集合间的基本运算.doc_文客久久网wenke99.com

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1、集合间的基本运算一、知识概述 1、交集的定义一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合，叫做 A，B 的交集记作 A B（读作A 交 B），即 A B=x|x A，且 x B 2、并集的定义一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A，B 的并集记作：A B（读作A 并 B），即 A B =x|x A，或 x B 3、补集：一般地，设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即），由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集），记作，即 = 性质： . 全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合

2、的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用 S，U 表示 4、运算性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二、例题讲解例 1、设集合 A=4，2m1，m 2，B=9，m5，1m，又 A B=9，求实数 m 的值解： A B=9，2m1=9 或 m2=9，解得 m=5 或 m=3 或 m=3 若 m=5，则 A=4，9，25，B=9，0，4与 A B=9矛盾；若 m=3，则 B 中元素 m5=1m=2，与 B 中元素互异矛盾；若 m=3，则 A=4，7，9，B=9，8，4满足 A B=9m=3 例 2、设 A=x|x2axb=0，B=x

3、|x 2cx15=0，又 A B=3，5， AB=3，求实数 a，b，c 的值解： AB=3，3B，3 23c15=0， c=8，由方程 x28x15=0 解得 x=3 或 x=5 B=3，5由 A （A B）=3，5知，3A，5 A（否则 5AB，与 AB=3矛盾）. 故必有 A=3，方程 x2axb=0 有两相同的根 3 由韦达定理得 33=a，3 3=b，即 a=6，b=9，c=8 例 3、已知 A=x|x33x 22x0，B=x|x 2axb0，且 AB=x|0x2，ABxx2，求 a、b 的值解： A=x|2x1 或 x0，设 B=x 1，x 2，由 AB=（0，2知 x22，

4、且1x 10，由 AB=（2，）知2x 11. 由知 x11，x 22， a（x 1x 2）1，bx 1x22 例 4、已知 A=x|x2axa 219=0，B=x|x 25x8=2，C=x|x 22x8=0. 若 AB，且 AC= ，求 a 的值解： B=x|(x3)(x2)=0=3，2， C=x|(x4)(x2)=0=4，2，又 AB， AB 又AC= ，可知4 A，2 A，3A 由 93aa 219=0，解得 a=5 或 a=2 当 a=5 时，A=2，3，此时 AC=2 ，矛盾，a5；当 a=2 时，A=5，3，此时 AC= ，AB=3 ，符合条件综上知 a=2 例 5

5、、已知全集 U=不大于 20 的质数，M，N 是 U 的两个子集，且满足 M（）=3，5，（）N=7，19，（）（）=2，17，求 M、N 解：用图示法表示集合 U，M，N（如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知： M=3，5，11，13，N=7，11，13，19. 点评：本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素特别提示：下列四个区域：对应的集合分别是：；；；一、选择题 1、下列命题中，正确的是（） A若 U=R，A U，； B若 U 为全集，表示空集，则 =； C若 A=1，2

6、，则2 A； D若 A=1，2，3，B=x|x A，则 AB 2、设数集且 M、N 都是集合 x|0x1的子集，如果把 ba 叫做集合x|axb的“长度”，那么集合 MN 的“长度”的最小值是（） A B C D 3、设 M、N 是两个非空集合，定义 M 与 N 的差集为 MN=x|xM 且 x N，则 M（MN）等于（） AN BMN CMN DM 4、已知全集，集合 M 和的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（） A3 个 B2 个 C1 个 D无穷个 1、 =U，2A，2单独看是一个集合，但它又是 A 中的一个元素 2、集合 M 的“长

7、度”为，集合 N 的“长度”为，而集合 x|0x1的“长度”为 1，故 MN 的“长度”最小值为 3、MN=x|xM 且 x N是指图（1）中的阴影部分同样 M（MN）是指图（2）中的阴影部分 4、图形中的阴影部分表示的是集合，由解得集合，而 N 是正奇数的集合，，故选 B 二、填空题 5、已知集合 A=x|x23x2=0，集合 B=x|ax2=0（其中 a 为实数），且 AB=A，则集合 C=a|a 使得 AB=A=_ 5、0，1，2 解析：A=1，2，由 AB=A，得 B A 1A，即得 a=2；或 2A，即得 a=1；或 B=，此时 a=0. C=0，1，2 6、非空集合

8、 S 1，2，3，4，5，且若 aS，则 6aS，这样的 S 共有 _个 6、6 解析：S=1，5或2，4或3，或1，3，5，或2，4，3，或 1，5，2，4 三、解答题 7、设集合 . （1）若，求实数 a 的值（2）若，求实数 a 的值 7、解：（1）9 ，9 A. 则 a2=9 或 . 解得 a=3 或 5. 当时，（舍）；当时，（符合）；当时，（符合）. 综上知或 . （2）由（1）知 . 8、已知全集 UR， 0 ，或 x ，若，求实数的取值范围 8、解：依题设可知全集且 0 5 ，，由题设可知. 分类如下：若，则 m12m1 m2. 若，则

9、m12m1，且，解得 2m3. 由可得：m3. 实数 m 的取值范围为m|m3. 9、已知全集 U=|a1|，(a2)(a1)，4，6 （1）若求实数 a 的值；（2）若求实数 a 的值 9、解：（1）且 B U， |a1|=0，且(a2)(a1)=1，或|a1|=1，且(a2)(a1) =0；第一种情况显然不成立，在第二种情况中由|a1|=1 得 a=0 或 a=2，a=2. （2）依题意知|a1|=3，或(a2)(a1)=3，若|a1|=3，则 a=4，或 a=2；若(a2)(a1)=3，则经检验知 a=4 时，(42)(41)=6，与元素的互异性矛盾 a=2 或 10、设

10、集合 A = | ，B = | ，，若 A B=B，求实数的值 10、解：先化简集合 A= . 由 A B=B，则 B A，可知集合 B 可为，或为0，或4，或 (i)若 B= ，则，解得； (ii)若 B，代入得 =0 =1 或 = ，当 =1 时，B=A，符合题意；当 = 时，B=0 A，也符合题意 (iii)若4 B，代入得 =7 或 =1，当 =1 时，已经讨论，符合题意；当 =7 时，B=12，4，不符合题意综上可得， =1 或 11、已知集合 A=x|x24mx2m6=0，B=x|x0，若 AB ，求实数 m 的取值范围 11、解：设全集若方程 x24mx2

12、2，a，a 2，又 AB=0，1，2，4，16，a，a 2=4，16， a=4，故选 D 集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。图形不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，同时也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合运算能建立在直观的形象思维基础上.因此图形既是迅速理解题意的工具，又是正确解题的手段. 例 1、某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为 49，电视机拥有率为 85，洗衣机拥有率为 44，至少拥有上述三种电器中两种以上的占 63，三种电器齐全的为 25，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为（） A10 B12 C15 D27 分析：这是一个小型应用题

13、把各种人群看做集合，本题就是已知全集元素个数，求其某个子集的元素个数，可借助 Venn 图解法解：不妨设调查了 100 户农户， U被调查的 100 户农户， A100 户中拥有电冰箱的农户， B100 户中拥有电视机的农户， C100 户中拥有洗衣机的农户，由图知，的元素个数为 498544632590 则的元素个数为 10090=10 答案：A 一般此类题利用 Venn 图直观手段，使集合中元素的个数，以及集合间的关系更直接的显示，进而根据图逐一把文字陈述的语句“翻译”为数学符号语言，通过解方程和限制条件的运用解决问题。变式延伸某车间有 120 人，其中乘电车上班的 84 人，乘汽车上班的 32 人，两车都乘的 18 人，求： (1)只乘电车的人数；(2)不乘电车的人数； (3)乘车的人数；(4)不乘车的人数； (5)只乘一种车的人数解：设只乘电车的人数为人，不乘电车的人数为人，乘车的人数为人，不乘车的人数为人，只乘一种车的人数为人，如图所示： (1) 66 人，(2) 36 人，(3) 98 人，（4）人，（5）人.

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