1、初等数学基础知识 一、三角函数 1公式 同角三角函数间的基本关系式： 平方关系： sin2()+cos2()=1; tan2()+1=sec2();cot2()+1=csc2() 商的关系： tan=sin/cos cot=cos/sin 倒数关系： tancot=1; sincsc=1; cossec=1 三角函数恒等变形公式： 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 倍角公式
2、： sin(2)=2sincos cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 半角公式： sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin
3、=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 2特殊角的三角函数值 )(f 0 )( 6)30( 4)5( 3)60( 2 )9(cos 1 2/10in 0 1ta 0 3/1 3不存在c 不存在 1 /0 只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可
4、推出上面的三角值。 3 诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90- cos sin ctg tg 90+ cos -sin -ctg -tg 180- sin -cos -tg -ctg 180+ -sin -cos tg ctg 270- -cos -sin ctg tg 270+ -cos sin -ctg -tg 360- -sin cos -tg -ctg 360+ sin cos tg ctg 记忆规律： 竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割 即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三
5、象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的） 二、一元二次函数、方程和不等式 acb42000)0(2一 元 二 次 函 数xy 2.1x02cbxa一 元 二 次 方 程 acbx242,1有 二 互 异 实 根 abx2)(,1有 一 根有 二 相 等 实 根 无实根 145 2 1 1 230 6 2x1 02cbxa21)(x或 abx2Rx)0(式等不次二元一 a02cbx21xxx 三、因式分解与乘法公式 22223223223322(1)()(4)()56(7) )8ababababcc 2121)9() ,()nnnabcaba 四、等差数列和等比数列 1 1 22nnnadaS
6、Sad1.等 差 数 列 通 项 公 式 ： 前 项 和 公 式 或 10nGPqq2.等 比 数 列 通 项 公 式 ， 1 1.1nnaSq前 项 和 公 式 五、常用几何公式 平面图形 名称 符号 周长 C 和面积 S 正方形 a边长 C4a Sa 2 长方形 a 和 b边长 C2(a+b) Sab 三角形 a,b,c三边长 ha 边上的高 s周长的一半 A,B,C内角 其中 s(a+b+c)/2 Sah/2 ab/2sinC s(s-a)(s-b)(s-c) 1/2 a 2sinBsinC/(2sinA) 平行四边形 a,b边长 ha 边的高 两边夹角 Sah absin 菱形 a边长
7、 夹角 D长对角线长 d短对角线长 SDd/2 a 2sin 梯形 a 和 b上、下底长 h高 m中位线长 S(a+b)h/2 mh 圆 r半径 d直径 Cd2r Sr 2 d 2/4 扇形 r扇形半径 a圆心角度数 C2r2r(a/360) Sr 2(a/360) 圆环 R外圆半径 r内圆半径 D外圆直径 d内圆直径 S(R 2-r2) (D 2-d2)/4 椭圆 D长轴 d短轴 SDd/4 立方图形 名称 符号 表面积 S 和体积 V 正方体 a边长 S6a 2 Va 3 长方体 a长 b宽 c高 S2(ab+ac+bc) Vabc 圆柱 r底半径 h高 C底面周长 S 底 底面积 S 侧
8、 侧面积 S 表 表面积 C2r S 底 r2 S 侧 Ch S 表 Ch+2S 底= Ch+2r2 VS 底 h r 2h 圆锥 r底半径 h高 Vr 2h/3 球 r半径 d直径 V4/3r 3 d 3/6 S=4r2 d 2 基本初等函数 名 称 表达式 定义域 图 形 特 性 常 数 函 数 Cy Ry C 0 x 幂 函 数 xy随 而异，但在 上R 均有定义 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.800.2 0.40.6 0.81 1.21.4 1.61.8 y=x y=x-1y=x1/3y=x-2 y=x3 过点(1 ，1);时在0R 单增； 时在
9、单减 指 数 函 数 1 0ayxR -2.5 -2-1.5 -1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.5 00.5 11.5 22.5 33.5 44.5 (0,1) y=axy=ax x 0a1 0a1 O (1,0) x y 过点 1,0 单增 单减 aloglog,l,0lllog,ogll,01() a aaaapaacxMNNPb 正 弦 函 数 xysin R-/2O xy1-1 /2 3/2 2 奇函数 2T 1y 余 弦 函 数 xycos RO xy1-1 /2 3/22-/2 偶函数 2T 1y 正 切 函 数 xytan2k Z O x y /2-/2 奇函
10、数 T 在每个周期 内单增 余 切 函 数 xycot,kZ- Oy x 奇函数 T在每个周期 内单减 反 正 弦 函 数 xyarcsin1,-/2/2 1-1 y xo 奇函数 单增 2y 反 余 弦 函 数 xyarcos1,/2 1-1 y xo 单减 y0 反 正 切 函 数 xyarctnR /2 -/2 y xo 奇函数 单增 2y 反 余 切 函 数 xycotar Ry xo /2 单减 y0 极限的计算方法 一、初等函数： 1.lim(2lim0lim0,:li3. li,:0li04.lim0CfxMfx fxCfxffxC是 常 值 函 数 ）若 （ 即 是 有 界 量
11、 ） ， （ 即 是 无 穷 小 量 ） ， 特 别若 （ 即 是 有 界 量 ） 特 别 51., ,(sin1,ln) xABex未 定 式型分 子 分 母 含 有 相 同 的 零 因 式 消 去 零 因 式等 价 无 穷 小 替 换 常 用 . ,im,limlif fxfxCfggg 洛 必 达 法 则 ： 要 求 存 在 且 存 在 此 时2., , , ,.ABC型忽 略 掉 分 子 分 母 中 可 以 忽 略 掉 的 较 低 阶 的 无 穷 大 保 留 最 高 阶 的 无 穷 大 再 化 简 计 算分 子 分 母 同 除 以 最 高 阶 无 穷 大 后 再 化 简 计 算洛 必
12、达 法 则 型型 或转 化 为数 有 理 化通 过 分 式 通 分 或 无 理 函型 “0“,3 0104转 化 为 .1lim176500 或 求 对 数 来 计 算通 过型型型 求 对 数求 对 数 exx 二、分段函数： , .分 段 点 的 极 限 用 左 右 极 限 的 定 义 来 求 解 切线方程为： 法线方程为)(00xfy )(1000xfy 基本初等函数的导数公式 (1) ， 是常数 (2) )(C 1)(x (3) ，特别地，当 时， axlneae (4) ， 特别地，当 时，al1)(log xln (5) (6) xxcssin xsin)(cos (7) (8) 2
13、2eo1)(ta x22ci1t (9) (10) xxtan)(sce xot)(s)(cs (11) (12) ari21 21arx (13) (14) 2)(rctnx 2(rcot) 函数的和、差、积、商的求导法则 ， 的和、差、商 (除分母为 0 的点外) 都在点 x 可导,可 导都 在 点及函 数 vxu)()( )(xvu及)1( x)()()(2vu)()(32xvxvu )0x 基本初等函数的微分公式 (1)、 ( 为常数)；0dc (2)、 ( 为任意常数)；1xdx (3)、 ，特别地，当 时， ；()lnaea()xde (4)、 ，特别地，当 时， ；logldxa
14、 1lndx (5)、 ； (sin)cd (6)、 ；ixx (7)、 ；2(ta)sed (8)、 ；cocd (9)、 ； (s)tanxx (10)、 ；(cs)cotdxxd (11)、 ；21arin (12)、 ；2(cos)dxdx (13)、 ；21artn (14)、 2(cot)dxdx 曲线的切线方程 00()yfx 幂指函数的导数 极限、可导、可微、连续之间的关系 极限 连续 可导 可微 条件 A 条件 B，A 为 B 的充分条件 条件 B 条件 A，A 为 B 的必要条件 条件 A 条件 B，A 和 B 互为充分必要条件 边际分析 边际成本 MC = ；边际收益 M
15、R = ；()Cq ()Rq 边际利润 ML = ， = MRMC L()C 弹性分析 在点 处的弹性，)(xfy0 特别的，需求价格弹性： ()EDp 罗尔定理 若函数 满足： (1) 在闭区间 连续；)(xf ,ba (2) 在开区间 可导； )( (3) ，则在 内至少存在一点 ，使 )f),(0)(f lnvxvx uuvx 00()xyx 拉格朗日定理 设函数 满足 : )(xf (1) 在闭区间 连续；,ba (2) 在开区间 可导，)( 则在 上至少存在一点 ，使得 ),(baabff)( 基本积分公式 (1) 0dxC (2) 特别地： kkdxC (3) 11xd (4) （
16、有时绝对值符号也可忽略不写）Cx|ln (5) ad xl (6) exx (7) Csinco (8) xdi (9) tasecco22 (10) Cxdxdotin22 (11) sectasec (12) xo (13) （或 ）Cxdarctn12 Cxarcdot12 (14) （或 ）xsi2 s2 (15) ，xd|co|lnta (16) ，Cxsico (17) ，|tae|lse (18) ，dxcosnt (19) ， ，xart12 )0( (20) ， ，Caxl xy0ab()ygx()yfxcd()y()x (21) ， ，Caxxadrcsin2 )0( (2
17、2) ， 2l a 常用凑微分公式 (1)、 0,1baxd (2)、 2 (3)、 xdx12 (4)、 (5)、 xdln1 (6)、 xe (7)、 sicosx (8)、 dxinco (9)、 tase2 (10)、 xco (11)、 21rsindx (12)、 xact2 一阶线性非齐次微分方程 的通解为 ()()PxdPxdyeQeC 平面图形面积的计算公式 1)区域 D 由连续曲线 和直线 x=a,x=b 围成,其中 （右图） ()()dyPQxx()()fxgaxbbaAfd的 面 积 ,()yfgx 2)区域 D 由连续曲线 和直线 x=c,x=d 围成,其中 （右图）
18、 平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式 1 、绕 x 轴的旋转体体积（右图） 注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴 2、绕 y 轴的旋转体体积（右图） 注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴 由边际函数求总函数 00()()()qCfxdC为 固 定 成 本 ） 0()()qRgxd 总利润函数为 。0()qLRgxfdC 多元复合函数的导数公式 设函数 u = (x, y)、v = (x, y)在点(x，y )有偏导数，函数 z = f (u, v)在对应点( u, v)处可微，则复合函 数 z = f ( (x, y), (x, y)在点(x ，y)的偏导数 , .zuzvxyy 两个特例：
19、 z = f (u, v)， ：(),tvtddutvt z = f (u)，u = u (x , y)： (), ().zzuf fxxyy 隐函数导数公式 二元方程 所确定的隐函数：(,)0FxyxyFd (),()xy()ycd()dcAydD的 面 积 2()bxaVfdx2()dycVgy 三元方程 F(x, y, z) = 0 所确定的二元隐函数： ，xzFyz 1.确定函数定义域的主要依据： (1)当 f(x)是整式时，定义域为 R； (2)当 f(x)是分式时，定义域是使分母不等于 0 的 x 取值的集合； (3)当 f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的 x 取值的集合； (4)当 f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于 0 的 x 取值范围； (5)当 f(x)是对数式时，定义域是使真数大于 0 的 x 取值的集合； (6)正切函数的定义域是 ；余切函数的定义域是x|xk，kZ；kx,2| (7)当 f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中 x 取值的实际意义. 2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.
