1、 1 高中解析几何专题（精编版） 1. （天津文）设椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2。点 21(0)xyab 满足(,)Pab212|.F （）求椭圆的离心率 ；e （）设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2与圆 相交于 M，N 两点，且 ，求椭圆()(3)6xy5|8NAB 的方程。 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的 距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查 用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能 力与运算能力，满分 13 分。 （）解：设 ，因为 ，12(,0)(,0)Fcc212
2、|PF 所以 ，整理得 （舍）2()ab 20,ccaa得 或 ,.ce所 以 （）解：由（）知 ，可得椭圆方程为 ，2,3acb22341xyc 直线 FF2的方程为 ().yx A，B 两点的坐标满足方程组 241,().ycx 消去 并整理，得y 。解得 ，得方程组的解2580xc1280,5xc 218,0,53.xcxyy 不妨设 ， ，3,5A(,3)B 所以 22816| .5Bccc 于是 5|.MNA 圆心 到直线 PF2的距离1,3|3|3|2|.2ccd 因为 ，所以2|4d()16.c 整理得 ，得 （舍） ，或71520c7.c 2 所以椭圆方程为 21.6xy 2.
3、 已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为（ ,0） ，斜2:(0)Gab632 率为 I 的直线 与椭圆 G 交与 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点l 为 P（-3,2）. （I）求椭圆 G 的方程； （II）求 的面积.AB 【解析】 解：（）由已知得 62,.3ca 解得 23.a 又 4bc 所以椭圆 G 的方程为 21.xy （）设直线 l 的方程为 m 由 得 142yxm.0236 设 A、B 的坐标分别为 AB 中点为 E ，),(,),(2121xyx),(0yx 则 4210mxy 因为 AB 是等腰PAB 的底边， 所以 PEAB. 所以 PE 的斜率 .1432
4、mk 解得 m=2。 此时方程为 .02x 解得 .,31x 所以 2y 所以|AB|= . 此时，点 P（3，2）到直线 AB： 的距离02yx,|d 所以PAB 的面积 S= .9|21dAB 3 3. (全国大纲文)已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 在 y 轴正半轴上的 2:1Cx 焦点，过 F 且斜率为 的直线 与 C 交与 A、B 两点，点 P 满足-2l0.OABP （）证明：点 P 在 C 上； （II）设点 P 关于 O 的对称点为 Q，证明： A、P、B、Q 四点在同一圆上。 【解析】22解：（I）F（0，1） ， 的方程为l ，2yx 代入 并化简得 2y 2 分2410.
5、 设 23(,)(,)(,)AxBPxy 则 166421212,(),xyx 由题意得 3312(),().y 所以点 P 的坐标为 ,.2 经验证，点 P 的坐标为 满足方程(,1) 故点 P 在椭圆 C 上。 21,yx （II）由 和题设知， (,)2(,1)Q PQ 的垂直一部分线 的方程为1l 2.yx 设 AB 的中点为 M，则 ，AB 的垂直平分线为 的方程为2(,)42l 21.4yx 由、得 的交点为12,l21(,)8N 4 22212231|()(),88|1|,3|,43|()(),881|,NPABxMNAN 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=
6、|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径的圆上。 4. （全国新文）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 与坐标轴的交点261yx 都在圆 C 上 （I）求圆 C 的方程； （II）若圆 C 与直线 交于 A，B 两点，且 求 a 的值0xya,OAB 【解析】解：（）曲线 与 y 轴的交点为（0，1），与 x 轴的交62 点为（ ).,3(),02 故可设 C 的圆心为（3，t），则有 解得 t=1.,)2()(32tt 则圆 C 的半径为 .1(22t 所以圆 C 的方程为 9)yx （）设 A（ ），B（ ），其坐
7、标满足方程组：1,y2,.9)()3(022xay 消去 y，得到方程 .018ax 由已知可得，判别式 .4652a 因此， 从而,)2(2,1 10,421 axx 由于 OAOB，可得 ,21y 又 所以,21y .0)(2axx 由，得 ，满足 故,.a 5. （辽宁文）如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长轴左、右端点 M， N 在 x 5 轴上，椭圆 C2的短轴为 MN，且 C1， C2的离心率都为 e，直线 lMN， l 与 C1交 于两点，与 C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A， B， C， D （I）设 ，求 与 的比值；1eBAD （II）当 e 变化时，是否
8、存在直线 l，使得 BO AN，并说明理由 【解析】解：（I）因为 C1，C 2的离心率相同，故依题意可设2124:,:,(0)xybyxCabaa 设直线 ，分别与 C1，C 2的方程联立，求得(|)lt 4 分22(,),.AtBtb 当 表示 A，B 的纵坐标，可知13,Aeay时 分 别 用 6 分 2|:| .4BAbCD （II）t=0 时的 l 不符合题意. 时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN0t 的斜率 kAN相等，即22,battab 解得 221.et a 因为 22|,0,1,1.ae又 所 以 解 得 所以当 时，不存在直线 l，使得 BO/AN；2
9、e 当 时，存在直线 l 使得 BO/AN. 12 分1 6. （江西文）已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物()ypx 线于 和 两点，且 ,(,)Axy(,)BAB （1）求该抛物线的方程； （2） 为坐标原点， 为抛物线上一点，若 ，求 的值OCOC 【解析】19 （本小题满分 12 分） 6 （1）直线 AB 的方程是 ，2()pyx 与 联立，从而有2ypx2450, 所以： 125 由抛物线定义得： 12| 9,ABxp 所以 p=4，从而抛物线方程是 8.y （2）由 可简化为24,50p1250,4,x从 而12,y 从而 ()(,)AB 设 3,(,)(1,42)OCx
10、y 又 228184即 即 (1)4 解得 0,.或 7. （山东文）22 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 2:13xCy 如图所示，斜率 为 (0)k 且不过原点的直线 l交椭圆 于 A， B两点，线段 AB的中点为 E， 射线 OE交椭圆 C于点 G，交直线 于点3,Dm （）求 2的最小值； （）若 E， （i）求证：直线 l过定点； （ii）试问点 B， 能否关于 x轴对称？ 若能，求出此时 AG的外接圆方程；若不能， 请说明理由 【解析】22 （I）解：设直线 ，(0)lykxt的 方 程 为 由题意， . 由方程组 得2 ,13y ，22(1)60k
11、xkt 由题意 ，0 所以 . 设 ，12(,)(,)AyB 由韦达定理得 所以12,31ktx12.31tyk 7 由于 E 为线段 AB 的中点，因此 223,1EEkttxy 此时 所以 OE 所在直线方程为1.3Oykxk3xk 又由题设知 D（-3，m） ，令 x=-3，得 ，即 mk=1，m 所以 当且仅当 m=k=1 时上式等号成立，22, 此时 由 得 因此 当 时，0t102kt且 取最小值 2。2k （II） （i）由（I）知 OD 所在直线的方程为 ,3yx 将其代入椭圆 C 的方程，并由 0,k 解得 ，又 ，2231(,)kG221(,),()1tEDkk 由距离公式
12、及 得0t2222 2229|()(),331| ,91|()(),313OkkDktttkE 由 2|,OGE得 因此，直线 的方程为l().yx 所以，直线 ,0恒 过 定 点 （ii）由（i）得 2231()k 若 B，G 关于 x 轴对称， 则 2231(,).k 代入 2)31,ykk整 理 得 即 ，42670k 解得 （舍去）或12, 所以 k=1， 此时 关于 x 轴对称。31(,)(,)2BG 又由（I）得 所以 A（0，1） 。10xy 由于 的外接圆的圆心在 x 轴上，可设 的外接圆的圆心为AABG （d，0） ， 因此 223(),42dd解 得 8 故 的外接圆的半径
13、为 ，ABG251rd 所以 的外接圆方程为 ().4xy 8. （陕西文）17 （本小题满分 12 分） 设椭圆 C: 过点（0，4） ，离心率为 21xyab35 （）求 C 的方程； （）求过点（3，0）且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标。5 【解析】17解（）将（0，4）代入 C 的方程得 b=4216b 又 得5cea 29b 即 ， a=52169 C 的方程为 216xy （ ）过点 且斜率为 的直线方程为 ，3,045435yx 设直线与的交点为 ， ，1,xy2,x 将直线方程 代入的方程，得y ， 2235x 即 ，解得80 ， ，142x241x AB 的中点坐标
14、 ，23x ，1212655yx 即中点为 。36, 注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。 9. （上海文）22 （16 分）已知椭圆 （常数 ） ，点 是 上 2:1xCymmPC 的动点， 是右顶点，定点 的坐标为 。MA(,0) （1）若 与 重合，求 的焦点坐标；A （2）若 ，求 的最大值与最小值；3m|P （3）若 的最小值为 ，求 的取值范围。| | 9 【解析】22解： ，椭圆方程为 ，2m 214xy43c 左右焦点坐标为 。(3,0)(, ，椭圆方程为 ，设 ，则3 219xy(,)Px22222891|()()(3)4PAxy x 时 ； 时 。94min| 3xmax
15、|5A 设动点 ，则(,)xy22222214| ()1()5()1PA mx 当 时， 取最小值，且 ， 且xm|PA 20m2 解得 。12 10. （四川文）21 （本小题共 l2 分） 过点 C(0，1)的椭圆 的离心率为 ，椭圆与 x 轴交于两 21(0)xyab32 点 、 ，过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D，并(,0)Aa(,) 与 x 轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q （I）当直线 l 过椭圆右焦点时，求线段 CD 的长； （）当点 P 异于点 B 时，求证： 为定值OP 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本 知识，考查平面解析几何的思
16、想方法及推理运算能力 解：（）由已知得 ，解得 ，所以椭圆方程为 31,2cba2a214xy 椭圆的右焦点为 ，此时直线 的方程为 ，代入椭圆方程(3,0)l 31y 得 ，解得 ，代入直线 的方程得 ，所2783x1283,7xl12,7y 以 ，1(,)D 故 22836|(0)(1)77C （）当直线 与 轴垂直时与题意不符lx 设直线 的方程为 代入椭圆方程l(0)2ykk且 得 2(41)80kxk 解得 ，代入直线 的方程得 ，2,41l 2124,1ky 10 所以 D 点的坐标为 22814(,)k 又直线 AC 的方程为 ，又直线 BD 的方程为 ，联立得xy12()4ky
17、x4,21.xky 因此 ，又 (,)Qk1(,0)Pk 所以 (,42OP 故 为定值 11. （浙江文） （22） （本小题满分 15 分）如图，设 P 是抛物线 ： 上的1C2xy 动点。过点 做圆 的两条切线，交直线 ： 于2C1)3(:2yx l3 两点。,AB （）求 的圆心 到抛物线 准线的距离。2M1 （）是否存在点 ，使线段 被抛物线 在点 处得PAB1C 切线平分，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明 理由。 【解析】 （22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、 直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法 和运算求解能力。满分 15 分。 （）解：因为抛
18、物线 C1的准线方程为： 14y 所以圆心 M 到抛物线 C1准线的距离为： |(3)|. （）解：设点 P 的坐标为 ，抛物线 C1在点 P 处的切线交直线 于点20(,)x l D。 再设 A，B，D 的横坐标分别为 ,AB 过点 的抛物线 C1的切线方程为：20(,)x （1）0y 当 时，过点 P（1，1）与圆 C2的切线 PA 为：0 15()8yx 可得 7,5ABDABDxxx 当 时，过点 P（1，1）与圆 C2的切线 PA 为：0 1()yx 可得 DBADBA xxx,175 所以 20 设切线 PA，PB 的斜率为 ，则12,k 11 （2）2010:()PAyxk （3
19、）Bx 将 分别代入（1） ， （2） ， （3）得32 20 00121();(,0)DABx xkk 从而 202().ABx 又 201|3|xk 即 22201010()()(3)1xk 同理， 20xx 所以 是方程 的两个不相等的根，12,k22200(3)1k 从而 201(3)(), .xk 因为 0xBA 所以 220011203(),.kxkx即 从而 0203()xx 进而得 4408, 综上所述，存在点 P 满足题意，点 P 的坐标为 4(8,2). 12. （重庆文）21 （本小题满分 12 分。 （）小问 4 分， （）小问 8 分） 如题（21）图，椭圆的中心为原
20、点 0，离心率 e= ，一条准线的方程是2x （）求该椭圆的标准方程； （）设动点 P 满足： ，其2OMN 中 M、N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜率之积为 12，问：是否存在定点 F，使得 与点 P 到直线 l：0x 的距离之比为定值；若存在， 求 F 的坐标，若不存在，说明理由。 【解析】21 （本题 12 分） 解：（I）由 2,cae 解得 ，故椭圆的标准方程为2,ab 12 21.4xy （II）设 ，则由12(,),)(,)PMxyN 得O 121121(,),),.xyxy即 因为点 M，N 在椭圆 上，所以24x ，2214,y 故 2112112()(4)xyy
21、 20.xx 设 分别为直线 OM，ON 的斜率，由题设条件知,OMNk 因此12,y12120,y 所以 20.x 所以 P 点是椭圆 上的点，该椭圆的右焦点为 ， 22(5)(0)x (10,)F 离心率 是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，,:1el直 线 存在定点 ，使得|PF|与 P 点到直线 l 的距离之比为定值。(10)F 13. （安徽文） （17） （本小题满分 13 分） 设直线 .02,1:,: 1212211 kkxkylxkyl 满 足其 中 实 数 （I）证明 与 相交； （II）证明 与 的交点在椭圆1l22+y=上 . 【解析】 （17） （本小题满分 13
22、 分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交 的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论 证能力和运算求解能力. 证明：（I）反证法，假设是 l1与 l2不相交，则 l1与 l2平行，有 k1=k2， 代入 k1k2+2=0，得.0 此与 k1为实数的事实相矛盾. 从而 相交.2121,lk与即 （II） （方法一）由方程组 2xy 解得交点 P 的坐标 为),(x. ,12ky 而 13 .1428)()2(2 21121212 kkkkkyx 此即表明交点 ., 上在 椭 圆 yxyxP （方法二）交点 P 的坐标 满足),(.021,02.,1.112 xykx
23、ykxy得代 入 从 而故 知 整理后，得 ,2x 所以交点 P 在椭圆 .上 14. （福建文）18 （本小题满分 12 分） 如图，直线 l：y=x+b 与抛物线 C：x 2=4y 相切于 点 A。 （I）求实数 b 的值； （11）求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相 切的圆的方程 。 【解析】18本小题主要考查直线、圆、抛物线等 基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程 思想、数形结合思想，满分 12 分。 解：（I）由 ， （*）22,40yxbxb得 因为直线 与抛物线 C 相切，所以l 2()4()0,b 解得 b=-1。 （II）由（I）可知 ，1,*bx故 方 程
24、即 为 解得 x=2，代入 24.xy得 故点 A（2，1） ， 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切， 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离， 即 |()|,r 所以圆 A 的方程为 22()(1)4.xy 15. （湖北文） 21 （本小题满分 14 分）平面内与两定点 1,0Aa、2,0a （ ）连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹，加上 、 A2两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线。 （）求曲线 C 的方程，并讨论 C 的形状与 m 值的关系； 14 （）当 1m时，对应的曲线为 1C；对给定的 ，对应的曲),0(),1m 线为 2C，设
25、F、 2是 的两个焦点。试问：在 上，是否存在点 N，使得 1N的面积 2|Sa。若存在，求 tan1FN2的值；若不存在，请说明 理由。 【解析】21本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推 理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。 （满分 14 分） 解：（I）设动点为 M，其坐标为 ，(,)xy 当 时，由条件可得xa12 2,Aykmaxa 即 ，22()myxa 又 的坐标满足1(,0),A2,mxy 故依题意，曲线 C 的方程为 2. 当 曲线 C 的方程为 是焦点在 y 轴上的椭圆；,时 1,Ca 当 时，曲线 C 的方程为 ，C 是圆心在原点的圆；122x
26、y 当 时，曲线 C 的方程为 ，C 是焦点在 x 轴上的椭圆；0mma 当 时，曲线 C 的方程为 C 是焦点在 x 轴上的双曲线。 21,xy （II）由（I）知，当 m=-1 时，C 1的方程为 22;ya 当 时，(1,0),)m C2的两个焦点分别为 12(,0)(,0).FamFa 对于给定的 ，, C1上存在点 使得 的充要条件是0()Nxy|S22020,|.xyam 由得 由得|,y0|.1may 当 |150,2a即 或 时，m 存在点 N，使 S=|m|a2； 当 | 15,1a即 -0，求证：PAPB 【解析】18本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的
27、 垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能 力，满分 16 分. 解：（1）由题设知， 所以线段 MN 中),20(),(,2, NMba故 点的坐标为 ，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN)2,1( 的中点，又直线 PA 过坐标原点，所以 .21k （2）直线 PA 的方程 2,4xyyx代 入 椭 圆 方 程 得 解得 ).3,(),43,APx因 此 于是 直线 AC 的斜率为),02(C .032,12 0yxAB的 方 程 为故 直 线.31|43|,2d因 此 18 （3）解法一： 将直线 PA 的方程 代入kxy2 221, ,411xy k解 得 记 则 )0,(),(),(CkAkP于 是 故直线 AB 的斜率为 其方程为 ,0)23(2)(),(2 2 kxkxky 代 入 椭 圆 方 程 得 解得 . 2 22(3)(),kxB或 因 此 于是直线 PB 的斜率 .1)(32)( 22231 kkk 因此 .,1PBAk所 以 解法二： 设 .)0,(,(,0,),(),( 1121212 xCyAxxyxP 则 设直线 PB，AB 的斜率分别为 因为 C 在直线 AB 上，所以k.)(0112kxyk 从而 1)(22111 xyxyk.04)(21221 xy 因此 .,PBAk所 以
