1、闸北区 2010 学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷答案 2011.1 一、12； 2； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ；2x31ba41 7 ； 824； 9 ； 10 .35 0|3,2 二、 11C 12D 13B. 三、14解：（1） 【解一】 ， ，)3,4(AO)3,4(bA 若 ，则 25b),1( 分 所以， ， .2 分0|cosB 所以， .2 分.541s2A 【解二】 .2 分)c( .2 分oO .2 分54sB 综上所述， 2 分)2,4(b （2） 【解一】若 为锐角，则 ，即 ，得 .2 分A0A09164b425b 若 为锐角，则 ，即 ，得 或 .2 分
2、B0BO)(b 若 为锐角，则 ，即 ，得 .2O4 分 综上所述， 2 分)425,(b 【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分 15解：（1）如图，作 ，则由已知，得 ，.2ABDE2,1EBADE 分 所以， .4 分.3212132V （2） 【解一】如图所示，以 为原点，分别以线段 、 所在的直线为 轴、 轴，BCxz 通过 点，做垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系.1BABCy 分 由题意，得 ， ， ， ， 2)2,0(),1(D)0,sin(co )2,sin(co D 分 ， ),sin(co AD)2,i1( C 若 ，则 ，. .4C0sin(co2 分 得
3、 ，与 矛盾， . .123cos1cos 分 故，不存在 ，使得 . .1 分DCA 【解二】取 的中点 ，连 ， ，则 （或其补角）就是异面直线BE EC 所成的角 DCA与 . .1 分 在 中， ， ， .3 分261B.cos2s2 . .2 分.cos5)cos1(22 ，. .2 分023cos 2 DCECEDC 故，不存在 ，使得 . .1 分A 16解：（1）由题意可知，当 时， （万件） ，由 可得 0x1m13xk2 所以 .3 分123xm 由题意，有 ，解得 x 所以，则该产品年促销费用最少是 1 万元 .4 分 （2）由题意，有每件产品的销售价格为 （元） ，m6
4、85. 所以，2011 年的利润 )(. xmyx84)123( .4 分6x 因为 ， ，0x8)1(6x 所以 ， 4 分2192 y 当且仅当 ，即 （万元）时，利润最大为 21 万元1 分1x3 17解：（1）偶函数；.1 分 最大值为 、最小值为 0；.1 分38 单调递增区间： 单调递减区间： ；.1 分;,0,1 零点： .1 分x 单调区间证明： 当 时，1,0.3)(xf 设 ， ，2， 21 )3()3()( 212121 xxxff )31)(221 xx 证明 在区间 上是递增函数,0 由于函数 是单调递增函数，且 恒成立，xy0 所以 ， ，321x 321x0)(f
5、f 所以， 在区间 上是增函数.4 分), 证明 在区间 上是递减函数x 【证法一】因为 在区间 上是偶函数)(f1, 对于任取的 ， ，有0,21， 2x021x)()(11 fxf 所以， 在区间 上是减函数 4 分x, 【证法二】设 ，由 在区间 上是偶函数，得,.3)()xff 以下用定义证明 在区间 上是递减函数 4 分f0,1 （2）设 ， ，Rx)(1)()()2xfff 所以，2 是 周期 4 分)( 当 时， ，,1k,x 所以 .4 分.3)(22kxkfff 18解：（1） 【解一】由 得，)0,(11 nbbnn (1nnb 又 ， ， 121a0a 所以， 是首项为
6、1，公比为 的等比数列， .5 分1na 由 ，得)()()( 123nn bb1nb 所以，当 时， .62 .1,11 n 分 上式对 显然成立11n 分 【解二】猜测 ，并用数学归纳法证明 .51na 分 的求法如【解一】 7 分nb 【解三】猜测 ，并用数学归纳法证明 .7 .1,11 nn 分 5 分1-1nba （2）当 时， 不是 与 的等差中项，不合题意；.113b69 分 当 时，由 得 ，20258 由 得 （可解得 ）2 分00363 对任意的 ， 是 与 的等差中项 .2 分*Nnnb36n 证明： ， )(1363b ， .3 分2nn 即，对任意的 ， 是 与 的等
7、差中项*b36n 闸北区 2010 学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷答案 2011.1 一、12； 2； 3 ； 4 ； 5 ； 2)0(2x31 6 ；ba43 7 ； 824； 9 ； 10 ；5 012|xx,21 二、 11C 12D13B. 三、14解：（1） 【解一】 ， ，)3,4(AO)3,4(bAB 若 ，则 .2 分5b 所以， ， .2 分10|cosB 所以， .3 分.54s2A 【解二】 .2 分)c( .2 分oO .3 分54sB （2） 【解一】若 为钝角，则 ，.3A0A 分 即 ，.2 分09164b 解得 ，故， 225),42( 分 【解二】用
8、平面几何或解析几何的方法同样给分 15解：（1）如图，作 ，则由已知，得 ，.2ABDE2,2EBADE 分 所以， .4 分.32162231V （2）连接 ，有 ， ，.3 分CD， ADcos82 C 由题意，得 ， .222 分 即 .2 分1cos8 ， 2 .2）（ 或 03 分 16解：（1）由题意，有 ， .3213xm 分 解得 x 所以，则该产品年促销费用最少是 1 万元 .4 分 （2）由题意，有每件产品的销售价格为 （元） ，m685. 所以，2011 年的利润 )(. xmyx84)123( .4 分6x 因为 ， ，0x8)1(6x 所以 ， 4 分2192 y 当
9、且仅当 ，即 （万元）时，利润最大为 21 万元1 分1x3 17解：（1）偶函数； .1 分 最大值为 2、最小值为 0； .1 分 单调递增区间： ，单调递减区间： .1 分,;1,0 零点： .1x 分 单调区间证明： 当 时，1,0.2)(xf 设 ， ， ，2x， 110)2)()()( 121221 xxf 所以， 在区间 上是递减函数 .4 分, 以下证明 在区间 上是递增函数f0, 【证明一】因为 在区间 上是偶函数)(x1 对于任取的 ， ，有0,121x， 2x021x)()()(1fffxf 所以， 在区间 上是递增函数 .4 分, 【证法二】设 ，由 在区间 上是偶函数
10、，得 ,.2)()xff 以下用定义证明 在区间 上是递增函数 4 分f0,1 （2）设 ， ，Rx)(1)()() xfff 所以，2 是 周期 4 分)( 当 时， ，2,1k,x 所以 4 分).1()2()2()()( 2 kkkff 18解：（1）由 得，0,11 qnaqann ，即 (nqab 又 ， ， 21b0 所以， 是首项为 1，公比为 的等比数列5 分 （2）由（1）有， nb)()()( 12312 nn aaaq 所以，当 时， 6 分 .1,1qnn 上式对 显然成立1 分1n （3） 符合题意；2q 分 若 ，1nq 2 分0)1)(qn 或 ,.,1qn 解得： 3 分)2,(0q 综上， 1 分
