1、1 往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一解答下列各题(6*10 分): 1求极限 .)1ln(im0xxe 2.设 ,求 .222laay yd 3.设 ，求 .3 2tyx2dxy 4.判定级数 的敛散性.0!1nne 5.求反常积分 . 0darcsix 6.求 .xrtn 7. .03dsi 8.将 在 上展为以 为周期的付里叶级数，并指出收敛于 的区 xxf2,)(,2 xf 间. 9.求微分方程 的解.0d)4(dyy 10.求曲线 与直线 所围平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.1x,21xy 二.(8 分)将 展开为 的幂级数,并指出其收敛域.5lnf 三.(9
2、 分)在曲线 上取点 ,过点 作平行于 轴的直线 ,由siy10,sin,2aaAAoxL 直线 , 轴及曲线 所围成的图形记为 ,由直线 ,直线 及曲线Lox02 SL1 所围成的图形面积记为 ,问 为何值时, 取得最小值.1sin2xay 2S2 四.(9 分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度 为 30时,物体由 100经 15 分钟冷却至 70,问该物体冷却至 40需要多少时间? 五.(8 分)(学习工科数学分析的做（1） ，其余的做（2）) （1）证明级数 在 上一致收敛.02nxe), （2）求幂级数 的收敛域及和函数.1212)(nn 六
3、.(6 分)设 ,试证存在 ,使baCxfba a fabafbdxf 3241 2 2008115 一解答下列各题(6*10 分): 1.计算极限 .xe x30sin2lim 2.设 求 .,5arctog22yx yd 3.设 求 .,;sin,cl tt 32tx 4.判定级数 的敛散性. 123n 5.计算反常积分 .dxl 6.计算不定积分 .cosi3 7.计算定积分 .102xe 8.求函数 在 上展成以 4 为周期的正弦级数.,f,0 9.求微分方程 的通解.dd132yxy 10.求由曲线 及 所围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积.725ox 二.(9 分)证明:当
4、 时,有 .22 1lnarct4lnxx 三.(9 分) 设抛物线 通过点 ,为了使此抛物线与直线 所围成02bxy3Mxy2 的平面图形的面积最小,试确定 和 的值. 四.(8 分)设一车间空间容积为 10000 立方米,空气中含有 0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将 含二氧化碳 0.04%的新鲜空气以 1000 立方米每分钟的流量输入该车间,同时按 1000 立方米的流 量抽出混合气体，问输入新鲜空气 10 分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？ 五 （8 分）求幂级数 的收敛域及其和函数.nnx0!21 六.(6 分)设函数 在 的邻域内有连续的一阶导数,且 ,f axf0lim
5、0 3 证明: 条件收敛.nfn11 2007 年 1 月 一. 计算下列各题(6*10 分): 1计算极限 .xe xarctn1llim0 2. 设 , 求 .21arcsyyd 3. 设 求 . .0in02teuxyt 0x 4. 判定级数 的敛散性. 134 5. 计算反常积分 .dx 6 设 为 的原函数, 求 .2lnxfxfd 7. 将 展开成以 为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别 .2 ,0; ,1xf 2 在 和 两点的收敛值.23x5 8. 将函数 展开为 的幂级数,并指出其收敛域.fln 9 求微分方程 的通解.2711xy 10. 求抛物线 与 所围图形的面积.
6、25x 二. (9 分) 若函数 在 点可导 . 求 和 . .0 ,;dcos2xatefx a0f 三. (9 分) 在曲线 上求一点 ,使得过该点的切线与两个坐标轴所围yx0xe 平面图形的面积最大, 并求出此最大面积. 四(8 分) 半径为 的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部R 抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度 为多少?H 五.(8 分) 求幂级数 的和函数并求出级数 的和. 1nnx12nn 六. (6 分) 已知函数 在 上可导, 且 并满足等式f00f 4 , 求 并证明0d10xtffxf xf.0 1xfex 2006 年 1 月
7、 一. 计算下列各题(6*10 分): 1. 30sintalimxx 2.设 , 求 .2t1rcyyd 3.设 , 求 . 0 ,xexfx xfd12 4. 判定级数 的敛散性.21 nn 5. 设 由方程 所确定,求 .xyyxtay 6.计算不定积分 .e xd2 7. 将 , 展成以 为周期的傅立叶级数.f,2 8. 将函数 展成 的幂级数, 并指出收敛区间.312x4 9. 求微分方程 的通解.ey4 10. 设曲线 与 交于点 A, 过坐标原点 和点 的直a0,21xyOA 线与曲线 围成一个平面图形. 问: 当 为何值时,该图形绕 轴旋转一周所产2 ax 生的旋转体体积最大?
8、 二. (8 分) 证明不等式: 当 时, , .xx10 三. (9 分). 设 , 求 .21dtef 10df 四. (9 分). 一物体在某一介质中按 作直线运动,已知介质的阻力与物体速度的3ct 平方成正比, 计算物体由 移动到 时克服阻力所作的功.xax 五. (9 分) 求级数 的和. 03nn 六. (5 分). 设 , , 证明:fba . fxfbaf 2d12 5 2005 年 1 月 15 日 一. 解答下列各题（610 分） 1 计算极限 xe xsinlim0 2 设 ，求 .1l212y yd 3 设 在 处可导,求常数 和 .0 ,xbaxf ab 4 判定级数
9、 的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛? 13n 5 设 由方程 所确定,求 .xyye)ln( 6 设 连续,且满足 .求 .f xtfx103d ?26f 7 求 的极值.23 8 计算不定积分 .xln4 9 计算定积分 .darct10 10 求由曲线 , 直线 , 所围成的平面图形绕 轴旋转一周所2xy,0y1xy 产生的旋转体的体积. 二. (8 分). 试证明不等式 时, .3tan 三. (9 分) 将函数 展成 的幂级数 ,并指出收敛区间.321xf 四. (9 分) 已知 在 的邻域内可导, 且 , .x0lim12xf205li12xfx 求极限 . 312dlim
10、xtuftx 五.(8 分) 求幂级数 的收敛域及和函数.nn 0! 六. (6 分) 设 在 上连续, 在 内可导, 且 , .f11010xf0f 证明 xfdxd3 20 6 2004 年 1 月 一、解下列各题 1、 10lim,(0,)2xxabab其 中 2、设 ,求2sin)xyey 3、求不定积分 rctd 4、求不定积分 21()x 5、求定积分 40e 6、求由曲线 及 轴围成的图形的面积。|ln,yxe 7、判定级数 的敛散性541n 8、将 展开为 的幂级数，并求收敛域。20()xtfedx 9、求幂级数 的收敛域及和函数。11nn 10、曲线 上哪一点的法线在 轴上的
11、截距最小6,()3yxy 二、证明：当 时，022sinx 三、设某产品的成本函数为 ，需求函数为 ，其中 为成本，Caqbc1()qdpeC 为需求量(也是产量)， 为单价， 都是正常数，且 。求(1)qp,deb 利润最大时的产量及最大利润；(2)需求价格弹性 ；(3) 需求价格弹性的绝对值小于 1 时的产 量。 四、曲线 轴旋转一周，得一旋转体，若把它在 与之间部分的体积记为 ，21xy 0x()V 试求 lim()V 五、设 为 上连续，且 ，求证：在 内存在一点 ，在f,ab()0fx(,)ab4()()5axdfxd 7 2003 年 1 月 一、解下列各题 1、 01limxxe
12、 2、设 由方程 确定，求()ycos()yxy 3、设 在 点连续，试确定 的值 2in0abxx,ab 4、判定级数 的敛散性1! n 5、设曲线方程为 ，求此曲线在 点处的切线方程2sicoxtty2x 6、设 在点 处有 ，而 在 点及其邻域有定义且有界，试证明()f000()ffx()0 函数 在点 处可导，并求F0F 7、将 展开成周期为 的付立叶正弦级数2()0fxx 2 8、计算不定积分 21xed 9、计算定积分 40 10、求由 所围成的平面图形绕 轴旋转所成的立体的体积ln,2y和 y 二、证明：当 时，xsintaxx 三、A，B 两厂在直河岸的同侧，A 沿河岸，B 离
13、岸 4 公里，A 与 B 相距 5 公里，今在河岸边 建一水厂 C，从水厂 C 到 B 厂每公里水管材料费是 A 厂的 倍，水厂 C 设在离 A 厂多远处 才使两厂所耗总的水管材料费最省？ 四、试求幂级数 的收敛域及和函数02nnx 五、设 为 上单减连续函数，有 ，证明当 时，()fx,)a1()()xaFftdxa 为单调减函数F 8 六、设 在 上连续，在 内可导，且 ，证明：存在一点 ，()fx0,1(0,1)10()ftd (0,1) 使得 2f 七、已知可导函数 满足 ，求()0()cos2()sinxfxftx()fx 2002 年 1 月 一、试解下列各题(每小题 5 分，共
14、25 分) 1求极限 。2limnn 2设 ，研究 在点 处的左连续性与右连续性。 01)(xexf )(xf0 3设 ，求 。4求函数 的单调区间。sinarct(l)xyy 14932xy 5计算定积分 。dex25l0 二、解下列各题(每小题 5 分，共 25 分) 。1求极限 ；1ln0)(silmxx 2设函数 由方程 所确定，求 。)(xyyxe20dxy 3求积分 ； 4求极限 ；xdcos1in23 dt)sin(li022xt 5试判定级数 的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？11)(nn 三、(7 分) 求积分 。2arcsdx 四、(7 分) 将函数 ，展开成以 为
15、周期的傅里叶级数，其中 为 |()0|2Hfx2H 常数。 五、(7 分) 将函数 展开成 的幂级数，并指出收敛区间。61)(2xf 1 六、(7 分) 试证明不等式 ，其中 。3sin20x 七、(8 分) 一容器由抛物线 绕 轴旋转而成，其容积为 ，其中盛满水，水的比重2y 3m7 为 1，现将水从容器中抽出 ，问需作多少功？3m64 9 八、(8 分) 设水以匀速注入右图所示的罐中，直至将将水罐注满。 1) 画出水位高度随时间变化的函数 的图形(不要求精确图形，但应画出曲线凹凸)ty 性并表示出拐点) 2) 何处增长的最快，何处最慢？并估计这两个增长率的比值。)(ty 九、(6 分) 设
16、函数 在0,1上连续，在(0,1)内可导，并且满足 ，)(xf 130()()dfxf 试证存在一点 ，使 。1,0)(f 2000 年 1 月 一、求解下列各题：（每小题 6 分，共 60 分） 1设 ，求 。 2求极限 。236)(1xxyy xex1lim0 3将 展开成以 4 为周期的傅里叶级数。|,0)(f 4试求过点 且与曲线 上点 的切线相垂直的直线方)1M1cos2yex 3, 程。 5设 ，求 。 6将 展开为 的幂级数。 xxttflim)( )(tf )1()xf x 7设 是由曲线 与三条直线 ， ， 所围成的曲线梯形，求Dysin10x0y 绕 轴旋转一周所得旋转体积
17、。o 8求极限 。 9求不定积分 。20cos dt)(li2xextarctndx(1) 10判别级数 的敛散性。1tan 二、 （8 分）求不定积分 。 三、 （8 分）求定积分 。2(l)d 220daxx)0(a 四、 （8 分）设 ，其中 有二阶连续导数。且 ， 0,0)xegxfx)(xg1)g 。 1)求 ； 2) 讨论 在 上的连续性。1)0(g)(ff, 五、 （8 分）试确定 的值，使曲线 与该曲线在 及 两点处的法线所围a)1(2ay)0,1(, 成图形面积最小。 （其中 ） 。 六、 （8 分）设 ，0|sin|dnx, 求极限 n22lm1 10 98 年 1 月 一
18、、填空题 1 2 在 上的最小值为 xxsin 20)3(limxysin2,0 3设 ，则 0)(1fefyt0dtx 4设 ，则 203)(xtt)()limxfa 5设 在 条件收敛，则 的敛区为 na01nn 二、选择题 1当 时，变量 是（ ）0x21six A) 无穷小 B) 无穷大 C) 有界但不是无穷小 D) 无界但不是无穷大 2 是 的（ ）间断点1in()|xfe A) 跳跃 B) 可去 C) 无穷 D) 振荡 3若 是导函数是 ，则 有一个原函数为（ ）)(xfsi)(f A) B) C) D) sin1nxcos1xcos1 4设 ，则在 处 （ ） 0|1|)(2xf
19、 )(f A) 不连续 B) 连续但不可导 C)可导但导数不连续 D) 可导且导数连续 5设 是 的以 为周期的傅里叶正弦级数的和函数，)(xsxxf2102 则 等于（ ）)2( A) B) 1 C) D) -141)4( 11 三、设 由 所确定，求 。)(xy1ye02dxy 四、计算 。 五、计算 。0dsin1 lnd1x 六、计算 。 七、证明：当 时， 。23()x1ln)(x 八、讨论 的敛散性。 九、求 。10!na12)(n 十、求由 与 所围图形绕直线 旋转一周所得旋转体的体积。xy22x 十一、设 在 上具有二阶导数，且 ， ，证明：存在)(f,b0)(bfaf 0bf
20、a 和 使 及 。)(0(f 99 年 1 月 一、填空题 1 2设 ，则 xexarctnlim)1ln(2xxyy 3设 由 确定，则 )(y0sixye)0 4 的收敛域为 。 5 。1nx 21sid 二、选择题 1设 ， 都可微，则 （ ）)(tfy)(xgyd A) B) C) D) d txgtf)( tf)( 2 是 的（ ）型间断点x1arctn2f A) 可去 B) 跳跃 C) 无穷 D) 振荡 3下列命题中哪一个是正确的？（ ） A) 在 中的极值点，必定是使 。)(f,b0)(xf B) 的点必定是 的极值点。0x)(xf C) 在 内取得极值的点处，其导数 必不存在。
21、a D) 的点是 可能取得极值的点。)(f 4设 ，则 （ ） 20dsinxt)(f A) B) C) D) sinx4 4202sini2 xtx402sindsixtx 5曲线 与 轴所围部分的面积为（ ）y2y A) B) C) D) 40dx20d)(2)(y4 三、求不定积分 。 四、求不定积分 。sin2 2-1)(dx 五、将 展开成以 |20|)(xHxf 为周期的傅里叶级数。2 六、将 展开成 的幂)3l级数。 12 七、求 。 八、计算3 102sin1limxxxdt12arctndx 九、设 在 上二阶可导，且 ， 。证 在 上单)(f,a0)(xf)(f fg)(,0a 调增。 十、求曲线 ， ， ， 所围成的平面图形的面积，并求该图形绕xy20y13 轴旋转一周所得立体的体积。 十一、设 在 某邻域内具有连续的二阶导数且 ，)(f 0)(lim0xf 证明：级数 绝对收敛。 1nf
