1、 O D C BA O ED C BA F O E D CB A F O E DC B A 圆的证明与计算 专 题 研 究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解 决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明垂直关系. (6)切线的判定定理
2、: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证 明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第 1 问主要是判定切线；第 2 问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积） ；求 线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比） 。 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直” 。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证
3、半径” 。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点） ；直线与半径的关系是互相垂 直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： （1）如图， AB 是 O 的直径， BC AB， AD OC 交 O 于 D 点，求证： CD 为 O 的切线； （2）如图，以 Rt ABC 的直角边 AB 为直径作 O，交斜边 AC 于 D，点 E 为 BC 的中点，连结 DE，求证： DE 是 O 的切线. （3）如图，以等腰 ABC 的一腰为直径作 O，交底边
4、 BC 于 D，交另一腰于 F，若 DE AC 于 E（或 E 为 CF 中点） ， 求证： DE 是 O 的切线. （4）如图， AB 是 O 的直径， AE 平分 BAF，交 O 于点 E，过点 E 作直线 ED AF，交 AF 的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C，求证： CD 是 O 的切线. 2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规 律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进 行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而
5、化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的 数学思想方法有： （1）构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所 有线段长） ；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数. （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问 题。 （3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形 的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。 3、典型基本图型： 图形 1：如图 1： AB 是 O 的直径，点 E
6、、 C 是 O 上的两点，基本结论有： （1）在“ AC 平分 BAE”；“ AD CD”；“ DC 是 O 的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图 2、3， DE 等于弓形 BCE 的高； DC=AE 的弦心距 OF（或弓形 BCE 的半弦 EF） 。 （3）如图（4）：若 CK AB 于 K，则： CK=CD； BK=DE； CK= BE=DC； AE+AB=2BK=2AD;21 ADC ACB AC2=ADAB （4）在(1)中的条件、中任选两个条件，当 BG CD 于 E 时（如图 5） ，则： DE=GB； DC=CG； AD+BG=AB； ADBG= =DC2 41DG 图形
7、2：如图 ： Rt ABC 中， ACB=90。点 O 是 AC 上一点，以 OC 为半径作 O 交 AC 于点 E，基本结论有： （1）在“ BO 平分 CBA”;“BO DE”;“AB 是 O 的切线”;“ BD=BC”。四个论断中，知一推三。 （2） G 是 BCD 的内心； ； BCO CDE BODE=COCE= CE2；1 （3）在图（1）中的线段 BC、 CE、 AE、 AD 中，知二求四。 （4）如图（3） ，若 BC=CE，则： = =tanADE ； BC： AC： AB=3：4：5 ；（在、中知一推二）ADE21 设 BE、 CD 交于点 H， ,则 BH=2EH 图形
8、3：如图： Rt ABC 中， ABC=90,以 AB 为直径作O 交 AC 于 D，基本结论有： 图2 E G O F D C B A H 图3 A B C D F O G E 图1 EO D C B A O E A B CD 图1 O E D C BA F 图2 A B C D E O F 图3 A B C DE O K 图4 A B C DE O G 图5 A B C D E O CG=GD 如右图：（1） DE 切 O E 是 BC 的中点； （2）若 DE 切 O，则： DE=BE=CE； D、 O、 B、 E 四点共圆 CED=2 A CDCA=4BE2, BCDR 图形特殊化：在
9、（1）的条件下 如图 1： DE AB ABC、 CDE 是等腰直角三角形； 如图 2：若 DE 的延长线交 AB 的延长线于点 F，若 AB=BF，则： ;3EFD21RE 图形 4：如图， ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径作 O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 F， 基本结论有： （1） DE AC DE 切 O； （2）在 DE AC 或 DE 切 O 下，有： DFC 是等腰三角形； EF=EC； D 是 的中点。与基本图形 1 的结论重合。 连 AD，产生母子三角形。 图形 5：以直角梯形 ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于 ， 基本结论有： （1）如图 1： AD+B
10、C CD； COD= AEB=90； OD 平分ADC（或 OC 平分 BCD） ；（注：在、及 “ CD 是 O 的切线”四个论断中，知一推三） ADBC 2=R2；AB4 （2）如图 2，连 AE、 CO，则有： CO AE， COAE=2R2(与基本图形 2 重合) （3）如图 3，若 EF AB 于 F，交 AC 于 G，则： EG=FG. 图形 6：如图：直线 PR O 的半径 OB 于 E， PQ 切 O 于 Q，BQ 交直线 PQ 于 R。 基本结论有： A C D O E B 图1 图2 FB D E O C A Q R PE O B A Q R PE O B Q RPEO B
11、 A Q RPE O B FE D C BOA BF 图1 O E D CB A 图2 F A B C D E O 图3 GF A B C D E O （1） PQ=PR ( PQR 是等腰三角形)； （2）在“ PR OB”、 “PQ 切 O”、 “PQ=PR”中，知二推一 （3） 2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2 图形 7：如图， ABC 内接于 O， I 为 ABC 的内心。基本结论有： （1）如图 1， BD=CD=ID； DI2 DEDA； AIB=90+ ACB; （2）如图 2，若 BAC=60，则： BD+CE=BC. 图形 8：已知， AB 是 O 的直径， C 是 中
12、点， CD AB 于 D。 BG 交 CD、 AC 于 E、 F。基本结论有： （1） CD= BG； BE=EF=CE； GF=2DE2 (反之，由 CD= BG 或 BE=EF 可得： C 是 中点)1 （2） OE= AF， OE AC； ODE AGF （3） BEBG=BDBA （4）若 D 是 OB 的中点，则： CEF 是等边三角形； 四、范例讲解： H O G F E D C BA BC=CG=AG BG BG 图1 E OI D CB A A B C D IO E 图2 O CFE D BA 1. ABP 中， ABP=90，以 AB 为直径作 O 交 AP 于 C 点，弧
13、= ，过 C 作 AF 的垂线，垂足为 M， MC 的延长线 FB 交 BP 于 D. （1）求证： CD 为 O 的切线； （2）连 BF 交 AP 于 E，若 BE=6， EF=2，求 的值。AE 2直角梯形 ABCD 中， BCD=90， AB=AD+BC， AB 为直径的圆交 BC 于 E，连 OC、 BD 交于 F. 求证： CD 为 O 的切线 若 ，求 的值53ABEDF 3如图， AB 为直径， PB 为切线，点 C 在 O 上， AC OP。 （1）求证： PC 为 O 的切线。 （2）过 D 点作 DE AB，E 为垂足，连 AD 交 BC 于 G， CG=3， DE=4，
14、求 的值。DBG 4。如图，已知 ABC 中，以边 BC 为直径的 O 与边 AB 交于点 D，点 E 为 的中点， AF 为 ABC 的角平分线，且 AF EC。 （1）求证： AC 与 O 相切； （2）若 AC6， BC8，求 EC 的长 5.如图， Rt ABC，以 AB 为直径作 O 交 AC 于点 D， ，过 D 作 AE 的垂线， F 为垂足. （1）求证： DF 为 O 的切线； （2）若 DF=3， O 的半径为 5，求 的值.tanBAC F O E C D B A OF HE D CB A BD BD=DE O C F E DBA O F E D C B A OE D C
15、 BA E A O FD C B 6如图， AB 为 O 的直径， C、 D 为 O 上的两点， ，过 D 作直线 BC 的垂线交直线 AB 于点 E， F 为垂足. （1）求证： EF 为 O 的切线； （2）若 AC=6， BD=5，求 的值.sinE 7如图， AB 为 O 的直径，半径 OC AB， D 为 AB 延长线上一点，过 D 作 O 的切线， E 为切点，连结 CE 交 AB 于点 F. （1）求证： DE=DF； （2）连结 AE，若 OF=1， BF=3，求 的值.tan 8如图，Rt ABC 中， C=90， BD 平分 ABC，以 AB 上一点 O 为圆心过 B、 D
16、 两点作 O， O 交 AB 于点一点 E， EF AC 于点 F. （1）求证： O 与 AC 相切； （2）若 EF=3， BC=4，求 的值.tanA 9如图，等腰 ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径作 O 交 BC 于点 D， DE AC 于 E. （1）求证： DE 为 O 的切线； （2）若 BC= ， AE=1，求 的值. 45cosAE 10如图， BD 为 O 的直径， A 为 的中点， AD 交 BC 于点 E， F 为 BC 延长线上一点，且 FD=FE. （1）求证： DF 为 O 的切线； AD=DC BC F O ED C BA F M H O N E D
17、C B A DA O F EC B （2）若 AE=2， DE=4， BDF 的面积为 ，求 的值.83tanEDF 11、如图， AB 是 O 的直径 ， M 是线段 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N，交 BC 的延长线于点 E，直线 CF 交 EN 于点 F，且 ECF= E （1）求证： CF 是 O 的切线； （2）设 O 的半径为 1，且 AC=CE ，求 的长3A 12、如图， AB 是 O 的直径， BC AB，过点 C 作 O 的切线 CE，点 D 是 CE 延长线上一点，连结 AD，且 AD+BC=CD. （1）求证： AD 是 O 的切线； （2）设
18、 OE 交 AC 于 F，若 OF=3， EF=2，求线段 BC 的长. 13、如图， ABC 中， AB=BC，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D，且 CD=BD. （1）求证： BC 是 O 的切线； （2）已知点 M、 N 分别是 AD、 CD 的中点， BM 延长线交 O 于 E， EF AC，分别交 BD、 BN 的延长线于 H、 F，若 DH=2， 求 EF 的长. 14、如图， AB 是半 O 上的直径， E 是 的中点， OE 交弦 BC 于点 D，过点 C 作交 AD 的平行线交 OE 的延长线于点 F. BC 且 ADO= B. （1）求证： CF 为 O 的 O 切线；（2）求 sin BAD 的值. 11、如图， ABC 中， AB AC，以 AC 为直径的 O 与 AB 相交于点 E，点 F 是 BE 的中点 （1）求证： DF 是 O 的切线 （2）若 AE14， BC12，求 BF 的长 F O E D CB A N M F O E C BA O FE D CB A
