1、排列组合公式/排列组合计算公式 排列 P-和顺序有关 组合 C -不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如 把 5 本不同的书分给 3 个人,有几种分法. “排列“ 把 5 本书分给 3 个人,有几种分法 “组合“ 1排列及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列；从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元 素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1). 2组合
2、及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的 个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3其他排列与组合公式 从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成 k 类，每类的个数分别是 n1,n2,.nk 这 n 个元素的全排列数 为 n!/(n1!*n2!*.*nk!).
3、k 类元素,每类的个数无限,从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)） Pnm=n（n-1）（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）； Pnn（两个 n 分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n 为下标 1 为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个 n 分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n 为下标 1 为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30 公式 P 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列。公
4、式 C 是指组合，从 N 个元素 取 R 个，不进行排列。N-元素的总个数 R 参与选择的元素个数 ！-阶乘 ，如 9！9*8*7*6*5*4*3*2*1 从 N 倒数 r 个，表达式应该为 n*（n-1)*(n-2)(n-r+1); 因为从 n 到（n-r+1)个数为 n（n-r+1)r 举例： Q1: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列 P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现 988,997 之类的组合， 我 们可以这么看，百位数有 9 种可能，十位数
5、则应该有 9-1 种可能，个位数则应 该只有 9-1-1 种可能，最终共有 9*8*7 个三位数。计算公式P（3，9) 9*8*7,(从 9 倒数 3 个的乘积） Q2: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”， 可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213 组合和 312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。 即不要求顺序的，属于“组合 C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例 1 设有 3 名学生和 4 个课外小组（1
6、）每名学生都只参加一个课外 小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参 加各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课 外小组的人数，因此共有 种不同方法 （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参 加，因此共有 种不同方法 点评 由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计 算 例 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排 法共有多少种？ 解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共 3 类， 每一类中不同排法可采用画
7、“树图”的方式逐一排出： 符合题意的不同排法共有 9 种 点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理为把握不同排法的规律， “树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模 型 例 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果 （1）高三年级学生会有 11 人：每两人互通一封信，共通了多少封信？ 每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共 10 人：从中选一名正组长和一名副组长， 共有多少种不同的选法？从中选 2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：从中任取两个数求它 们的商可以有多
8、少种不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不 同的积？ （4）有 8 盆花：从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同 的选法？从中选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析 （1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两 封信，所以与顺序有关是排列；由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与 甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题其他类似分析 （1）是排列问题，共用了 封信；是组合问题，共需握手 （次） （2）是排列问题，共有 （种）不同的选法；是组合问题，共有 种不 同的选法 （3）是排列问题，共有 种不同的商；是组合问题，共有 种不同的 积 （4）是
9、排列问题，共有 种不同的选法；是组合问题，共有 种不同的 选法 例 证明 证明 左式 右式 等式成立 点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶 乘的性质 ，可使变形过程得以简化 例 5 化简 解法一 原式 解法二 原式 点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选 用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化 例 6 解方程：（1） ；（2） 解 （1）原方程 解得 （2）原方程可变为 ， ， 原方程可化为 即 ，解得 第六章 排列组合、二项式定理 一、考纲要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题. 2.理解排列、组合
10、的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质， 并能用它们解决一些简单的问题. 3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题. 二、知识结构 三、知识点、能力点提示 (一)加法原理乘法原理 说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、 组合中有关问题提供了理论根据. 例 1 5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报 名方法共有多少种? 解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都 有 3 种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有 33333=35(种) (二
11、)排列、排列数公式 说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究 的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比 较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查. 例 2 由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000 的 偶数共有( ) A.60 个 B.48 个 C.36 个 D.24 个 解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 P12；小于 50 000 的五位 数，万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有 P13;在首末两位数排定后， 中间 3 个位数的排法有 P3
12、3，得 P13P33P1236(个) 由此可知此题应选 C. 例 3 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个数 字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种? 解： 将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法 有 3 种，即 214 3，3142，4123；同样将数字 1 填入第 3 方格，也对应着 3 种 填法；将数字 1 填入第 4 方格，也对应 3 种填法，因此共有填法为 3P13=9(种). 例四 例五可能有问题，等思考 三)组合、组合数公式、组合数的两个性质 说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组
13、合的应用题，且基本上 都是由选择题或填空题考查. 例 4 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型与乙型电 视机各 1 台，则不同的取法共有( ) A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种 解： 抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C14C25 种；甲型 2 台 乙型 1 台的取法有 C24C15 种 根据加法原理可得总的取法有 C24C25+C24C15=40+30=70(种 ) 可知此题应选 C. 例 5 甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公司承包 1 项，丙、丁公司各承包 2 项，问共有多少种承包
14、方式? 解： 甲公司从 8 项工程中选出 3 项工程的方式 C38 种； 乙公司从甲公司挑选后余下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有 C15 种； 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4 项工程中选出 2 项工程的方式有 C24 种； 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程的方式有 C22 种. 根据乘法原理可得承包方式的种数有 C3 8C15C24C22= 1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质 说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的 基础知识 ，从 1985 年至 1998 年历届高考均有这方面的题目出现，主
15、要考查二 项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例 6 在(x- )10 的展开式中，x6 的系数是( ) A.-27C610 B.27C410 C.-9C610 D.9C410 解 设(x- )10 的展开式中第 +1 项含 x6， 因 T+1=C10x10-(- )，10-=6,=4 于是展开式中第 5 项含 x 6，第 5 项系数是 C410(- )4=9C410 故此题应选 D. 例 7 (x-1)-(x-1)2(x-1)3-(x-1)+(x-1)的展开式中的 x的系数等于 解：此题可视为首项为 x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前 5 项的和，则其和 为 在(x-1)
16、6 中含 x3 的项是 C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中 x2 的系数是-2 0. (五)综合例题赏析 例 8 若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 解：A. 例 9 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有( ) A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 解 分医生的方法有 P222 种，分护士方法有 C24=6 种，所以共有 6212 种 不同的分配方法。 应选 B. 例 10
17、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其 中至少要有甲型与乙 型电视机各 1 台，则不同取法共有( ). A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种 解：取出的 3 台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形. C24+C25C14=56+104=70. 应选 C. 例 11 某小组共有 10 名学生，其中女生 3 名，现选举 2 名代表，至少有 1 名女 生当选的不同选法有( ) A.27 种 B.48 种 C.21 种 D.24 种 解：分恰有 1 名女生和恰有 2 名女生代表两类： C13C1 7+C23=37+3=24， 应选 D. 例 12 由
18、数学 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的 六位数，其中个位数字 小于十位数字的共有( ). A.210 个 B.300 个 C.464 个 D.600 个 解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有 P15P 55=600 个. 由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半. 有 600=300 个符合题设的六位数. 应选 B. 例 13 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有( ). A.70 个 B.64 个 C.58 个 D.52 个 解：如图，正方体有 8 个顶点，任取 4 个的组合数为 C48=70 个. 其中共面四点分 3 类：构成侧面的有 6
19、 组；构成垂直底面的对角面的有 2 组； 形如(ADB1C1 )的有 4 组. 能形成四面体的有 70-6-2-4=58(组) 应选 C. 例 14 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱 锥的棱所在的 12 条直线 中，异面直线共有( ). A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对 解：设正六棱锥为 OABCDEF. 任取一侧棱 OA(C16)则 OA 与 BC、CD、DE、EF 均形成异面直线对. 共有 C164=24 对异面直线. 应选 B. 例 15 正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中三个点 为顶点的三角形共 个 (以数字作答). 解：7 点中任取 3 个则有 C
20、37=35 组. 其中三点共线的有 3 组(正六边形有 3 条直径). 三角形个数为 35-3=32 个. 例 16 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S，其中由 3 个元素组成的子集 数为 T，则 的值为 。 解 10 个元素的集合的全部子集数有： SC010+C110+C210+C310+C410+C510+C610+C710+C810+C910+C1010=2 10=1024 其中，含 3 个元素的子集数有 T=C310=120 故 = 例 17 例 17 在 50 件产品 n 中有 4 件是次品，从中任意抽了 5 件 ，至少有 3 件是次品的抽法共 种(用数字作答). 解：“至
21、少 3 件次品”即“有 3 件次品”或“有 4 件次品”. C34C246+C44C146=4186(种) 例 18 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、 丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有( ). A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5040 种 解：先从 10 人中选 2 个承担任务甲(C210) 再从剩余 8 人中选 1 人承担任务乙(C1 8) 又从剩余 7 人中选 1 人承担任务乙(C1 7) 有 C210C1 8C1 7=2520(种). 应选 C. 例 19 集合1，2，3子集总共有( ). A.7 个 B.
22、8 个 C.6 个 D.5 个 解 三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的 子集数 C13，由二个元素组成的子集数 C23。 由 3 个元素组成的子集数 C33。由加法原理可得集合子集的总个数是 C13+C23+C33+1=3+3+1+18 故此题应选 B. 例 20 假设在 200 件产品中有 3 件是次品，现在从中任意抽取 5 件，其中至少 有两件次品的抽法有( ). A.C23C3197 种 B.C23C3197 +C33C2197 C.C5200-C5197 D.C5200-C 13C4197 解：5 件中恰有二件为次品的抽法为 C23C3197， 5 件中恰三件为次品的抽法为 C33C2197， 至少有两件次品的抽法为 C23C3197+C33C2197. 应选 B. 例 21 两排座位，第一排有 3 个座位，第二排有 5 个座位，若 8 名学生入座(每 人一个座位)，则不同座法的总数是( ). A.C58C38 B.P12C58C38 C.P58P38
