1、2017-2018 学年湖北省随州市随县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分每小题给出的四个选项中， 只有个是正确的） 1 （3 分）下列图形中，轴对称图形的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 2 （3 分）若等腰三角形的两边长分别是 3 和 10，则它的周长是（ ） A16 B23 C16 或 23 D13 3 （3 分）下列运算中正确的是（ ） A （a 2） 3=a5 Ba 2a3=a5 Ca 6a2=a3 Da 5+a5=2a10 4 （3 分）下列分式与分式 相等的是（ ） A B C D 5 （3 分）如果方程 有增根，那么
2、m 的值为（ ） A1 B2 C3 D无解 6 （3 分）在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（ab） （如图甲） ，把 余下的部分拼成一个矩形（如图乙） ，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验 证（ ） A （a +b） 2=a2+2ab+b2 B （a b） 2=a22ab+b2 C a2b2=（a +b） （ab） D （a+2b） （ ab）=a 2+ab2b2 7 （3 分）ABC 的三边长分别 a，b，c，且 a+2ab=c+2bc，则ABC 是（ ） A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 8 （3 分）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬
3、的纳米材料，同时还是导电性最好的 材料，其理论厚度仅 0.000 000 000 034 米，将这个数用科学记数法表示为（ ） 米 A0.34 109 B3.410 9 C3.410 10 D3.4 1011 9 （3 分）如图，Rt ABC 中，C=90 ，AD 平分BAC ，交 BC 于点 D，AB=10，S ABD=15，则 CD 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 10 （3 分）已知关于 x 的分式方程 + =1 的解是非负数，则 m 的取值范围是（ ） Am 2 Bm2 Cm2 且 m3 Dm2 且 m3 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 （3
4、 分）若 x2+2（m3）x+16 是一个完全平方式，那么 m 应为 12 （3 分）若 2x=3，4 y=5，则 2x2y 的值为 13 （3 分）如图，在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，交 AB 于 点 E若DBC=33，A 的度数为 14 （3 分）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引 10 条对角线，则它是 边形 15 （3 分）如图，把ABC 沿 EF 对折，折叠后的图形如图所示若A=60，1=96， 则2 的度数为 16 （3 分）观察下列式：（x 21）（x1）=x +1； （x 31）（x 1）=x 2+x+1； （x 41）（x 1）
5、=x 3+x2+x+1； （x 51）（x 1）=x 4+x3+x2+x+1 （x 71）（x1）= ； 根据的结果，则 1+2+22+23+24+25+26+27= 三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分） 17 （8 分） （1）计算：2x （x4）+3（x1） （x+3） ； （2）分解因式：x 2y+2xy+y 18 （8 分）解分式方程： （1） = ； （2） 1= 19 （6 分）先化简，再求值： （1+ ） ，其中 x=4 20 （8 分）如图，已知ABC，CAE 是ABC 的外角，在下列三项中： AB=AC；AD 平分CAE；ADBC选择两项为题设，另一项为结论，组成一
6、 个真命题，并证明 21 （7 分）如图，点 E 在 AD 上，ABC 和BDE 都是等边三角形猜想： BD、CD、AD 三条线段之间的关系，并说明理由 22 （8 分）如图，已知 A（ 2，4） ，B（4，2） ，C（2，1） （1）作ABC 关于 x 轴的对称图形 A 1B1C1，写出点 C 关于 x 轴的对称点 C1 的坐标； （2）P 为 x 轴上一点，请在图中找出使PAB 的周长最小时的点 P 并直接写出此时点 P 的坐标（保留作图痕迹） 23 （8 分）甲、乙两个工程队计划修建一条长 15 千米的乡村公路，已知甲工程队每天 比乙工程队每天多修路 0.5 千米，乙工程队单独完成修路任
7、务所需天数是甲工程队 单独完成修路任务所需天数的 1.5 倍 （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）若甲工程队每天的修路费用为 0.5 万元，乙工程队每天的修路费用为 0.4 万元， 要使两个工程队修路总费用不超过 5.2 万元，甲工程队至少修路多少天？ 24 （9 分）已知，如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=18cm动点 P 从点 A 出发，沿 AB 向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 向点 C 运动，如果动点 P 以 2cm/s，Q 以 1cm/s 的速度同时出发，设运动时间为 t（s） ，解答下列问题： （1）t 为 时，PBQ 是等边三角
8、形？ （2）P ，Q 在运动过程中，PBQ 的形状不断发生变化，当 t 为何值时，PBQ 是直角 三角形？说明理由 25 （10 分）已知，如图 1，在ABC 中，A 是锐角，AB=AC，点 D，E 分别在 AC，AB 上，BD 与 CE 相交于点 O，且DBC=ECB= A （1）写出图 1 中与A 相等的角，并加以证明： （2）判断 BE 与 CD 之间的数量关系，并说明理由 小刚通过观察度量，找到了A 相等的角，并利用三角形外角的性质证明了结论的正 确性；他又利用全等三角形的知识，得到了 BE=CD 小刚继续思考，提出新问题：如果 ABAC ，其他条件不变，那么上述结论是否仍然成 立？小
9、刚画出图 2，通过分析得到猜想：当 ABAC 时，上述结论仍然成立，小组同 学又通过讨论，形成了证明第（2）问结论的几种想法： 想法 1：在 OE 上取一点 F，使得 OF=OD，故OBFOCD，欲证 BE=CD，即证 BE=BF 想法 2：在 OD 的延长线上取一点 M，使得 OM=OE，故OBEOCM，欲证 BE=CD， 即证 CD=CM 想法 3：分别过点 B，C 作 OE 和 OD 的垂线段 BP，CQ，可得OBPOCQ，欲证 BE=CD，即证 BEP CDQ 请你参考上面的材料，解决下列问题： （1）直接写出图 2 中与A 相等的一个角； （2）请你在图 2 中，帮助小刚证明 BE=
10、CD （一种方法即可） 2017-2018 学年湖北省随州市随县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分每小题给出的四个选项中， 只有个是正确的） 1 （3 分）下列图形中，轴对称图形的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解 【解答】解：第 1 个不是轴对称图形； 第 2 个是轴对称图形； 第 3 个是轴对称图形； 第 4 个不是轴对称图形； 故选：B 【点评】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分折叠后可重合 2 （3 分）若等腰三角形的两边
11、长分别是 3 和 10，则它的周长是（ ） A16 B23 C16 或 23 D13 【分析】本题没有明确已知的两边的具体名称，要分为两种情况即：3 为底，10 为 腰；10 为底，3 为腰，可求出周长注意：必须考虑三角形的三边关系进行验证 能否组成三角形 【解答】解：等腰三角形的两边分别是 3 和 10， 应分为两种情况：3 为底，10 为腰，则 3+10+10=23； 10 为底，3 腰，而 3+310，应舍去， 三角形的周长是 23 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；题目从边的方面考查三角 形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，
12、 而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去 3 （3 分）下列运算中正确的是（ ） A （a 2） 3=a5 Ba 2a3=a5 Ca 6a2=a3 Da 5+a5=2a10 【分析】利用同底数幂的除法与乘方，幂的乘方与积的乘方及合并同类项的法则求解 即可 【解答】解：A、 （a 2） 3=a6，故本选项错误； B、a 2a3=a5，故本选项正确； C、 a6a2=a4，故本选项错误； D、a 5+a5=2a5，故本选项错误 故选：B 【点评】本题主要考查了同底数幂的除法与乘方，幂的乘方与积的乘方及合并同类项， 解题的关键是熟记同底数幂的除法与乘方，幂的乘方与积的乘方及合并
13、同类项的法 则 4 （3 分）下列分式与分式 相等的是（ ） A B C D 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数或（整式） ，结果不变， 可得答案 【解答】解：A、分子乘以 2y，分母乘以 x，故 A 错误； B、分子分母都乘以 x，故 B 正确； C、分子除以 2，分母乘以 2，故 C 错误； D、分子、分母、分式改变其中的任意两项的符号，结果不变，故 D 错误； 故选：B 【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数 或（整式） ，结果不变，注意分子、分母、分式改变其中的任意两项的符号，结果不 变 5 （3 分）如果方程 有增根，那么 m
14、 的值为（ ） A1 B2 C3 D无解 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可 能值，让最简公分母（x 3）=0，得到 x=3，然后代入化为整式方程的方程算出 m 的 值 【解答】解：方程两边都乘（x3） ， 得 x=3m 原方程有增根， 最简公分母（x3）=0， 解得 x=3 m= x=1， 故选：A 【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为 0 确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的 值 6 （3 分）在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（ab） （如图甲） ，把 余下的部
15、分拼成一个矩形（如图乙） ，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验 证（ ） A （a +b） 2=a2+2ab+b2 B （a b） 2=a22ab+b2 C a2b2=（a +b） （ab） D （a+2b） （ ab）=a 2+ab2b2 【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是 a 的正方形的面积减去边长 是 b 的小正方形的面积，等于 a2b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a +b） ，宽是 （a b）的长方形，面积是（a+b） （a b） ；这两个图形的阴影部分的面积相等 【解答】解：图甲中阴影部分的面积=a 2b2，图乙中阴影部分的面积= （a+b） （a b） ，
16、 而两个图形中阴影部分的面积相等， 阴影部分的面积=a 2b2=（a+b ） （ab） 故选：C 【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式即两个数的和与这两个数的差的积等于 这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式 7 （3 分）ABC 的三边长分别 a，b，c，且 a+2ab=c+2bc，则ABC 是（ ） A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 【分析】对已知条件进行化简后得到 a=c，根据等腰三角形的概念，判定ABC 是等腰 三角形 【解答】解：整理 a+2ab=c+2bc 得， （a c） （1+2b）=0， a=c，b= （舍去） ， ABC 是等腰三角形 故选：
17、B 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；由 a+2ab=c+2bc 得到 a=c 是本题的关键 8 （3 分）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的 材料，其理论厚度仅 0.000 000 000 034 米，将这个数用科学记数法表示为（ ） 米 A0.34 109 B3.410 9 C3.410 10 D3.4 1011 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较 大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为 零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000 000 000 034=3.4
18、1011 故选：D 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 9 （3 分）如图，Rt ABC 中，C=90 ，AD 平分BAC ，交 BC 于点 D，AB=10，S ABD=15，则 CD 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】过点 D 作 DEAB 于 E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=CD，然后利用ABD 的面积列式计算即可得解 【解答】解：如图，过点 D 作 DEAB 于 E， C=90， AD 平分BAC， DE=CD， S ABD = ABDE= 10D
19、E=15， 解得 DE=3 故选：A 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟 记性质是解题的关键 10 （3 分）已知关于 x 的分式方程 + =1 的解是非负数，则 m 的取值范围是（ ） Am 2 Bm2 Cm2 且 m3 Dm2 且 m3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出 x，根据方程的解 为非负数求出 m 的范围即可 【解答】解：分式方程去分母得：m 3=x1， 解得：x=m 2， 由方程的解为非负数，得到 m20 ，且 m21， 解得：m2 且 m3 故选：C 【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为 0 这个条
20、件 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 （3 分）若 x2+2（m3）x+16 是一个完全平方式，那么 m 应为 1 或 7 【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是 x 和 4 的平方，那么中间项为加 上或减去 x 和 4 的乘积的 2 倍，故 2（m 3）= 8，解得 m 的值即可 【解答】解：由于（x4 ） 2=x28x+16=x2+2（m3）x +16， 2（m3）=8， 解得 m=1 或 m=7 故答案为：1；7 【点评】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减 去它们乘积的 2 倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出
21、中间项的代数式，列出 相应等式，进而求出相应数值 12 （3 分）若 2x=3，4 y=5，则 2x2y 的值为 【分析】所求式子中有 22y，根据所给条件可得 22y 的值，所求式子中的指数是相减的 关系，那么可整理为同底数幂相除的形式 【解答】解：4 y=5， 2 2y=5， 2 x2y=2x22y= 故答案为 【点评】考查同底数幂相除法则的灵活运用；用到的知识点为：一个幂的指数是相减 的形式，那么可分解为同底数幂相除的形式 13 （3 分）如图，在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，交 AB 于 点 E若DBC=33，A 的度数为 38 【分析】设A 的
22、度数为 x，根据线段的垂直平分线的性质得到 DB=DA，用 x 表示出 ABC、C 的度数，根据三角形内角和定理列式计算即可 【解答】解：设A 的度数为 x， MN 是 AB 的垂直平分线， DB=DA， DBA=A=x ， AB=AC， ABC=C=33 +x， 33+x+33 +x+x=180， 解得 x=38 故答案为：38 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等是解题的关键 14 （3 分）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引 10 条对角线，则它是 13 边形 【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从 n 边形的一个顶点
23、出发，可以引（n3） 条对角线，由此可得到答案 【解答】解：设这个多边形是 n 边形 依题意，得 n3=10， n=13 故这个多边形是 13 边形 【点评】多边形有 n 条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n3）条，经过 多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n2）个三角形 15 （3 分）如图，把ABC 沿 EF 对折，折叠后的图形如图所示若A=60，1=96， 则2 的度数为 24 【分析】首先根据三角形内角和定理可得AEF+ AFE=120，再根据邻补角的性质可 得FEB+EFC=360 120=240，再根据由折叠可得： BEF+EFC=FEB+EFC=240，然后计算出
24、1+2 的度数，进而得到答案 【解答】解：A=60， AEF+AFE=180 60=120 FEB+EFC=360120=240 由折叠可得：BEF + EFC=FEB+EFC=240 1+2=240120=120 1=96， 2=12096=24 故答案为：24 【点评】本题主要考查的是翻折的性质、三角形的内角和定理、求得1+2=120是 解题的关键 16 （3 分）观察下列式：（x 21）（x1）=x +1； （x 31）（x 1）=x 2+x+1； （x 41）（x 1）=x 3+x2+x+1； （x 51）（x 1）=x 4+x3+x2+x+1 （x 71）（x1）= x 6+x5+x
25、4+x3+x2+x+1 ； 根据的结果，则 1+2+22+23+24+25+26+27= 2 81 【分析】根据上面的规律直接得出（x 71）（x 1）=x 6+x5+x4+x3+x2+x+1 即可； 根据（2 81）（21 ）=2 7+26+25+24+23+22+2+1，直接得出答案即可 【解答】解：（1）由已知得（x 71）（x 1）=x 6+x5+x4+x3+x2+x+1， 故答案为 x6+x5+x4+x3+x2+1； （2）（2 81）（2 1）=2 7+26+25+24+23+22+2+1， 2 81=27+26+25+24+23+22+2+1， 故答案为 281 【点评】本题考查
26、了整式的除法，有理数的乘方，掌握规律是解题的关键 三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分） 17 （8 分） （1）计算：2x （x4）+3（x1） （x+3） ； （2）分解因式：x 2y+2xy+y 【分析】 （1）直接利用单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式运算法则计算得出答 案； （2）直接提取公因式 y，再利用完全平方公式分解因式得出答案 【解答】解：（1）原式=2x 28x+3（x 2+2x3） =2x28x+3x2+6x9 =5x22x9； （2）原式=y（x 2+2x+1） =y（x +1） 2 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式以及公式法分解因式，正确掌握相关运算
27、法则是解题关键 18 （8 分）解分式方程： （1） = ； （2） 1= 【分析】 （1）确定方程最简公分母后，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化 为整式方程求解 （2）确定方程最简公分母后，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方 程求解 【解答】 （1）解：5x+2=3x x=1 检验：当 x=1 时，x +1=0 所以，原方程无解， （2）x（x 2）（x+2） （x 2）=x+2 x22xx2+4=x+2 3x=2 x= 检验，当 x= 时， （x+2） （x2）0 所以，原方程的解为 【点评】本题考查了分式方程的解法， （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把 分
28、式方程转化为整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要验根 19 （6 分）先化简，再求值： （1+ ） ，其中 x=4 【分析】先把括号内通分，再除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式= ，再把 x 的值代入计算即可 【解答】解：原式= = = ， 当 x=4 时，原式 = = 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值 代入求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结 果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式 20 （8 分）如图，已知ABC，CAE 是ABC 的外角，在下列三项中： AB=AC；AD 平分CAE；ADBC
29、选择两项为题设，另一项为结论，组成一 个真命题，并证明 【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质、等边对等角、等角对等边进行分析， 可知组成的命题可以有 3 个，分别为 ， ，任选 1 个， 即如果，那么进行证明 【解答】解：命题：如果，那么证明如下： AB=AC， ABC=ACB AD 平分 CAE， DAE= CAD 又DAE+CAD=ABC+ACB， 2CAD=2 C， 即CAD=C， ADBC 【点评】此题为开放性试题，知识的综合性较强，能够利用三角形的外角建立角之间 的关系 21 （7 分）如图，点 E 在 AD 上，ABC 和BDE 都是等边三角形猜想： BD、CD、AD 三条线段
30、之间的关系，并说明理由 【分析】首先证明ABECBD，进而得到 DC=AE，再由 AD=AE+ED 利用等量代换 AD=BD+CD 【解答】解：BD+CD=AD； ABC 和BDE 都是等边三角形， AB=AC，EB=DB=ED ，ABC= EBD=60， ABCEBC=EBD EBC， 即ABE=CBD， 在ABE 和CBD 中， ， ABECBD（SAS） ， DC=AE， AD=AE+ED， AD=BD+CD 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定与 性质 22 （8 分）如图，已知 A（ 2，4） ，B（4，2） ，C（2，1） （1）作ABC 关于
31、x 轴的对称图形 A 1B1C1，写出点 C 关于 x 轴的对称点 C1 的坐标； （2）P 为 x 轴上一点，请在图中找出使PAB 的周长最小时的点 P 并直接写出此时点 P 的坐标（保留作图痕迹） 【分析】 （1）分别作出点 A、B 、C 关于 x 轴的对称点，再顺次连接可得； （2）连接 AB1，交 x 轴于点 P，根据图形可得点 P 的坐标 【解答】解：（1）如图 1 所示，A 1B1C1 即为所求； C1 的坐标为（2，1 ） （2）如图所示，连接 AB1，交 x 轴于点 P，点 P 的坐标为（2，0） 【点评】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和 性质
32、 23 （8 分）甲、乙两个工程队计划修建一条长 15 千米的乡村公路，已知甲工程队每天 比乙工程队每天多修路 0.5 千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队 单独完成修路任务所需天数的 1.5 倍 （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）若甲工程队每天的修路费用为 0.5 万元，乙工程队每天的修路费用为 0.4 万元， 要使两个工程队修路总费用不超过 5.2 万元，甲工程队至少修路多少天？ 【分析】 （1）可设甲每天修路 x 千米，则乙每天修路（x 0.5）千米，则可表示出修路 所用的时间，可列分式方程，求解即可； （2）设甲修路 a 天，则可表示出乙修路的天数，从而可
33、表示出两个工程队修路的总费 用，由题意可列不等式，求解即可 【解答】解： （1）设甲每天修路 x 千米，则乙每天修路（ x0.5）千米， 根据题意，可列方程：1.5 = ， 解得 x=1.5， 经检验 x=1.5 是原方程的解，且 x0.5=1， 答：甲每天修路 1.5 千米，则乙每天修路 1 千米； （2）设甲修路 a 天，则乙需要修（151.5a ）千米， 乙需要修路 =151.5a（天） ， 由题意可得 0.5a+0.4（151.5a ）5.2， 解得 a8， 答：甲工程队至少修路 8 天 【点评】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，找出题目中的等量（或不 等）关系是解题的关键，
34、注意分式方程需要检验 24 （9 分）已知，如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=18cm动点 P 从点 A 出发，沿 AB 向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 向点 C 运动，如果动点 P 以 2cm/s，Q 以 1cm/s 的速度同时出发，设运动时间为 t（s） ，解答下列问题： （1）t 为 12 时，PBQ 是等边三角形？ （2）P ，Q 在运动过程中，PBQ 的形状不断发生变化，当 t 为何值时，PBQ 是直角 三角形？说明理由 【分析】 （1）根据等边三角形的性质解答即可； （2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可 【解答】解：（1）要使，PBQ
35、是等边三角形，即可得：PB=BQ， 在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=18cm AB=36cm， 可得：PB=36 2t，BQ=t， 即 362t=t， 解得：t=12 故答案为；12 （2）当 t 为 9 或 时，PBQ 是直角三角形， 理由如下： C=90， A=30 ，BC=18cm AB=2BC=182=36（cm） 动点 P 以 2cm/s，Q 以 1cm/s 的速度出发 BP=ABAP=362t，BQ=t PBQ 是直角三角形 BP=2BQ 或 BQ=2BP 当 BP=2BQ 时， 362t=2t 解得 t=9 当 BQ=2BP 时， t=2（36 2t） 解得 t=
36、所以，当 t 为 9 或 时，PBQ 是直角三角形 【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理解答 25 （10 分）已知，如图 1，在ABC 中，A 是锐角，AB=AC，点 D，E 分别在 AC，AB 上，BD 与 CE 相交于点 O，且DBC=ECB= A （1）写出图 1 中与A 相等的角，并加以证明： （2）判断 BE 与 CD 之间的数量关系，并说明理由 小刚通过观察度量，找到了A 相等的角，并利用三角形外角的性质证明了结论的正 确性；他又利用全等三角形的知识，得到了 BE=CD 小刚继续思考，提出新问题：如果 ABAC ，其他条件不变，那么上述结论是否仍然成 立？
37、小刚画出图 2，通过分析得到猜想：当 ABAC 时，上述结论仍然成立，小组同 学又通过讨论，形成了证明第（2）问结论的几种想法： 想法 1：在 OE 上取一点 F，使得 OF=OD，故OBFOCD，欲证 BE=CD，即证 BE=BF 想法 2：在 OD 的延长线上取一点 M，使得 OM=OE，故OBEOCM，欲证 BE=CD， 即证 CD=CM 想法 3：分别过点 B，C 作 OE 和 OD 的垂线段 BP，CQ，可得OBPOCQ，欲证 BE=CD，即证 BEP CDQ 请你参考上面的材料，解决下列问题： （1）直接写出图 2 中与A 相等的一个角； （2）请你在图 2 中，帮助小刚证明 BE
38、=CD （一种方法即可） 【分析】 （1）先求出BOC=180A ，进而判断出BOE=COD=A； （2）先判断出DBC= ECB ，进而用 ASA 判断出OBFOCD ，即可得出结论； 【解答】解：（1）与A 相等是BOE 或COD； （2）如图 2，在 OE 上取一点 F，使得 OF=OD， DBC=ECB= A， OB=OC， BOE=COD ， OBFOCD（SAS） BF=CD， OBF=OCD BFE=ECB+CBF = ECB+DBC+OBF = A+ A+OBF = A+OBF， BEC=A+OCD， = A+OBF， BFE=BEC BE=BF BE=CD 【点评】主要考查了等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三 角形的外角与内角的关系的运用，判断出OBFOCD 是解本题的关键
