1、1“涂色”问题的解法探究作者（江西省大余县新城中学，江西大余，341501）指导教师（江西省赣南师范学院数计学院，江西赣州，341000）【摘要】排列组合知识是每年高考必须考查的内容之一,常常以选择题和填空题出现排列组合试题的题量不多,但是试题的内容却是新颖有趣尤其近几年高考中,与排列组合知识密切相关的“涂色”试题常考常新。本文在研究近几年高考试题基础上，总结归纳了有关“涂色”问题的常见题型的求解方法【关键词】涂色问题排列组合计数原理2THESOLUTIONMETHODOFWITH“COLOR“PROBLEMSTUDIESAUTHORLAIXINGCAI（JIANGXIPROVINCEDAYU
2、COUNTYXINCHENGMIDDLESCHOOL,JIANGXIDAYUCOUNTY341000,CHINA）TUTORZENGJIANGUO（DEPARTMENTOFMATHEMATICSANDCOMPUTERSCIENCE,GANNANTEACHERSCOLLEGE,JIANGXIGANZHOU341000,CHINA）【ABSTRACT】THEARRANGEMENTCOMBINATIONKNOWLEDGEISONEOFCONTENTSWHICHEVERYYEARCOLLEGEENTRANCEEXAMINATIONMUSTEXAMINE,FREQUENTLYCHOOSESTHETOPI
3、CANDFILLSUPTHETOPICTOAPPEARTHEARRANGEMENTCOMBINATIONTESTQUESTIONTOPICQUANTITYARENOTMANY,BUTTHETESTQUESTIONCONTENTACTUALLYISNOVELISINTERESTINGINTHECOLLEGEENTRANCEEXAMINATION,“SPREADSTHECOLOR“WITHTHEARRANGEMENTCOMBINATIONKNOWLEDGECLOSECORRELATIONTESTQUESTIONCHANGKAOCHANGTOBENEWESPECIALLYINRECENTYEARST
4、HISARTICLENEARLYSEVERALAGEDTESTSINTHETESTQUESTIONFOUNDATIONINTHERESEARCH,SUMMARIZEDINDUCESRELATED“HASSPREADTHECOLOR“THEQUESTIONCOMMONTOPICSOLUTIONMETHOD【KEYWORD】SPREADSTHECOLORQUESTIONARRANGEMENTCOMBINATIONCOUNTSTHEPRINCIPLE3解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。涂色问题的常见类型及求解方
5、法如下1、区域涂色问题11根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。例1、用5种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种分析先给号区域涂色有5种方法，再给号涂色有4种方法，接着给号涂色方法有3种，由于号与、不相邻，因此号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有543424012据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。分析依题意只能选用4种颜色，要分四类（1）与同色、与同色
6、，则有44A种方法；（2）与同色、与同色，则有44A种方法；（3）与同色、与同色，则有44A种方法；（4）与同色、与同色，则有44A种方法；24（5）与同色、与同色，则有44A种方法；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A120种例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种分析依题意至少要用3种颜色（1）当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，且区域3与5必须同色，故有34A种方法；（2）当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，故有44A种方法；若区域3与5同色，则区域
7、2与4不同色，有44A种方法，故用四种颜色时共有244A种方法。（3）由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A244A242247213根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法分析可把问题分为三类（1）四格涂不同的颜色，方法种数为45A；（2）有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为12542CA；（3）组对角小方格分别涂
8、相同的颜色，涂法种数为25A，2431512345因此，所求的涂法种数为212255452260ACAA14根据相间区域使用颜色分类例5如图，6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可用,有几种方法解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法故有4333108种方法。（2）当相间区域A、C、E着两种不同的颜色时，有2234CA种着色方法，此时B、D、F共有322种着色方法，故共有2234322432CA种着色方法。（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜
9、色时有34A种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法。此时共有34222192A种方法。故总计有108432192732种方法。15几何体的面涂色问题，其解法是类似的。例6、四棱锥PABCD，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法解这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、ABCDEFABCDP5321464相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有34A种方法；当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有1424CA种；故满足题意的涂色方法总数为31442472A
10、CA2、点的涂色问题解这类问题的思路和方法主要有（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对应顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。例7、将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少解法一满足题设条件的染色至少要用三种颜色。（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有125460CA种方法。（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选
11、两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有24A种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240CACC种方法。（3）若恰用五种颜色染色，有55120A种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60240120420种。7解法二设想染色按SABCD的顺序进行，对S、A、B染色，有54360种染色方法。由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而
12、对C、D染色有13227种染色方法。由乘法原理，总的染色方法是607420解法三可把这个问题转化成相邻区域不同色问题如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法解答略。3、线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要思路和方法有根据共用了多少颜色分类讨论根据相对应线段是否同色分类讨论。例8、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法解法一（1）使用四颜色共有44A种（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有112423CCA种，（3）使用二种颜色时，则两组对边
13、必须分别同色，有24A种因此，所求的染色方法数为411224423484ACCAA种解法二涂色按ABBCCDDA的顺序进行，对AB、BC涂色有SCDAB84312种,由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选择CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有13227种涂色方法。由乘法原理，总的涂色方法数为12784种例9、用六种颜色给正四面体ABCD的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法解（
14、1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有36A种方法。（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有2436CA种方法。（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1536CA种（4）若恰用六种颜色涂色，则有66A种不同的方法。综上，满足题意的总的染色方法数为4080665613462336AACACA种虽然有关“涂色”试题内容常考常新,但是只要我们领悟了这一考点的数学思想,把握了其中的解题方向,掌握了其中的解题方法,在高考中定能结出胜利的果实【参考文献】1阎天叶婧主编西藏人民出版社,20032何维安编东方出版中心，2006320022006数学最新五年高考真题汇编详解西藏人民出版社20064崔建福编陕西旅游出版社20049
