1、第五讲 和差问题 课前复习 1.二(1)班有学生 52 人，二(2)班有学生 48 人，要使这两个班学生人数一样多，应该从二(1)班中调几个 学生到二（2）班？ 【答案】二(1)班比二(2)班多几人? 52-48=4(人) 二(1)班调几人到二(2)班，使两班人数相等? 42=2(人) 答：应该从二(1)班调 2 人到二(2)班，两个班学生人数才会一样多. 2. 小华比小荣多 12 张画片，要使两人的画片一样多，小华应给小荣几张画片? 【答案】122=6（张） ，小华应给小荣 6 张画片. 我们先来认识一下和差问题：甲乙两数的和是 16，差是 2，求甲乙两数各是多少?类 似这样的问题，就叫做和
2、差问题. 搞清楚两个数的和与差是解决和差问题的关键，在解题过程中，有些题目往往不直接告诉我们这两 个数的和或差.当我们熟悉了和差问题的特点和解法后，应当有意识地把题目中的数量关系，转化为直接 已知的两个量的和与差. 解题的基本公式是： (两数的和一两数的差)2=较小的数 较小的数+两数的差=较大的数 (两数的和+两数的差)2=较大的数 较大的数一两数的差=较小的数 解答完后，将得到的结果放回原题中，看是否符合题意，你就清楚自己做得对不对了. 实践应用 【例 1】 二年级一班和二班共有 85 人，一班比二班多 3 人.问一班、二班各有多少人? 【分析】本题是和差问题的基本题型，已知两个数的和与两
3、个数的差，然后求大小两个数各是多少.和差 问题一般可以借助线段图来进行分析. 方法一：一班人数：(85+3)2=44(人) ，二班人数：44-3=41（人） 方法二：二班人数：(85-3)2=41(人) ，一班人数：41+3=44（人） 【例 2】 王大伯家养的白兔和黑兔一共有 22 只，如果再买 4 只白兔，白兔和黑兔的只数一样多.王大 伯家养的白兔和黑兔各多少只? 方法一：黑兔有多少只? (22+4)2=13(只) 白兔有多少只? 22-13=9(只) 或 13-4=9(只) 方法二：白兔有多少只? (22-4)2=9(只) 黑兔有多少只? 22-9=13(只) 或 9+4=13(只) 答
4、：白兔有 9 只，黑兔有 13 只. 【例 3】 图书馆的书架上、下两层共存书 220 本，如果从上层拿出 10 本放人下层，则两层书架上书 数相等.求原来上、下层各存书多少本? 【分析】根据从上层拿出 10 本放入下层后两层书架上的书同样多，可以知道上层书架上的书比下层书架 上的书多 2 个 10 本，如果从上层书架中减去 102=20(本)，就和下层书架上的书同样多，那么上、下两 层书架上书的总数减少了 20 本，这时上、下两层书架上的书的总数就相当于下层书架上书的 2 倍. 方法一：下层：(220-20)2=100(本) 上层： 220-100=120(本) 方法二：上层；（220+20
5、）2=120（本）下层：220-120=100（本） 拓展训练 1、 陈红和李玲平均身高为 130 厘米，陈红比李玲高 8 厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米? 【分析】陈红和李玲平均身高为 130 厘米，她们身高的和为：1302=260(厘米) 方法一： 陈红：(260+8)2 =134(厘米) 李玲：134-8=126(厘米) 方法二：李玲：（260-8）2 =126(厘米) 陈红：126+8=134（厘米） 2、二(1)班平均分成两组做游戏，如果从第一组调 3 人到第二组，两组的人数同样多，都是 12 人， 原来两组各有多少人? 【分析】二(1)班一共有学生 122=24（人） ，如果从第
6、一组调 3 人到第二组，两组的人数同样多，那么 可以看出第一组比第二组多 32=6（人） ，分析到这里就是一道典型的和差应用题了. 方法一： 一组：（24+6）2=15（人） 二组：15-6=9（人） 方法二： 一组：（24-6）2=9（人） 二组：24-9=15（人） 【例 4】长方形操场的长与宽相差 80 米，沿操场跑一周是 400 米，求这个操场的长与宽是多少米？ 【分析】一周有两个长和两个宽，由条件可知长与宽的和为 4002=200(米) 长是(200+80)2=140(米) 宽是(200-80)2=60(米) 拓展训练 甲、乙两人同时打字，2 分钟共打了 240 个字，已知甲每分钟比
7、乙多打 10 个字.问甲、乙两人每分 钟各打多少个? 【分析】2 分钟共打了 240 个字，那么甲、乙两人一分钟就打了 2402=120（个）. 方法一：甲 (2402+10)2=65(个) 乙 65-10=55(个) 方法二：乙 (2402-10)2=55(个) 甲 55+10=65（个） 【例 5】 有大、小两个油桶，一共装油 24 千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩 9 千克和 5 千克.问：原来大、 小两个油桶各装油多少千克? 【分析】两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩 9 千克和 5 千克，那么也就是说大桶比小桶多 4 千克的 油，知道这两桶油的和，又找到了这两桶油的差，这道题
8、就变成了典型的和差问题的应用题了. 方法一：大桶：（24+4）2=14（千克） 小桶：14-4=10（千克） 方法二：小桶：（24-4）2=10（千克） 大桶：10+4=14（千克） 【例 6】 甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多 19 千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中 的苹果比甲筐的多 3 千克? 【分析】如果把初始状态中乙筐的苹果看作 0 千克，那么甲筐相当于有 19 千克苹果同时相当于甲、乙 两筐共有苹果 19 千克重新取放后问题可改变为：甲、乙两筐共有苹果 19 千克，其中乙筐中的苹果比 甲筐的多 3 千克，求乙筐中有苹果多少千克 解 ： 根据分析，从甲筐中取出苹果： (19
9、+3)2=11(千克) 【例 7】 甲、乙两校共有学生 1262 人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校 25 人，这样 甲校比乙校还多 12 人，求两校原来有学生多少人? 【分析】由甲校转入乙校 25 人，这样甲校比乙校还多 12 人，实际上甲校比乙校多 252+12=62(人)，乙： (1262-62)2=600(人) 甲：1262-600=662(人) 解答和差应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式有些题目明确给了两个数的差，而有 些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差” 本题就是经过转换变形后，成为一个基本的和差问题 拓展训练 小华和小敏共有铅笔 25
10、 枝，如果小华用去 4 枝，小敏用去 3 枝，那么小华还比小敏多 2 枝，小华 和小敏原来各有多少枝铅笔？ 【分析】如果小华用去 4 枝，小敏用去 3 枝，那么小华还比小敏多 2 枝，这就说明原来小华的铅笔比小 敏的铅笔多 3 枝.找到了这个暗差，这道题就简单了. 方法一：小华：（25+3）2=14（枝） 小敏：14-3=11（枝） 方法二：小敏：（25-3）2=11（枝） 小华：11+3=14（枝） 【例 8】 有三块布料一共 190 米，第二块比第一块长 20 米，第三块比第二块长 30 米.每块布料各长 多少米? 【分析】先画线段图 从线段图可以看出，以第一块为标准，第二块减少 20(米
11、)，第三块减少 20+30=50(米)，总和减少 20+50=70(米)，即 190-70=120 (米).120 米相当于第一块布料长的 3 倍，求出第一块布料的长度，第二 块、第三块就可以求出. 解(1)第一块布料长度的 3 倍是：190-(20+20+30)=120(米) (2)第一块布料的长度是： 1203=40(米) (3)第二块布料的长度是： 40+20=60(米) (4)第三块布料的长度是： 60+30=90(米) 【例 9】 有一个盒子里装满了球，第一次拿出 1 只，第二次比第一次多拿了 2 只，第三次比第二次 多拿了 2 只8 次刚好拿完.这盒球共有多少只? 【分析】 第一次
12、拿 1 只， 第二次拿(1+2)只，比第一次多 1 个 2， 第三次拿(1+2+2)只，比第一次多 2 个 2， 第四次拿(1+2+2+2)只，比第一次多 3 个 2， 第八次拿(1+2+2+2+2+2+2+2)只，比第一次多 7 个 2. 解： 8+2(1+2+3+4+5+6+7) =8+228 =8+56 =64(只) 答：这盒球一共有 64 只. 知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，这类和差问题的应用题可用下面的公式计算. (和+差)2=大数 和-大数=数 (和-差)2=小数 和-小数=大数 附加题 （以下提供的内容，供老师参考使用） 1. 【例 3】解答后，可将条件改为：如果从
13、上层拿出 10 本放入下层后，上层比下层还多 6 本.问题不变. 一方面是【例 3】的扩展题，另一方面为【例 6】的解题思路作铺垫. 102+6=26（本） (220-26)2=97(本) 上层 220-97=123(本) 2. 两个连续奇数的和是 36，这两个数分别是多少? 【分析】两个连续奇数的差是 2. 较小数：(36-2)2=17 较大数：36-17=19 3.某一服装厂做童装，甲乙两人共做 36 件，乙丙两人共做 34 件，甲丙两人共做 38 件.三人各做多少件? 评注：本题的最佳解法为解法一. 【分析】：此题关键在于转化为求两个数的和与差.因此，解法较多. 解法一：甲乙 36 件，
14、乙丙 34 件，甲丙 38 件，共 36+34+38=108(件) 这正好是甲乙丙和的 2 倍.因此， 甲乙丙和 1082=54(件) 甲：54-34=20(件) 乙：54-38=16(件) 丙：54-36=18(件) 解法二：甲和丙同样与乙相加，结果甲乙和是 36 件，乙丙和是 34 件，说明甲比丙多 36-34=2(件)，又知 甲丙的和是 38 件，所以， 甲：(38+2)2=20(件) 乙：36-20=16(件) 丙：38-20=18(件) 解法三：甲乙 36 件加上乙丙 34 件，就是甲丙与乙的 2 倍的和，减去甲丙 38 件，剩下就是乙的 2 倍 乙： (36+34-38)2 =32
15、2=16(件) 甲：36-16=20(件) 丙：38-20=18(件) 练 习 五 1.果园共 260 棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多 20 棵.桃树和梨树各有多少棵? 【答案】方法一：桃树：（260+20）2=140（棵） 梨树：140-20=120（棵） 方法二：梨树：（260-20）2=120（棵） 桃树：120+20=140（棵） 答：桃树有 140 棵，梨树有 120 棵. 2小华和小林一起做花，小华把自己做的花送给小林 5 朵，两人做的花的朵数一样多，这时小林有 12 朵花，原来小华做了几朵花? 【答案】一共的花：122=24（朵） ，小华比小林多 52=10（朵） 方法一：
16、小华：（24+10）2=17（朵） 小林：17-10=7（朵） 方法二：小林：（24-10）2=7（朵） 小华：7+10=17（朵） 答：原来小华做了 17 朵花. 3. 甲乙两个仓库共存大米 56 包，从第乙仓库调 8 包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、 乙两个仓库原有大米各多少包? 【答案】乙比甲多 82=16（包） 甲：（56-16）2=20（包） 乙：56-20=16（包） 答：甲仓库有大米 20 包，乙仓库有大米 16 包. 4书架上有故事书 45 本，比连环画少 10 本，科技书比连环画多 10 本，问：故事书多，还是科技书多? 多几本? 【答案】科技书多，多 10+1
17、0=20（本） 5有一根钢管长 12 米，要锯成两段，使第一段比第二段短 2 米.每段各长多少米? 【答案】 第一段：(12-2)2=5(米) 第二段：12-5=7(米) 答：第一段长 5 米，第二段长 7 米. 6. 兄弟俩现在年龄和是 28 岁，3 年前哥哥比弟弟大 2 岁，兄弟俩现在各多少岁? 【答案】3 年前哥哥比弟弟大 2 岁，现在哥哥仍比弟弟大 2 岁，他们的年龄差不变. 哥哥：(28+2)2=15(岁) 弟弟：28-15=13(岁) 答：哥哥现在 15 岁，弟弟现在 13 岁. 数学故事 报效祖国宏愿- 华罗庚的故事 同学们都知道，华罗庚是一位靠自学成才的世界一流的数学家.他仅有
18、初中文凭，因一篇论文在科 学杂志上发表，得到数学家熊庆来的赏识，从此华罗庚北上清华园，开始了他的数学生涯. 1936 年，经熊庆来教授推荐，华罗庚前往英国，留学剑桥.20 世纪声名显赫的数学家哈代，早就听 说华罗庚很有才气，他说：“你可以在两年之内获得博士学位.”可是华罗庚却说：“我不想获得博士学 位，我只要求做一个访问者.” “我来剑桥是求学问的，不是为了学位.”两年中，他集中精力研究堆垒素 数论，并就华林问题、他利问题、奇数哥德巴赫问题发表 18 篇论文，得出了著名的“华氏定理” ，向全 世界显示了中国数学家出众的智慧与能力. 1946 年，华罗庚应邀去美国讲学，并被伊利诺大学高薪聘为终身
19、教授，他的家属也随同到美国定居， 有洋房和汽车，生活十分优裕.当时，不少人认为华罗庚是不会回来了. 新中国的诞生，牵动着热爱祖国的华罗庚的心.1950 年，他毅然放弃在美国的优裕生活，回到了祖国， 而且还给留美的中国学生写了一封公开信，动员大家回国参加社会主义建设.他在信中袒露出了一颗爱中 华的赤子之心：“朋友们！梁园虽好，非久居之乡.归去来兮为了国家民族，我们应当回去”虽 然数学没有国界，但数学家却有自己的祖国. 华罗庚从海外归来，受到党和人民的热烈欢迎，他回到清华园，被委任为数学系主任，不久又被任 命为中国科学院数学研究所所长.从此，开始了他数学研究真正的黄金时期.他不但连续做出了令世界瞩 目的突出成绩，同时满腔热情地关心、培养了一大批数学人才.为摘取数学王冠上的明珠，为应用数学研 究、试验和推广，他倾注了大量心血. 据不完全统计，数十年间，华罗庚共发表了 152 篇重要的数学论文，出版了 9 部数学著作、11 本数 学科普著作.他还被选为科学院的国外院士和第三世界科学家的院士. 从初中毕业到人民数学家，华罗庚走过了一条曲折而辉煌的人生道路，为祖国争得了极大的荣誉.
