1、1.1 集 合 11.1 集合的含义与表示 读教材填要点 1元素与集合 (1)元素与集合的定义： 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) (2)集合中元素的性质： 确定性：即给定的集合，它的元素是确定的 互异性：即给定集合的元素是互不相同的 无序性 (3)集合相等： 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的 (4)元素与集合的关系： a 是集合 A 的元素，记作 aA，a 不是集合 A 的元素，记作 aA. 2集合的表示方法 除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合 (1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示
2、集合的方法 (2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 3常用数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或 N Z Q R 小问题大思维 1著名数学家能否构成一个集合？ 提示：不能，没有一定的评定 标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合 2一个集合能表示成s，k ， t，k吗？ 提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算 作这个集合的一个元素 3集合5，8和( 5，8)是同一集合吗？ 提示：不是同一集合集合5，8 中元素有 2 个，为数而集合(5，8)中有一个 元素为坐标(5，8) 集合的基本概念
3、例 1 下列每组对象能否构成一个集合： (1)某校 2013 年在校的所有高个子同学； (2)不超过 20 的非负数； (3)帅哥； (4)直角坐标系平面内第一象限的一些点； (5) 的近似值的全体3 自主解答 “高个子”没有明确的标准，因此 (1)不能构成集合(2) 任给一个实数 x，可 以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数” ，即 “0x 20”与“x20 或 x5 的解集 自主解答 (1)集合用描述法表示为(x，y )|Error!解方程组，得Error!故集合用列举法 表示为(4，1) (2)由 2x35 可得 x4，所以不等式 2x35 的解集为x| x4，xR 1一个集合可以
4、用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和 描述法的适用范围 2方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不 等式( 或不等式组)的解集一般用描述法表示注意，当题目中要求求出 “的解集”或写出 “的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式 3有下面六种表示方法 x1，y2 Error! 1,2 (1,2) (1,2) x，y|x1，或 y2 其中，能正确表示方程组Error!的解集的是_( 把所有正确答案的序号填在空格 上) 解析： 序号 判断 原因分析 否 中含两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个 点 能 代表元素是点
5、的形式，且对应值与方程组解相同 否 中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素 否 没有用花括号“ ”括起来，不表示集合 能 中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等 否 中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号( )，条件中“或” 也要改为“且”. 答案： 解题高手 易错题 审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试 试能否走出迷宫！ 已知集合 A 中含有三个元素，1,0，x，若 x3A，求实数 x 的值 错解 x 3A，故 x30 或 x31 或 x3x， 若 x30，则 x0； 若 x31，则 x1； 若 x3x，则 x1 或 x0. 综上所述：所求 x 的值为
6、 0 或 1. 错因 本题错误的原因有两个，一是没有考 虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入 检验，得出了错误结果；二是解 x2x 时漏掉了 x1 这个答案，也导致了错误的结果 正解 x 3A， x3 是集合 A 中的元素 又 集合 A 中含有 3 个元素，需分情况讨论： 若 x30， 则 x0，此时集合 A 中有两个元素 0，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若 x31， 则 x1，此时集合 A 中有两个元素 1，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若 x3x， 则 x0、x 1 或 x1，当 x0、x1 时不符合集合中元素的互异性，都舍 去当 x1 时，此时集合 A 中有三个元素 1,0，
7、 1，符合集合中元素的互异性； 综上可知，x 1. 1有下列各组对象： 接近于 0 的数的全体； 比较小的正整数的全体； 平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体； 正三角形的全体 其中能构成集合的个数是( ) A2 B3 C4 D5 解析： 不能构成集合， “接近”的概念模糊，无明确 标准不能构成集合， “比较小” 也是不明确的，多小算小没明确标准 均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合 的元素有明确的标准可依 答案：A 2下面几个命题中正确命题的个数是( ) 集合 N*中最小的数是 1； 若aN *，则 aN *； 若 aN *，bN *，则 ab 最小值是 2； x 244x 的解
8、集是2,2 A0 B1 C2 D3 解析：N *是正整数集，最小的正整数是 1，故 正确；当 a0 时， aN*，且 aN*，故 错；若 aN*，则 a 的最小值是 1，又 bN*，b 的最小值也是 1，当 a 和 b 都取最小值时，ab 取最小值 2，故正确；由集合元素的互异性知是错误的故正确 答案：C 3已知集合 M3，m1，且 4M，则实数 m 等于( ) A4 B3 C2 D1 解析：4M， 4m1，m 3. 答案：B 4已知 R Q 00 0N5 13 Q 3Z.正确的个数为 _ 解析：是正确的；是错误的 答案：3 5用适当的符号填空：已知 Ax|x3k 2，kZ，B x|x6m1，
9、mZ，则有： 17_A；5_A；17_B. 解析：令 3k217 得，k5 Z. 所以 17A. 令 3k25 得，k Z. 73 所以5A. 令 6m117 得，m3Z， 所以 17. 答案：， 6用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有 31 天的月份的全体； (2)大于3.5 小于 12.8 的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有非负偶数的集合； (5)所有能被 3 整除的数的集合； (6)方程(x1)( x2)0 的解集； (7)不等式 2x15 的解集 解：(1)1 月，3 月，5 月， 7 月，8 月， 10 月，12 月 (2)3，2， 1,0,1,2,3,4
10、,5,6,7,8,9,10,11,12 (3)x|x 是梯形或梯形 (4)0,2,4,6,8， (5)x|x3n，nZ (6)1,2 (7)x|2x15 一、选择题 1下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A一切很大的数 B高中数学的所有难题 C美丽的小女孩 D方程 x21 0 的实数根 解析：选项 A，B，C 中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故 A，B，C 中的对 象都不能组成集合 答案：D 2下列命题不正确的有( ) 很小的实数可以构成集合； 集合y| yx 21与集合( x，y)|y x 21 是同一个集合； 1， ，0.5 这些数组成的集合有 5 个元素； 3
11、264| 12| 集合(x，y)|xy0，x ，y R是指第二和第四象限内的点集 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析： 错的原因是元素不确定； 前者是数集，而后者是点集，种类不同； ， 32 64 0.5 ，有重复的元素， 应该是 3 个元素；该集合还包括坐标轴上的点| 12| 答案：D 3已知集合 A1,2,3,4,5，B(x，y)|x A，yA，x yA，则 B 中所含元素的个 数为( ) A3 B6 C8 D10 解析：列举得集合 B(2,1)， (3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，共 含有 10 个元素
12、答案：D 4定义集合运算：A*B z|zxy，xA，yB 设 A1,2，B(0,2)，则集合 A*B 的所有元素之和为( ) A0 B2 C3 D6 解析：依题意，A*B0,2,4，其所有元素之和为 6. 答案：D 二、填空题 5集合 A(2 ，2)，(2,2)中含有_个元素 解析：(2，2)，(2,2) 是两个点，有 2 个元素 答案：2 6.已知集合 A( x，y )|y2x1 ，B(x，y )|yx3，aA 且 aB，则 a 为 _ 解析：aA 且 aB， a 是方程组Error!的解 解方程组，得Error!， a 为 (2,5) 答案：(2,5) 7用描述法表示方程 x ，2 ， 7
13、2 72 3N,2N.MN. 又 0N，但 0M，M N. 集合间关系的应用 例 3 已知集合 Ax|3 x4 ，Bx|2m 12，则下列选项正确的是 ( ) A0 M B0 M CM D0M 解析：选项 B、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项 D 中是元素与集合之间的关系， 符号错误 答案：A 3已知集合 Ax| x 是平行四边形，Bx|x 是矩形，Cx|x 是正方形，D x|x 是菱形 ，则( ) AAB BC B CDC DAD 解析：选项 A 错，应当是 BA.选项 B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方 形选项 C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形 选项 D 错
14、， 应当是 DA. 答案：B 4已知 x|x2xa0，则实数 a 的取值范围是_ 解析： x|x2xa0 x|x2 xa0. 即 x2xa0 有实根 ( 1) 24 a0，得 a . 14 答案：a 14 5若a,0,1c，1，则 a_，b_，c_. 1b 解析： 0， c0， a1， 1.a1，b1. 1b 1b 答案：1 1 0 6已知集合 A1,3,2m1，集合 B3 ，m 2，若 BA，求实数 m 的值 解： BA，m 21，或 m22m1，当 m21 时， 显然无实数根；当 m22m1 时， m1. 实 数 m 1. 一、选择题 1已知集合 Mx Z| 31 D x|x0，或 x1
15、解析：B x |x1， UB x|x1 又 Ax|x0，A( UB)x| x0 又 UAx|x0 B (UA)x|x1 A(UB)B(UA)x |x0，或 x1 答案：D 利用补集运算求参数范围 例 3 设全集 UR，M x|3ax2a5，P x|2x1，若 M UP，求实数 a 的取值范围 自主解答 UPx|x2 或 x1 ， M UP， 分 M，M，两种情况讨论 (1)M 时，如图可得 Error! 或Error! a ，或 a5. 72 13 (2)M 时， 应有 3a2a5a5. 综上可知，a ，或 a . 72 13 1.MN，一般分两种情况讨论：M，M . 2.解用不等式表示的数集
16、间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单 直观，同时要注意各个端点的画法. 3已知集合 Ax| 4x 2，集合 Bx|xa0 (1)若 A B，求 a 的取值范围； (2)若全集 U R，且 A( UB)，求 a 的取值范围 解： Ax|4x 2，B x| xa ， (1)由 A B，结合数轴(如图所示) 可知 a 的范围为 a4. (2)UR， UBx |xa，要使 A UB， 须 a2. 解题 高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！ 某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都不 喜爱，则喜爱篮球运动但不
17、喜爱乒乓球运动的人数为_ 巧思 先将文字语言转化为集合语言， 设 U 为全班学生组成的集合， A、B 分别表示喜 爱篮球运动的学生组成的集合、喜 爱乒乓球运动的学生组 成的集合，再利用 Venn 图可直观得 出答案 妙解 设全集 U 全班 30 名学生，A喜爱篮球运动 的学生 ， B喜爱乒乓球运动的学生，画出 Venn 图如图所示 设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为 x，则(15 x) x(10 x) 308，解得 x3，所以喜 爱篮球运动但不喜 爱乒乓球运动的人数为 12. 答案 12 1设全集为 R，Ax |x5，Bx|31，则 A( UB)( ) A x|0x0)的定义域和对应关系
18、都相同，它们相等 x4x tt 答案：D 4函数 y 的定义域为 _ x 1x 解析：要使函数有意义，需使 Error!所以函数的定义域为x|x1 且 x0 答案：x| x 1 且 x0 5下列式子中能确定 y 是 x 的函数的是_ x 2y 21；y ；x 2 1 x y gx2(g9.8 m/s 2)；y x. 12 解析： 中每一个 x 对应两个 y，故 不是函数 中满 足式子有意 义的 x 取值范围是 Error!即 x1 且 x2，为，故也不是， 而可以确定 y 是 x 的函数 答案： 6已知 f(x) (x2 且 xR )，g(x)x 21(xR) 1x 2 (1)求 f(2)，g
19、(1) 的值； (2)求 f(g(2)的值； (3)求 f(x)，g(x)的值域 解：(1)f( x) ，f(2) ； 1x 2 12 2 14 又 g(x)x 21，g(1) 1 212. (2)f(g(2)f(2 21)f(5) . 15 2 17 (3)f(x) 的定义域为x |x2， 1x 2 由函数图象知 y0，值域是 (， 0)(0，) g(x)x 21 的定 义域是 R，由二次函数图象知最小值为 1. 值 域是 1，) 一、选择题 1函数 y 的定义域为 ( )1 x x A x|x1 Bx| x0 Cx| x1，或 x0 D x|0x1 解析：Error! 0x 1. 答案：D
20、 2下列各组函数表示同一函数的是( ) Ay 与 yx 3 x2 9x 3 By 1 与 yx1x2 Cy x0(x0)与 y1(x 0) Dyx1，xZ 与 yx1，xZ 解析：A 中 y 可化为 yx3(x3)，定义域不同； B 中 y 1|x| 1， 定 x2 9x 3 x2 义域相同，但对应关系不同；D 中定义域相同，但 对应关系不同；C 正确 答案：C 3设函数 f(x)x 23x 1，则 f(a)f (a)等于( ) A0 B6a C2a 22 D2a 26a2 解析：f(x) x 23x 1，f(a)a 23a1， f(a)a 23a 1， f(a)f(a) 6a. 答案：B 4
21、若函数 f(x)ax 21，a 为一个正常数，且 f(f(1)1，那么 a 的值是( ) A1 B0 C1 D2 解析：f( x)ax 21. f( 1)a1， f(f(1)f(a1)a( a1) 211. a(a1) 20. 又 a 为 正常数， a1. 答案：A 二、填空题 5若函数 f(x)的定义域为2a1，a1 ，值域为a3,4a ，则 a 的取值范围为 _ 解析：由区间的定义知Error!1a2. 答案：(1,2) 6已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 1 3 1 则 f(g(1)的值为_；满足 f(g(x)g(f(x)的 x 的值是_ 解析：g(
22、1)3， f(g(1)f(3)1； f(g(1)1，f(g(2)3，f(g(3) 1， g(f(1)3，g(f(2)1，g(f(3) 3， 满 足 f(g(x)g(f(x)的 x 值为 x2. 答案：1 2 7已知函数 f(x)x 2|x2|，则 f(1)_. 解析：f( x)x 2|x 2|， f(1)1|1 2| 2. 答案：2 8集合x| 12x 11用区间表示为_ x 1 2 3 g(x) 3 2 1 答案：12,10)(11 ，) 三、解答题 9已知函数 f(x)x ， 1x (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f( 1)，f(2) 的值； (3)当 a1 时，求 f(a1)的值
23、 解：(1)要使函数有意义，必 须使 x0， f(x)的定义域是(，0)(0， ) (2)f(1)1 2，f(2)2 . 1 1 12 52 (3)当 a1 时， a10，f(a1) a1 . 1a 1 10若 f(x)的定义域为3,5，求 (x)f(x)f(x)的定义域 解：由 f(x)的定义域为3,5，得 (x)的定义域需满足Error!即Error! 解得3x3. 所以函数 (x)的定义域为 3,3 12.2 函数的表示法 第一课时 函数的表示方法 读教材填要点 小问题大思维 1任何一个函数都能用解析式表示吗？ 提示：不一定如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较
24、大的函数关系就无法用解析式表示 2已知函数 f(x)如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 3 2 4 1 则 f(x)的定义域是什么？值域是什么？ 提示：由表格可知定义域为1,2,3,4， 值域为 1， 2，3，4 3如何判断一个图形是否可以作为函数图象？ 提示：任作垂直于 x 轴的直线，如果图形与此直线至多有一个交点，则此图形可以作为 函数图象；若图形与直线存在两个或两个以上的交点，则此 图形不可作为函数的图象 如图，由上述判断方法可得，(1)可作为函数的图象， (2)不可作为函数的图象，因 为存在垂 直于 x 轴的直线 与图形有两个交点 待定系数法求函数解析式 例 1 已知 f(x)
25、是二次函数，且 f(0)2，f (x1) f (x)x1，求 f(x) 自主解答 f(x )为二次函数， 可 设 f(x)ax 2bxc (a0) f(0)c2. f(x)ax 2bx2. f(x 1)a(x1) 2b(x1) 2 a(x 2 2x1)bxb2 f(x 1)f(x) 2axabx 1 Error!得Error! f(x) x2 x2. 12 32 若将例 1 中“f(0)2，f( x1)f (x)x1”改为“f (1)2，顶点坐标为( ，3)” ，求 12 f(x) 解：设二次函数 f(x)a(xh) 2k (a0) 顶 点坐 标为( ，3) 12 则 h ，k 3 12 f(
26、x)a(x )23 12 又 f(1)2， 2 a( )23. 12 5. a4 a 20. f(x)20( x )23. 12 待定系数法求函数解析式的步骤如下： 1设出所求函数含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设为 fxaxb a0，反 比例函数解析式设为 fxf(k,x) k0 ，二次函数解析式设为 fxax 2bxca0 ； 2把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组； 3解方程或方程组，得到待定系数的值； 4将所求待定系数的值代回原式从而得到函数的解析式. 1如果一次函数 f(x)，满足 f(f(x)2x1，求一次函数 f(x)的解析式 解： f(x)为一次函数，设 f
27、(x)kxb. f(f(x)f(kxb)k(kxb)b k 2xkbb 2x1. k22，kbb1， k .2 当 k 时，( 1) b1，b2 2 12 1 1 ，f(x) x1 .2 2 2 当 k 时，(1 )b1，b 1， f(x) x 1.2 2 12 1 2 2 2 利用换元法(或配凑法)求函数解析式 例 2 已知 f(1 ) ，试求 f(x) 1x 1 x2x2 1x 自主解答 法一( 换元法)：令 t1 ，则 t(，1) (1，)，于是 x ，代 1x 1t 1 入 中，可得 f(t)t 2t 1，即 f(x)x 2x1，x ( ，1)(1，) 1 x2x2 1x 法二(配凑法
28、) ：f(1 ) (1 )2(1 )1，因为 1x 1 x2x2 1x x2 2x 1x2 2xx2 1x 1x 1x 1 1，所以函数解析式为 f(x)x 2x1，x ( ，1) (1 ，) 1x 已知 fgxh x，求 fx，常用的有两种方法： 1换元法，即令 tg x，解出 x，代入 hx中，得到一个含 t 的解析式，即为函数解析 式，注意：换元后新元的范围. 2配凑法，即从 fgx的解析式中配凑出“gx ”，即用 gx来表示 hx，然后将解析式 中的 gx用 x 代替即可 . 2已知 f( 1) x2 ，求 f(x)x x 解：令 1t，则 x(t1) 2x f(t)(t1) 2 2(
29、t1)，(t1)， t 22t12t2 t 24t3. f(x)x 24x3.( x1) 函数图象的作法及应用 例 3 作出函数 yx 24x6，x0,4的图象 自主解答 yx 24x6(x2) 22 在 x0,4上如下图 1. 作函数图象的一般步骤： 1列表：计算要正确，取值要具有代表性、典型性； 2描点：点的位置要准确； 3连线：用光滑曲线连接起来. 2. 作函数图象时应注意的问题： 1在定义域内作图； 2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； 3宜标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是 实心点还是空心点. 3作出下列函数的图象 (1
30、)yx(2x2，x Z 且 x0)； (2)y2x 24x 1(00 时，垂直于 x 轴的直线与函数的图象有一个交点，当 x0 时垂直于 x 轴的 直线与函数的图象无交点 答案：D 二、填空题 5已知正方形的周长为 x，它的外接圆的半径为 y，则 y 关于 x 的解析式为_ 解析：正方形的周长为 x.正方形的边长为 . x4 正方形的对角线长为 x 24 y x(x0) 28 答案：y x(x0) 28 6下列关于函数 yf( x)(xR)的图象与直线 xa(aR)的交点，说法正确的有 _ 至多有一个；至少有一个；有且仅有一个；有一个或两个；与 a 的值有关， 不能确定 解析：直线 xa( a
31、R)是与 x 轴垂直的一条直线，与定 义域为 R 的函数 yf(x)的图象有 且仅有一个交点 答案： 7若 2f(x)f( )2x (x 0)，则 f(2)_. 1x 12 解析：令 x2 得 2f(2)f( ) ， 12 92 令 x 得 2f( )f(2) ， 12 12 32 消去 f( )得 f(2) . 12 52 答案： 52 8若 f(2x)4x 22，则 f(x)的解析式为_ 解析：f(2x)4x 22. 令 2xt，则 x ， t2 f(t)4( )2 t 22， t24 f(x)x 22. 答案：f(x) x 22 三、解答题 9设二次函数 f(x)满足 f(2x)f(2x
32、)，对于 xR 恒成立，且 f(x)0 的两个实数根 的平方和为 10，f(x )的图象过点(0,3)，求 f(x)的解析式 解： f(2x)f (2x)， f(x)的图象关于直线 x2 对称 于是，设 f(x)a(x 2) 2k(a 0)， 则由 f(0)3，可得 k34a， f(x)a(x2) 234aax 2 4ax3. ax24ax3 0 的两实数根的平方和 为 10， 10x x (x1x 2)22x 1x216 ，21 2 6a a 1，f(x)x 24x 3. 102013 年 4 月 1 日，王兵买了一辆别克新凯越 1.6 L 手动挡的家庭轿车，该种汽车燃 料消耗量标识是：市区
33、工况： 1040 L/100 km；市郊工况：6.60 L/100 km；综合工况：8.00 L/100 km. 王兵估计：他的汽车一年的行驶里程约为 10 000 km，汽油价格按平均价格 7.50 元/L 来 计算，当年行驶里程为 x km 时燃油费为 y 元 (1)判断 y 是否是关于 x 的函数，如果是，求出函数的定义域和解析式 (2)王兵一年的燃油费估计是多少？ 解：(1)y 是关于 x 的函数 函数的定义域是0,10 000， 函数解析式为 y8 7.500.60x. x100 (2)当 x10 000 时，y 0.60 10 0006 000， 所以王兵一年的燃油费估计是 6 0
34、00 元 第二课时 分段函数及映射 读教材填要点 1分段函数 如果函数 yf(x )，x A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系， 则称这样的函数为分段函数 2映射 设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意 一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 小问题大思维 1分段函数中，分几段就是几个函数，对吗？ 提示：不对分段函数是一个函数，只不过它的解析式是( 对应关系)是分段表示的，其图 象是由几段图象构成 2函数 yError!的定义域是什么？
35、 提示：定义域为(，0)1， ) 3函数与映射有哪些联系与区别？ 提示：(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义( 集合语言定义)基础上引申、拓展的；函 数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的 问题 (2)区别：函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射；而对于映射而言，A 和 B 不一定是数 集 分段函数求值问题 例 1 已知函数 f(x)Error! 求 f(5)，f( )，f(f( )的值3 52 自主解答 由5( ，2 ， (2,2)， (，2，知 f(5)3 52 514，f( )( )22( )32 .3 3 3 3 f( ) 1 ，21( 舍去) 当10)，集
36、合 B a，b (ba)，从集合 A 到集合 B 的映射 f：xy2xt ，若集合 B 的长度比集合 A 的长度大 5， 则实数 t_. 解析：由于集合 A 和集合 B 均是数集，则该映射 f：xy 是函数，且 f(x)2xt.当 xA 时， f(x)的值域为f(0) ，f(t)，即 t,3t，所以集合 B 的长度为 3tt2t ，又集合 A 的长度为 t0t，则 2tt5，解得 t 5. 答案：5 三、解答题 9已知在函数 f(x)1 (20，x x 0.212 f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x2) 函数 f(x) 在(0，)上是减函数 1x2 利用定义证明函数单调性的步骤如下
37、： 1取值：设 x1，x 2 是该区间内的任意两个值，且 x10 解析：yax 和 y 在(0，) 都是减函数， bx a0， 于是 0，即 f(x1)p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮 船在静水中的速度 v(km/h)成正比，比例系数为常数 k. (1)将全程燃料费用 y(元)表示为静水中速度 v(km/h)的函数； (2)若 s 100， p10，q110 ，k2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速 度应为多少？ 解：(1)轮船行驶全程的时间 t ， sv p y (p0 时， x0 时，f (x)满 足 f(x)x 2 2x3，x 0， 求实数 m 的取值范围 自主解答 由 f(
38、m)f(m1)0， 得 f(m)f( m1) ，即 f(1m)0 时此函数为增函数，又该函数 为奇函数 答案：D 4函数 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(3)f(3)_. 解析：f( x)为奇函数，f(3)f(3)， f(3)f( 3) 0. 答案：0 5设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x) x 2 1, 则 f(3) _. 解析：f( x)为奇函数，f(3)f(3)(91) 10. 答案：10 6已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且在0，)上为增函数，若 f(1a) f( 2a)0，求实数 a 的取值范围 12 解： f(x)为 R 上的奇函数，
39、且在0 ，) 为增函数， f(x)在 R 上为 增函数 又 f(1a) f( 2a)0， 12 f(1a)f( 2a)f(2 a ) 12 12 1 a 2a ，即 a . 12 12 实 数 a 的取值范围为( ，) 12 一、选择题 1设 f(x)是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 ( ) Af(x)f(x) 是奇函数 Bf(x)|f(x)|是奇函数 Cf(x)f( x )是偶函数 Df(x)f(x)是偶函数 解析：由函数奇、偶性的定义 知 D 项正确 答案：D 2函数 y ( ) x2x 1x 1 A是奇函数 B是偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数 解析：函
40、数 y 的定义域为 x|x1，不关于原点对称， 此函数既不是奇函 x2x 1x 1 数又不是偶函数 答案：D 3f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(3) 2，则下列各点在函数 f(x)图象上的是( ) A(3，2) B(3,2) C(2，3) D(3 ，2) 解析：f( x)在 R 上为奇函数，f(3) f (3)2，f(3)2 答案：D 4函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f(x) x1，则当 x0 时， f(x)x 1，f(x)x1. 又 f(x)为偶函数，f(x)f(x )f(x)x1. 答案：C 二、填空题 5如果定义在区间3a,5上的函数 f(x)为奇函数，那
41、么 a_. 解析：f( x)为奇函数，f(x )的定义域关于原点对称，3a 50， a8. 答案：8 6已知函数 yf( x)是定义在 R 上的偶函数，且在2,6 上是减函数，则 f(5) _f(3)( 填“” 或“b，试比较 f(a)与 f(b)的大小； (2)解不等式 f b，则 ab0， 依题意有 0 成立 fa f ba b f(a)f(b)0. 又 f(x)是奇函数，f(a) f (b)0.即 f(a)f(b) (2)由(1)可知 f(x)在1,1上是增函数，则不等式可转化为Error! 解得： . 18 借题发挥 空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非 空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而导致解题失误 1已知集合 My |yx 21，xR，N x|y ，则 M 与 N 之间的关系( )x 1 AM N BM N CMN DM 与 N 关系不确定 解析：My
