 a=1，是假命题，应为：如果|a|=1 ，那么 a=1，故本选项错误； B、三个内角分别对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误； C、如果 a 是有理数，那么 a 是实数，是真命题，故本选项正确； D、两边一角对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误 故选 C 【点评】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做 假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 10如图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查，A 表示只知道 父亲生日，B 表示只知道母亲生日， C 表示知道父母两人的生日，D 表示都不知 道，若该班有 4
20、0 名学生，则只知道母亲生日的人数有（ ）人 A25% B10 C22 D25 【考点】扇形统计图 【分析】因为 B 表示只知道母亲生日，所以只知道母亲生日的人数所占百分比 为 25%，又因为该班有 40 名学生，则只知道母亲生日的人数可求 【解答】解：只知道母亲生日的人数所占百分比为 25%， 只知道母亲生日的人数为 4025%=10（人） 故选 B 【点评】本题考查扇形统计图及相关计算扇形统计图是用整个圆表示总数， 用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数通过扇形统计图可以 很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系 二、细心填一填，一锤定音（本大题共 8 道小题，每小题 3 分，满
21、分 24 分） 11因式分解：m 2mn= m（mn ） 【考点】因式分解-提公因式法 【分析】提取公因式 m，即可将此多项式因式分解 【解答】解：m 2mn=m（mn ） 故答案为：m（mn） 【点评】此题考查了提公因式分解因式的知识此题比较简单，注意准确找到 公因式是解此题的关键 12如图，AB=AC，要使ABEACD ，应添加的条件是 B=C 或 AE=AD （添加一个条件即可） 【考点】全等三角形的判定 【分析】要使ABEACD ，已知 AB=AC，A=A，则可以添加一个边从而 利用 SAS 来判定其全等，或添加一个角从而利用 AAS 来判定其全等 【解答】解：添加B=C 或 AE=A
22、D 后可分别根据 ASA、SAS 判定ABE ACD 故答案为：B=C 或 AE=AD 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA、AAS 、HL添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等， 不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键 13如图，一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆 底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是 8 米 【考点】勾股定理的应用 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求 出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度 【解答】解：一棵垂直于地
23、面的大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离 树杆底部 4 米处， 折断的部分长为 =5， 折断前高度为 5+3=8（米） 故答案为 8 【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中 的运用能力 14若 xm=3， xn=2，则 xm+n= 6 【考点】同底数幂的乘法 【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可得答案 【解答】解：x mxn=xm+n=32=6， 故答案为：6 【点评】本题考察了同底数幂的乘法，注意底数不变，指数相加 15在 RtABC 中，B=90，若 AB=3，BC=4 ，则斜边 AC 上的高 BD= 2.4 【考点】勾股定理 【分析】根据
24、勾股定理即可求 AC 的长度，根据面积法即可求 BD 的长度 【解答】解：在 RtABC 中，B=90，若 AB=3，BC=4， AC= =5， ABC 的面积 S= ABBC= ACBD 解得 BD= =2.4， 故答案为 2.4 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积 的计算，本题中正确的计算 AC 的长是解题的关键 16已知：y= ，则 x 的取值范围是 x 1 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据被开方数大于等于 0 列不等式求解即可 【解答】解：由题意得，x10， 解得 x1 故答案为：x1 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
25、（1）当函数表 达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式 的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 17一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，这个三角形的周长是 17 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题 目给出等腰三角形有两条边长为 3 和 7，而没有明确腰、底分别是多少，所以 要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 【解答】解：（1）若 3 为腰长，7 为底边长， 由于 3+37 ，则三角形不存在； （2）若 7 为腰长，则符合三角形的两边之和
26、大于第三边 所以这个三角形的周长为 7+7+3=17 故答案为：17 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面 考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边 长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的 舍去 18已知：x+ =3，则 x2+ = 7 【考点】完全平方公式 【分析】根据完全平方公式解答即可 【解答】解：x+ =3， （x+ ） 2=x2+2+ =9， x 2+ =7， 故答案为：7 【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键 三、用心做一做，慧眼识金（本大题共 4 道小题，每小题 6 分
27、，满分 24 分） 19计算： +2 【考点】实数的运算 【分析】原式利用算术平方根、立方根定义计算即可得到结果 【解答】解：原式=53+1=3 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20先化简，再求值：（x +1） 2（x+1）（x1），其中 x=1 【考点】整式的混合运算化简求值 【分析】先化简题目中的式子，然后将 x=1 代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解：（x+1） 2（x+1）（x1） =x2+2x+1x2+1 =2x+2， 当 x=1 时，原式=2 1+2=4 【点评】本题考查整式的混合运算化简求值，解题的关键是明确整式的混合运 算的计算方法 21如图
28、，已知 AEBC ，AE 平分DAC 求证：AB=AC 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定 【分析】根据角平分线的定义可得1=2，再根据两直线平行，同位角相等可 得1=B，两直线平行，内错角相等可得2= C，从而得到B=C，然后 根据等角对等边即可得证 【解答】证明：AE 平分 DAC， 1=2， AE BC， 1=B，2=C， B= C， AB=AC 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，是基础题，熟记性质 是解题的关键 22已知：如图，C 为 BE 上一点，点 A，D 分别在 BE 两侧， ABED，AB=CE，BC=ED，求证：AC=CD 【考点】
29、全等三角形的判定与性质 【分析】由全等三角形的判定定理 SAS 证得ABCCED，则该全等三角形的 对应边相等，即 AC=CD 【解答】证明：如图，ABED， ABC=CED 在ABC 与CED 中， ， ABCCED（SAS）， AC=CD 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质此题是利用平行四边形的性质 结合三角形全等来解决有关线段相等的证明 四、综合用一用，马到成功（本大题共 2 道小题，每小题 7 分，满分 14 分） 23在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研讨活动， 活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评 比初三三班将本班 50 篇
30、学生调查报告得分进行整理（成绩均为整数），列 出了频率分布表，并画出了频率分布直方图（部分）如下： 分组 频率 49.559.5 0.04 59.569.5 0.04 69.579.5 0.16 79.589.5 0.34 89.599.5 0.42 合计 1.00 根据以上信息回答下列问题： （1）该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告共有 21 篇； （2）该班被评为优秀等级（80 分及 80 分以上）的调查报告占 76 %； （3）补全频率分布直方图 【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表 【分析】（1）由频率分布表可知：该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告的频 率
31、=0.42，则由总数=频数该组的频率可知：该班 90 分以上（含 90 分）的调 查报告的频数=总数该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告的频数 =500.42=21； （2）由频率分布表可知：80 分及 80 分以上的调查报告的频率为 0.34+0.42=0.76，则该班被评为优秀等级（80 分及 80 分以上）的调查报告占 0.761=76%； （3）59.5 69.5 段的频率为 0.04，49.559.5 段的频率也为 0.04，则第一组和第二 组小长方形的高是相等的；据此可以绘制直方图 【解答】解：（1）该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告的频率=0.42 ， 90 分
32、以上（含 90 分）的调查报告的频数=50 0.42=21； （2）80 分及 80 分以上的调查报告的频率为 0.34+0.42=0.76，则该班被评为优 秀等级（80 分及 80 分以上）的调查报告占 0.761=76%； （3）图如右边： 【点评】本题考查频率及频数的计算，记住公式：频率=频数总人数是解决本 题的关键同时还考查了动手绘制频率直方图的能力 24如图，甲轮船以 16 海里/小时的速度离开港口 O 向东南方向航行，乙轮船 同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达 B、A 两 点，且知 AB=30 海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 【考点】勾股定理的应用 【
33、分析】根据题目提供的方位角判定 AOBO，然后根据甲轮船的速度和行驶 时间求得 OB 的长，利用勾股定理求得 OA 的长，除以时间即得到乙轮船的行驶 速度 【解答】解：甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行， AOBO， 甲轮船以 16 海里/小时的速度航行了一个半小时， OB=161.5=24 海里， AB=30 海里， 在 RtAOB 中，AO= = =18， 乙轮船航行的速度为：181.5=12 海里 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据题目提供的方位 角判定直角三角形 五、耐心解一解，再接再厉（本大题共 1 道小题，满分 8 分） 25某学校的操场是一个长方形，长
34、为 2x 米，宽比长少 5 米，实施“阳光体育” 行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将 操场的长和宽都增加 4 米 （1）求操场原来的面积是多少平方米（用代数式表示）？ （2）若 x=20，求操场面积增加后比原来多多少平方米？ 【考点】列代数式；代数式求值 【分析】（1）根据等式“操场原来的面积=操场的长 宽” 列出代数式即可； （2）根据等式“操场增加的面积=（操场的原来的长 +4）（操场原来的宽+4） 操场原来的面积” 列出代数式，再把 x=20 代入即可求出 【解答】解：（1）根据题意得：操场原来的面积=2x（2x5）； （2）根据题意：操场增加的面积=（
35、2x +4）（2x5 +4） 2x（2x5）=16x 4； 则 x=20 时，16x4=316 答：操场面积增加后比原来多 316 平方米 【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系 六、探究试一试，超越自我（本大题共 2 道小题，每小题 10 分，满分 20 分） 26（10 分）（2016 秋衡阳期末）如图，在等腰 RtABC 中，C=90，D 是 斜边上 AB 上任一点，AECD 于 E，BFCD 交 CD 的延长线于 F，CHAB 于 H 点，交 AE 于 G （1）试说明 AH=BH （2）求证：BD=CG （3）探索 AE 与 EF、BF 之间的数量关系 【考点】全等
36、三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明； （2）证明ACGCBD ，根据全等三角形的性质证明； （3）证明ACE CBF 即可 【解答】证明：（1）AC=BC，CHAB， AH=BH； （2）ABC 为等腰直角三角形， CHAB， ACG=45， CAG +ACE=90，BCF+ACE=90， CAG=BCF， 在ACG 和CBD 中， ， ACG CBD（ASA）， BD=CG； （3）AE=EF+BF， 理由如下：在ACE 和 CBF 中， ， ACE CBF， AE=CF，CE=BF， AE=CF=CE+ EF=BF+EF 【点评】本题考查的是全等
37、三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理 和性质定理是解题的关键 27（10 分）（2016 秋衡阳期末）如图所示，在长方形 ABCD 中，AB=6 厘米， BC=12 厘米，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动，点 Q 沿 BC 从点 B 开始向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用 t（秒） 表示移动的时间（0t 6） （1）当 PB=2 厘米时，求点 P 移动多少秒？ （2）t 为何值时， PBQ 为等腰直角三角形？ （3）求四边形 PBQD 的面积，并探究一个与计算结果有关的结论 【考点】四边形综合题 【分析】（1）由 AB
38、、PB 的长可求得 AP 的长，则可求得 t 的值； （2）根据等腰直角三角形的性质可求得 PB=BQ，则可得到关于 t 的方程，可求 得 t 的值； （3）可用 t 分别表示出 SAPD 、S QCD ，再利用面积的和差可求得四边形 PBQD 的面积，则可求得结论 【解答】解： （1）PB=2cm，AB=6cm， AP=ABPB=62=4（秒）， 即点 P 移动 4 秒； （2）PBQ 为等腰直角三角形， PB=BQ，即 6t=2t，解得 t=2 当 t 的值为 2 秒时， PBQ 为等腰直角三角形； （3）由题意可知 AP=t， AB=6，BQ=2t，BC=12 ， PB=6t，QC=122t，CD=6，AD=12， S APD = APAD= t12=6t，S QCD = QCCD= （ 122t）6=366t， S 四边形 PBQD=S 矩形 ABCDSAPD SQCD =726t（36 6t）=36 ， 结论：不论 P、Q 怎样运动总有四边形 PBQD 的面积等于长方形 ABCD 面积的一 半 【点评】本题为四边形的综合应用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、 方程思想及转化思想用 t 表示出相应线段的长度，化动为静是解决这类运动 型问题的一般思想本题考查知识点不是太多，难度不大
