1、1 x 3 2018-2019 学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末数学 （文）试题 一、单选题 1. 已知集合 M x | x 0 ， N x | x2 1 ， 则 M N ( ) A 0,1 B 0,1 C 0,1 D 0,1 【答案】 B 【解析】 由题意可得： M x | x 0, N x | 1 x 1 ，则 M N 0,1 . 本题选择 B 选 项 . 2. 设函数 f x 2e log3 ?， x x2 2 1 ?， x ，则 f f 2 2 的值为 A 0 B 1 C 2 D 3 【答案】 C 【解析】 因为 f(x)= 2ex 1 , x 2, log (x 2 1),x
2、2, ，则 ff(2)=f （ 1） =2,选 C 3. 已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非法半轴重合，终边经过点 P 1, 2 ， 则 sin2 1 2 2 5 4 5 A B 5 5 4 4 C D 5 5 【答案】 D 【 解 析 】 角 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 1 , 2 ， 所 以 s i n 2 ， cos 1 ，于是 5 sin2 2sin cos 5 5 5 4 选 D. 5 4. 设 x R， 则 “0 x 5 ”是 “x 1 1”的 A 充 分 而 不 必 要 条 件 B必要而不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】 B
3、3 0.2 【解析】 求出 x 1 1 的解集，根据两解集的包含关系确定 . 【详解】 x 1 1等 价 于 0 x 2 ， 故 0 x 5 推不出 x 1 1 ； 由 x 1 1能推出 0 x 5 。 故 “0 x 5 ”是 “| x 1| 1 ”的 必 要 不 充 分 条 件 。 故选 B。 【点睛】 充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据 p? q， q? p 进行判断； (2)集合法：根据由 p， q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法： 根据一个命题与其逆否命题的等价性， 把要判断的命题转化为其逆否命 题 进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题
4、 5. 已 知 a log2 7 ， b log 3 8 ， c 0.3 ， 则 a,b, c 的大小关系为 A c b a B a b c C b c a D c a b 【答案】 A 【解析】 利用利用 0,1, 2 等中间值区分各个数值的大小。 【详解】 4 c 0.30.2 0.30 1 ； log 2 7 log 2 4 2 ； 1 log 3 8 log 3 9 2 。 故 cb a 。 故 选 A 。 【点睛】 利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与 1的大小区别对待。 6. 抛掷两颗骰子，第一颗骰子向上的点数为 x， 第二颗骰子向上的点数为 y， 则 “ x-y 1”的概
5、率为（ ） 5 4 A 、 B、 9 9 1 7 C、 D 、 6 12 【答案】 A 5 【解析】 试题分析：设两次抛掷出现的点数为事件 P( x, y) ，容易知道总事件数为 36， 这 里 可 先 算 x y 1 的 情 况 , 有 P(1， 1), P(2,2), P(3， 3), P(4， 4), P(5， 5), P(6， 6)， P(1， 2), P(2， 3), P(3， 4), P(4,5), P(5,6), P(6,5), P(5,4) , P( 4,3), P(3,2), P(2,1) 以上 16 种情况， 所以 x y 为 5 . 9 1的情况有 36-16=20 种，
6、 解得概率 【 考 点 】 相 互 独 立 事 件 的 概 率 乘 法 公 式 ； 等 可 能 事 件 的 概 率 7. 已 知 幂 函 数 f (x) 1 2 的图象经过点 , ， P x , y 、 Q x , y （ x x ）是函 1 1 2 2 1 2 8 4 数图象上的任意不同两点，给出以下结论： x f (x ) x f (x ) ； x f ( x ) x f ( x ) ； f ( x1 ) f ( x2 ) ； f ( x1 ) f (x2 ) 1 1 2 2 1 1 2 2 x1 x2 x1 x2 其中正确结论的序号是（ ） 6 A B C D 【答案】 D 【解析】 试
7、题分析：因为 f ( x) 为幂函数，故可设 f ( x) x ，又它的图象经过点 1 , 2 ， 可 由 2 1 得 出 1 ， 所 以 f (x) x 设 8 4 4 8 2 g( x) x (f 3 )x 2 它 x在 0x, 上 为 递 增 函 数 ， 若 0 x 1 x2 ， 则 有 g( x ) g( x ) ，故中只能选择设 h(x) f (x) x 1 它在 (0, )上为 1 2 x x x 递减函数，若 0 x 1 x2 ，则有 h(x1) h(x2 ) ，故中只能选择 因此最终正确答 案 为 D 【考点】 指数运算和幂函数及其性质 8. 一车间为规定工时定额，需要确定加工
8、零件所花费的时间，为此进行了 4 次试验， 测得的数据如下 零件数 x （个） 2 3 4 5 加工时间 y （分钟） 26 a 49 54 7 根据上表可得回归方程 y 9.4x 9.1，则实数 a 的值为（ ） A 37.3 B 38 C 39 D 39.5 【答案】 C 【解析】 求出 x, y ，代入回归方程，即可得到实数 a 的值。 【详解】 ， 4 故答案选 C 【点睛】 本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点 x, y 是关键， 属于基础题。 9. 已知函数 2 f (x) 1 x, 0剟 x 1, 若关于 x 的方程 f ( x) 1 x a (a R)
9、 恰有 , x 1. 4 x 两个互异的实数解，则 a 的取值范围为 根据题意可得： x 2 3 44 5 3.5 , y 26 a 49 4 54 129 a 4 根据回归方程过中心点 x, y 129 a可得： 9.4 3.5 9.1 ， 解 得 ： a 39 ； 8 A 5 , 9 4 4 B 5 , 9 4 4 C 5 , 9 4 4 1 D 5 , 9 4 4 1 【答案】 D 【解析】 画出 f x 图象及直线 y 【详解】 1 x a ，借助图象分析。 4 如图，当直线 y 1 x a 位于 B 点及其上方且位于 A 点及其下方， 4 或者直线 y 1 x a 与 曲 线 y 4
10、 1 x 相切在第一象限时符合要求。 即 1 1 4 a 2 ，即 5 4 a 9 4 ， 或者 1 x2 1 ， 得 x 4 2 ， y 1 1 ，即 2 2 1 4 2 a ，得 a 1， 所以 a 的取值范围是 5 , 9 1 。 4 4 故选 D。 9 【点睛】 根据方程实根个数确定参数范围， 常把其转化为曲线交点个数， 特别是其中一条为直线 时常用此法。 10. 已知定义在 R 上的函数 y f ( x) 满足： 对于任意的 x R ，都有 f (x 2) f ( x 2) ； 函 数 y f ( x 2) 是偶函数；当 x (0, 2 时， f (x) ex 1 ， a f ( 5
11、), b f (19 ), c f ( 41) ， 则 a, b, c 的大小关系是（ ） x 2 4 A a b c B c a b C c a b D b a c 【答案】 A 【解析】 由 得 T 4, a f ( 1), b f (1.5),c f ( 1.75) ，由 得 f (x 2) f ( x 2) f ( x) f (4 x) x 1 f ( x) ， 所 以 a f (1),c f (1.75) 因为 当 x 0,2 时 ， f x e 单调递增，所以 x 10 f (1) f (1.5) f (1.75), a b c ， 选 A. 点睛： (1)运用函数性质解决问题时，
12、先要正确理解和把握函数相关性质本 身 的含义及其应用方向 . (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时， 要注意用好其与条件的 相互关系， 结合特征进行等价转化研究 .如奇偶性可实 现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去 “ f ”，即 将函数值的大小转化自变量大小关系 , 对称性可得到两个对称的自变量所 对 应函数值 关系 . 11. 函 数 f (x) A sin( x ( 0, ) 的部分图象如图所示， 则 ) 2 f ( ) （ ） 11 A. 4 B. 2 3 C. 2 D. 3 【答案】 A 【解析】 试题分析：根据题意，由于函数 f
13、 ( x) A sin( x ( 0, ) ，那么 ) 2 根据图像可知周期为 ， w=4 ，然后当 x= ,y=2， 代入解析式中得到 2 6 2 2 ， sin(4 ) 6 ，则可知 6 f ( ) 4， 故答案为 A. 【考点】 三角函数图像 点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题。 12 已知 f（ x ）为定义在 0, 上的可导函数 ,且 f x xf x 恒 成 立 , 则不等式 x2 f 1 x f x 0 的解集为（ ） 12 A 0,1 B 1,2 C 1, D 2, 【答案】 C 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 令 f x （ x） ， 则
14、 x x f x f x f x F（ ） x 2 ， （ ） f （ x） ， （ x ） f ， （ ） 0 F 为 定 x 义 F x x x 域上的减函数， 2 1 1 f x f x 1 由不等式 x f x f x 0 得： 1 x x x x x 1 【考点】 利用导数研究函数的性质 【名师点睛】本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，属中档题解 题时要确定函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于 0 时，函数单调递增； 13 导函数小于 0 时，函数单调递减 14 请点击修改第 II 卷的文字说 明 第 II 卷（非选择题 ) 二、填空题 13. 执行下面的程
15、序框图，如果输入的 N 是 6， 那么输出的 k 是 . 【答案】 3 【解析】 通过程序框图，按照程序框图的要求将几次的循环结果写出，得到输出结果。 【详解】 经过第一次循环得到 p 1 ，满足 p N 再次循环， 执行第二次循环得到 k 2 ， p 2 ，满足 p N 再次循环， 执行第三次循环得到 k 3 ， p = 6 ，不满足 p N ，此时输出 k 3 . 15 故答案为 3 【点睛】 本题考查程序框图的知识，解答本题主要需要按照程序代值计算，属于基础题。 2 2 14. 求 f x sin x cos x 2, x , 的值域 . 6 3 【答案】 3 ,3 4 【解析】 由条件
16、利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式， 再利用正弦函数的定义 域和值域、二次函数的性质，求得函数 f ( x) 在 , 2 上的值域。 6 3 【详解】 f x sin x 2 1 sin x 2 2 sin x sin x 1 16 设 t sin x x , 2 t 1 ,1 6 3 2 2 1 2 3 1 故 f ( x) 在 , 上 值 域 等 价 于 6 3 y t 2 t 1 t 2 4 在 2 ,1 上的值域 y 3 ,3 4 ，即 f x 的值域为 3 ,3 4 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系， 正弦函数的定义域和值域， 二次函数在区间上的值 域，属于中档题。 1
17、5. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过 点（ -e， -1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是 . 【答案】 (e, 1) . 【解析】 设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标 . 【详解】 设 点 A x , y ， 则 y ln x . 又 y 1 ， 0 0 0 0 1 当 x x0 时， y x ， 0 x 17 点 A 在 曲 线 y ln x 上 的 切 线 为 y y 0 1 ( x x0 ) ， x0 即 y ln x0 x 1， x0 代入点 e, 1 ， 得 e 1 ln x
18、0 1 ， x 0 即 x0 ln x0 e ， 考查函数 H x xln x， 当 x 0,1 时， H x 0 ，当 x 1, 时， H x 0 ， 且 H x ln x 1， 当 x 1 时， H x 0, H x 单调递增， 注意到 H e e， 故 x0 ln x0 e 存在唯一的实数根 x 0 e，此时 y0 1 ， 故点 A 的坐标为 A e,1 . 【点睛】 18 2 导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质， 直线与曲线只有一个公共点， 直线不一 定是曲线的切线，同样，直
19、线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公 共点 16 已知一个四面体 ABCD 的每个顶点都在表面积为 9 的球 O 的表面上，且 AB CD a ， AC AD BC BD 5 ，则 a 【答案】 2 2 【解析】 由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上， 设长方体的长宽高为 x, y, z ，由题意可得： x2 y2 a2 2 2 2 2 2 10 a 2 y z 5 ，据此可得： x y z 2 R ， x2 z2 5 2 则球的表面积： 2 S 4 R2 10 a 9 ， 2 结 合 a 0 解得： a 2 2 . 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，
20、一种是外接解题时要认真分析图形，明 确切 点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适 19 的截面图，如球内切于 正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径； 球外接于正方体， 正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 . 三、解答题 17. 传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的中国诗词大会火 爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、 一般三个等级，随机从 中抽取了 100 名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图 . 若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的 22 列联表，并 据
21、此资料你是否有 95 的把握认为选手成绩 “优秀 ”与文化程度有关？ 20 优秀 合格 合计 大学组 中学组 合计 注： K 2 n(ad bc) 2 (a b)(c d)(a c)(b d) ，其中 n a b c d . P( k 2 k ) 0 0.10 0.05 0.005 k0 2.706 3.841 7.879 （ 2） 若江西参赛选手共 80 人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数； 【答案】（ 1） 没有 95 的把握认为优秀与文化程度有关； （ 2） 60 人 【解析】（ 1） 根据条形图即可完成 22 列联表，把数据代入公式计算出 K2 ，与临界值 21 比较，即
22、可得到结论； （ 2） 根据条形图计算出所抽取的 100 人中的优秀率， 即可得到 80 人中优秀等级的选 手 人数。 【详解】 （ 1）由条形图可知 22 列联表如下 优秀 合格 合计 大学组 45 10 55 中学组 30 15 45 合计 75 25 100 100 (45 15 10 30) 2 100 K 2 3.030 3.841 75 25 45 55 33 22 没有 95的把握认为优秀与文化程度有关 . （ 2） 由条形图知，所抽取的 100 人中，优秀等级有 75 人，故优秀率为 75 3 . 100 4 所有参赛选手中优秀等级人数约为 【点睛】 80 3 60 人 . 4
23、 本题考查独立性检验的运用，考查概率的计算，考查学生读图能力，属于基础题。 18. 已 知 f x acos2x 3asin2x 2a 5 (a R, a 0) . （ 1） 当函数 f x 在 0, 上的最大值为 3 时，求 a 的值； 2 （ 2） 在（ 1） 的条件下，若对任意的 t R ，函数 y f x ， x t, t b 的图像与 直线 y 1 有且仅有两个不同的交点，试确定 b 的值 .并求函数 y f x 在 0,b 上 的 单调递减区间 . 【答案】（ 1） a 2 ;（ 2） , 2 . 6 3 【解析】（ 1） 利用辅助角公式化简 f (x) ，再利用正弦函数的图像和性
24、质求出 f x 在 23 0, 上的最大值，即可得到实数 a 的值； 2 （ 2）把 a 的值代入 f ( x) 中，求出 f ( x) 的最小正周期为 ，根据函数 y f x 在 x t, t b 的图像与直线 y 1有且仅有两个不同的交点，可得 b 的值为 ，再由正 弦函数的单调区间和整体思想求出减区间，再结合 x 的范围求出减区间。 【详解】 （ 1）由已知得， f x acos2 x 3asin2x 2a 5 2asin 2 x 6 2a 5 x 0, 时， 2 x 7 1 , , sin 2 x ,1 2 6 6 6 6 2 f x 的最大值为 4a 5 3 ，所以 a 2 ； 综上
25、：函数 f x 在 0, 上的最大值为 3 时， a 2 2 24 （ 2） 当 a 2时， y f x 4sin 2x 6 1 ，故 y f x 的最小正周期为 ， 由于函数 y f x 在 x t, t b 的图像与直线 y 1有且仅有两个不同的交点， 故 b 的值为 . 3 又由 2k 2x 2k , k Z ，可得， 2 6 2 k x 2 k , k Z ， 6 3 x 0, ， 函数 y f x 在 0, 上的单调递减区间为 , 2 . 6 3 【点睛】 本题主要考查正弦函数的图像与性质，考查学生整体的思想，属于中档题。 19. 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD
26、 为菱形，且 DAB =60 ， PA=PD， M 为 CD 的中点， BD PM （ 1） 求证：平面 PAD平面 ABCD ； （ 2）若 APD =90 ，四棱锥 P-ABCD 的体积为 ，求三棱锥 A-PBM 的高 25 【答案】（ 1） 见解析 ； （ 2） 三棱锥 的高 【解析】 试题分析： （ 1） 根据已知条件证明 平面 ，再利用面面垂直的判定即 可得证； （ 2） 利用棱锥的体积计算公式，求得底面积与高即可求解，或利用等积变换即 可求解 . 试题解析： （ 1） 取 的中点 ，连接 ， ， ， ， ， 底面 为菱形， ，又 ， 分别为 ， 的 中 点 ， ， ，又 ， ， 平
27、面 ， 则 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ； （ 2）法一：连接 ， ，设 ，由 ， 26 可得 ， ，又底面 为菱形， ， ，由（ 1） 可知， 平面 ， 则 ， ，则 ，可得 ， ， . 法二：由题得， ，又 ， . 【考点】 1.面面垂直的判定与性质； 2.空间几何体体积求解 x2 y2 20. 已 知 椭 圆 C : a 2 b 2 1(a b 0) 的 左 焦 点 为 F1 ， 短轴的两个端点分别为 A， B， 且满足： F1 A F1B F1A F1 B ， 且 椭 圆 经 过 点 2 ( 3, ) 2 27 ( ,0) 2 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2） 设过点
28、 M 2 3 的动直线 (与 X 轴不重合 )与椭圆 C 相交于 P， Q 两点，在 X 轴 上是否存在一定点 T ，无论直线 如何转动，点 T 始终在以 PQ 为直径的圆上？若有， 求点 T 的坐标，若无，说明理由。 【答案】（ 1） x y 1 ； （ 2） （ 2， 0） 4 2 【 解 析 】 （ 1） 由 F1 A F1B F 1A F 1B 可 知 ， 2b 2c ， 根 据 椭 圆 过 点 ( 3, 2 ) ，即 2 可求出 a,b,c ，由此得到椭圆的标准方程； （ 2）分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，联立直线与椭圆方 程，解出 P 、 Q 两点坐标，利用
29、向量垂直的条件可得点 T ，当斜率存在时，设出直线 的 点斜式，与椭圆联立方程，得到关于 x 的一元二次方程，写出根与系数的关系，代入 2 28 2 2 y PT QT 0 中进行化简，即可得到答案。 【详解】 (1)由 F1 A F1B F1 A F1 B 可 知 ， 2b 2c ， 又 椭 圆 经 过 点 ( 3, 2 ) ，则 2 2b 2c a2 4 3 1 1 ，由于在椭圆中 a 2 a2 2b 2 b 2 c 2 ，所以 3 1 1 ， 解 得 a2 2b2 a 2 b2 c2 b 2 =2 c2 2 =2 ， 所求椭圆方程为 x y 1 4 2 (2) 设 P( x1, y1 )
30、, Q( x2 , y2 ) ， T (t ,0) ， 则 PT (t x1, y1 ) ， QT (t x2 , y2 ) 当直线 斜率不存在时，则直线 的方程为： x 2 ， 3 x2 y2 1 2 2 1 x2 联立方程 4 2 3 ，解得 : 或 3 ， 故 点 2 4 P( , ) 2 ， Q( , 4 ) ； 2 4 4 x y1 2 3 3 3 3 3 3 3 则 PT (t 2 , 4 ) 3 3 ， QT 2 4 (t , ) 3 3 x 29 由于点 T 始终在以 PQ 为直径的圆上，则 PT QT (t 2) 2 16 0 ，解得： t 2或 2 t ， 故 点 3 T
31、(2,0) 或 T ( 2 ,0) ； 3 3 9 2 x2 y2 当直线 斜率 k 存在时，设直线 的方程为： y k (x ) ， 代入椭圆方程 1 3 4 2 8 k 2 2 2 8 2 4 2 x1 x2 3 1 2k2 中消去 y 得 (1 2k ) x k x k 3 9 4 0 , x x 8 k2 4 9 1 2 2 4 32k 2 1 2k 2 y y k 2 x x k 2 (x x ) k 2 1 2 1 2 3 1 2 9 9(1 2k 2 ) 由于点 T 始终在以 PQ 为直径的圆上， PT QT (t x )(t x ) y y t 2 (x x ) t x x y
32、 y 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 8k 2 t2 8k 2 t 36 32k2 0 3(1 2k 2 ) 9(1 2k 2 ) 9(1 2k2 ) 30 x 9(1 2k 2 ) t 2 24k2 t 24k 2 36 0 ， (18t 2 24t 24)k 2 9t 2 36 0 18t 2 24t 24 0 2 解得： t 2 ， 故 点 T 为 (2,0) 9t 36 0 综上所述 ;当 t 2 时满足条件。所以定点 T 为 (2,0) 。 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查解析几何中的定点问题， 解题的 关键是把点 T 始终在以 PQ 为直
33、径的圆上转化为向量垂直，考查学生的计算能 力， 属于中档题。 21. 已知函数 f x e 1 a x b （ a,b R ） ， 其中 e为自然对数的底数 . （ 1） 讨论函数 f x 的单调性及极值； （ 2） 若不等式 f x 0 在 x R 内 恒 成 立 ， 求 证 ： b a 1 3 . 2 4 【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析 . 【解析】 试题分析： 31 2 2 (1)由题意可得导函数的解析式 f x e 1 a ，分类讨论可得：当 a 1 时， f x 在 R 内单调递增，没有极值； 当 a 1时， f x 在区间 ,ln a 1 内单调递减，在区间 ln a 1
34、, 内单调递增， f x 的极小值为 a 1 b 1 a ln a 1 ， 无 极 大 值 . （ 2） 分类讨论：当 a 1 时， b a 1 0 3 明显成立； 2 4 当 a 1时， 由 （ 1） ， 知 f x 在 R 内单调递增， 此时利用反证法可证得结论； 当 a 1时，构造新函数 g x x x lnx x 0 ，结合函数的单调性即可证 得题中的结论 . 试题解析： （ 1） ）由题意得 f x ex 1 a . 当 1 a 0 ，即 a 1 时， f x 0 ， f x 在 R 内单调递增，没有极值 . x 32 当 1 a 0 ， 即 a 1 时， 令 f x 0 ， 得 x
35、 ln a 1 ， 当 x ln a 1 时 ， f x 0 ， f x 单调递减； 当 x ln a 1 时 ， f x 0 ， f x 单调递增， 故当 x ln a 1 时 ， f x 取得极小值 f ln a 1 a 1 b 1 a ln a 1 ， 无 极 大 值 . 综上所述，当 a 1 时， f x 在 R 内单调递增，没有极值； 当 a 1时， f x 在 区间 , ln a 1 内 单 调 递 减 ， 在 区 间 ln a 1 , 内 单调递增， f x 的极小值为 a 1 b 1 a ln a 1 ， 无 极 大 值 . （ 2） ）当 a 1 时， b a 1 0 3 成
36、 立 . 2 4 当 a 1时，由（ 1） ，知 f x 在 R 内单调递增， 令 c 为 1 和 1 1 b 中较小的数， a 所以 c 1 ， 且 c 1 b ， 1 a 33 c 1 2 2 则 ec e 1 ， 1 a c b 1 . 所以 f c e 1 a c b e 1 b b e 1 0 ， 与 f x 0 恒成立矛盾，应舍去 . 当 a 1时， f x min f ln 1 a a 1 b a 1 ln a 1 0， 即 a 1 a 1 ln a 1 b ， 所以 a 2 1 b a 1 2 a 1 ln a 1 . 令 g x x x lnx x 0 ， 则 g x x 1
37、 2lnx . 令 g x 0 ， 得 0 x e ， 令 g x 0 ，得 x e， 1 34 故 g x 在区间 0, e 内单调递增， 在区间 e, 内单调递减 . 故 g x max g e e eln e e ， 2 即当 a 1 e a e 1时， g x e max 2 2 2 e 所以 a 1 b a 所以 b a 1 1 e . a 1 ln a 1 . 2 2 4 而 e 3 ， 所以 b a 1 3 . 2 4 x 3 t a 22. 已知过 点 P( a,0) 的直线 l 的参数方程是 2 y 1 t 2 （ t 为参数），以平面直角坐 标系的原点为极点， x 轴的正半
38、轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 6cos . （ 1） 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； . 35 （ 2）若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，试问是否存在实数 a ，使得 PA PB 7 ？ 若存在，求出实数 a 的值；若不存在，说明理由 . 【答案】（ 1） x 3 y a 0 ， x 2 y 2 6 x 0 ； （ 2） a 3 29 【解析】（ 1） 消去参数 t 即可得到直线 l 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公 2 x2 y2 式 x cos y sin ，即可得到曲线 C 的直角坐标方程； （ 2） 由题可得 AB 7 ，利用
39、圆的弦长公式即可求得实数 a 的值 【详解】 （ 1） 消 t 由 x 3 2 y a 2 直线 l 的普通方程为 x 3 y a 0 36 由 6cos ， 2 6 cos 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 6 x 0 （ 2） 由 于 PA PB = BA ， PA PB 7 ，故 AB 7 ； 由于曲线 C 的直角坐标方程 为 x2 y2 6 x 0 ，则圆心（ 3,0） ， r 3 ，所以圆心到直线 l 的距离 d 3 a 2 ，根据垂径定理可得 d 2 AB 2 ( ) 2 2 r ，即 2 2 3 a 7 9 ， 2 2 可求得 a 3 29 实数 a 3 29 . 【点睛】
40、 本题考查把参数方程、极坐标方程转化为普通方程，考查向量的加减运算，圆的弦长公式， 属于基础题。 23. 已知函 数 f ( x ) 1 x a 1 x 4 , g ( x ) 37 x 2 1 . 2 2 （ 1） 求 不 等 式 g ( x ) 3 的解集。 （ 2） 若对任意 x 1 R 时都有 x2 R 使 得 f x 1 g (x 2 ) 3 成立，求实数 a 的取值范 围 . 【答案】（ ） （-2 ， 6） ; （ ） a 2或 a 6 . 【解析】 试题分析： （ ） 利用 x 2 1 3, 3 x 2 1 3 ，去绝对值求解即 可； （ ）利用条件说明 y | y f x y | y g x 3 ，通过函数的最值，列出 不等式求解即可 . 试题解析： （ ）当 g x 3 时， x 2 1 3, 3 x 2 1 3, 0 x 2 4 4 x 2 4, 2 x 6 （ ）对任意 x1 R 时都有 x2 R 使 得 f x1 g x2 3 成立， 38 2 只 等价于 y | y f x y | y g x 3 而 f x 1 2 x a 1 2 x 4 a 4 ， g x 3 x 2 2 需 a 4 2, a 2或a 6 .
