1、高等代数 兼听则明，偏信则暗 姓名：飞哥 班级：数应 2 班 第 1 页 共 20 页 高等数学公式 平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() 积的关系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 直角三角形 ABC 中 , 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边, 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数
2、： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 三角和的三角函数： sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 辅助角公式： Asin+Bcos=(A2+
3、B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) 第 2 页 共 20 页 tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)， tant=A/B 倍角公式： 三倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) sin(3)=3sin-4sin3() cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() cos(3)=4cos3()-3cos tan(2)=2tan/1-tan2() 半角公式： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+c
4、os)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2
5、)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 其他： sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+c
6、os(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 第 3 页 共 20 页 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函数的角度换算 编辑本段 公式一： 设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k ）sin cos（2k ）cos tan（ 2k ）tan cot（ 2k ）cot 公式二： 设 为任意角，+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系： sin（ ）sin cos（）cos tan（ ）tan cot（
7、 ）cot 公式三： 任意角 与 - 的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（ ）tan cot（ ）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系： sin（ ）sin cos（）cos tan（ ）tan cot（ ）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关系： sin（2 ）sin cos（2 ）cos tan（ 2 ）tan cot（ 2 ）cot 公式六： /2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系： sin（/2 ）cos cos（/2 ） sin tan（ /2 ）cot 第 4 页
8、 共 20 页 cot（ /2 ）tan sin（/2 ）cos cos（/2 ）sin tan（ /2 ）cot cot（ /2 ）tan sin（3/2）cos cos（3/2 ）sin tan（ 3/2）cot cot（ 3/2 ）tan sin（3/2）cos cos（3/2 ）sin tan（ 3/2）cot cot（ 3/2 ）tan (以上 kZ) 部分高等内容 编辑本段 高等代数中三角函数的指数表示( 由泰勒级数易得)： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展
9、开有无穷级数，ez=exp(z) 1 z/1！z2/2 ！z3/3！z4/4！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y;y=y，有通解 Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0 导数公
10、式： axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxx 第 5 页 共 20 页 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：CaxaxdshcxadCxctgxctgddxx)ln(lnsseesineco 2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcos22Caxxadxa axaxdaxIndInnn rcsin22l)(221cossi2 22 22020arthch eshxxxxln1)(l:2:）
11、双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .5904718.)1(limsin0xx 第 6 页 共 20 页 三角函数公式： 诱导公式： 函数 角 A sin cos tan cot - -sin cos -tan -cot 90- cos sin cot tan 90+ cos -sin -cot -tan 180- sin -cos -tan -cot 180+ -sin -cos tan cot 270- -cos -sin cot tan 270+ -cos sin -cot -tan 360- -sin cos -tan -cot 360+ sin cos tan cot 和差角
12、公式： 和差化积公式： 倍角公式： 半角公式： cos1insico12cos1insico12 scsssin tgtg 正弦定理： RCBbAa2iinsi 2sini2cosco2sin2sincoictgtctg1)(1sincos)cos(ini 33134ctgt22 222contt 第 7 页 共 20 页 余弦定理： Cabccos22 反三角函数性质： arctgxrctgxxx2rrsin 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0 )()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中
13、值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( ) 曲率： .1;0.)1(limMsM:.,13202aKayds MsKtgydxs 的 圆 ：半 径 为直 线 ：点 的 曲 率 ： 弧 长 。：化 量 ；点 ， 切 线 斜 率 的 倾 角 变点 到从平 均 曲 率 ： 其 中弧 微 分 公 式 ： 定积分的近似计算： ba nnnba nnba n yyyyxff yyxf )(4)(2)(3)( 21)()( 13124011010 抛 物 线 法 ：梯 形 法 ：矩 形 法 ： 定积分应
14、用相关公式： 第 8 页 共 20 页 babadtfxfykrmFApsW)(1),221均 方 根 ：函 数 的 平 均 值 ： 为 引 力 系 数引 力 ：水 压 力 ：功 ： 空间解析几何和向量代数： 。代 表 平 行 六 面 体 的 体 积 为 锐 角 时 ，向 量 的 混 合 积 ： 例 ： 线 速 度 ：两 向 量 之 间 的 夹 角 ： 是 一 个 数 量 轴 的 夹 角 。与是向 量 在 轴 上 的 投 影 ：点 的 距 离 ：空 间 ,cos)( sin,cos,Pr)(Pr ,cos)()()(2 2222121 21212121 bacbaccba rwvkjic ba
15、bababjjj uABABzyxMzyxzyxzyx zyxzyx zyxzyxuu 第 9 页 共 20 页 （ 马 鞍 面 ）双 叶 双 曲 面 ：单 叶 双 曲 面 ： 、 双 曲 面 ： 同 号 ）（、 抛 物 面 ：、 椭 球 面 ：二 次 曲 面 ： 参 数 方 程 ：其 中空 间 直 线 的 方 程 ： 面 的 距 离 ：平 面 外 任 意 一 点 到 该 平、 截 距 世 方 程 ：、 一 般 方 程 ： ， 其 中、 点 法 式 ：平 面 的 方 程 ： 13,2211 ;,1302 ),(,)()()(12222 0000 2200 0000 czbyaxqpzyxcba
16、 ptznymxpnmstpznymxCBADzyxdczbyaxDCBA zyxMCBAnz 多元函数微分法及应用 z yzx yxxyx yxFzyxF dFdddyvdvyudxvxzuxzfz tvtdttvu xffzdzududyxzd ， ， 隐 函 数 ， ， 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 ： 时 ，当 ：多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 ： 全 微 分 ： 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2 第 10 页 共 20 页 ),(1),(1,)(,)( ,)(0),(yuGFJyvvyGFJyuxxxx GFvu
17、FvJvuyxF vu 隐 函 数 方 程 组 ： 微分法在几何上的应用： ),(),(),(3 0)(,(,2 )(),()(1,0),( ,0),( 0)()()( (,)( 000 0000 000 0000 zyxFzyxzyxF zyxFzyxzyxzyxnMzyxF GFGFTGzyxFztytxt tyxzytzytx zzyxzy 、 过 此 点 的 法 线 方 程 ： ：、 过 此 点 的 切 平 面 方 程、 过 此 点 的 法 向 量 ： ， 则 ：上 一 点曲 面 则 切 向 量若 空 间 曲 线 方 程 为 ：处 的 法 平 面 方 程 ：在 点 处 的 切 线 方
18、程 ：在 点空 间 曲 线 方向导数与梯度： 上 的 投 影 。在是单 位 向 量 。 方 向 上 的， 为， 其 中：它 与 方 向 导 数 的 关 系 是 的 梯 度 ：在 一 点函 数 的 转 角 。轴 到 方 向为其 中 的 方 向 导 数 为 ：沿 任 一 方 向在 一 点函 数 lyxflf ljieyxflf jyfxyxpyxfzl yffllfz),(grad snco),(grad,),(),( sinco),(),( 多元函数的极值及其求法： 第 11 页 共 20 页 不 确 定时 值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ，则 ： ， 令 ：设 ,0),( ),
19、(,),(,),(0),(),(202 0000BACyxA CyxfByxfAffyxf xy 重积分及其应用： DzDyDx zyxDyDx DyxDD adfaFayxdfFayxdfF FMzo IyI dxydyxzAyxfzrdrfdf 232232232 2222 )(,)(,)(, )0( ),(,),(,),(1),()sin,co(),( ， ， ， 其 中 ：的 引 力 ：轴 上 质 点平 面 ） 对平 面 薄 片 （ 位 于 轴 对 于轴对 于平 面 薄 片 的 转 动 惯 量 ： 平 面 薄 片 的 重 心 ：的 面 积曲 面 柱面坐标和球面坐标： dvyxIdvzx
20、IdvzyI MMyxM drrFddrrFdyzf vrxzrfzF dzrFdxyzfryx zyx )()()( 1,1,1 sin),(sin),(),( siicosin),si,(),( ,),(,(,sinco 222 20),022 2， ， 转 动 惯 量 ： ， 其 中 重 心 ： ， 球 面 坐 标 ：其 中 ： 柱 面 坐 标 ： 曲线积分： 第 12 页 共 20 页 )()()(),(),( ,)(, 22 tyxdtttfdsyxf tytxLfL 特 殊 情 况 ： 则 ： 的 参 数 方 程 为 ：上 连 续 ，在设 长 的 曲 线 积 分 ） ：第 一 类
21、曲 线 积 分 （ 对 弧 。， 通 常 设 的 全 微 分 ， 其 中 ：才 是 二 元 函 数时 ，在 ：二 元 函 数 的 全 微 分 求 积 注 意 方 向 相 反 ！减 去 对 此 奇 点 的 积 分 ， ， 应。 注 意 奇 点 ， 如， 且内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数在，、 是 一 个 单 连 通 区 域 ；、 无 关 的 条 件 ：平 面 上 曲 线 积 分 与 路 径 的 面 积 ：时 ， 得 到， 即 ：当 格 林 公 式 ：格 林 公 式 ： 的 方 向 角 。上 积 分 起 止 点 处 切 向 量 分 别 为和， 其 中系 ：两 类 曲 线 积 分 之 间 的
22、 关 ， 则 ：的 参 数 方 程 为设 标 的 曲 线 积 分 ） ：第 二 类 曲 线 积 分 （ 对 坐 0),(),(),( ),( )0,(),(),(21 212, )()( )cos(),),(),(),( )( 0),),0 yxdyxQyPyxu uQyPxQGyxPG ydxdxyADyPxQy QPQdyxdL dPttttPdyxQyPt x DLDL LLL 曲面积分： 第 13 页 共 20 页 dsRQPRdxyQzPdyxzdzxyQdyzPxzxRdxyzR dxyzRdzxyQdyP dfszxfzxyzy xyDDD )cosco(),(,),( , ),
23、(),( ),(),( ),(,1,),( 22 系 ：两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 号 。， 取 曲 面 的 右 侧 时 取 正 号 ；， 取 曲 面 的 前 侧 时 取 正 号 ；， 取 曲 面 的 上 侧 时 取 正 ， 其 中 ：对 坐 标 的 曲 面 积 分 ：对 面 积 的 曲 面 积 分 ： 高斯公式： 第 14 页 共 20 页 dsAvsRQPdsAsnzRyQx dsRQPRdxyzPdyvzyxPnn i )cocos( .,0iv,di )coscos()(成 ：因 此 ， 高 斯 公 式 又 可 写 ，通 量 ： 则 为 消 失的 流 体 质 量 ， 若即
24、： 单 位 体 积 内 所 产 生散 度 ： 通 量 与 散 度 ：高 斯 公 式 的 物 理 意 义 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： dstARzQdyPxARQPzyx yPxQRzPyRzQPxdxyzdy RdzQyPxRPzQyR 的 环 流 量 ：沿 有 向 闭 曲 线向 量 场旋 度 ： ， ， 关 的 条 件 ：空 间 曲 线 积 分 与 路 径 无上 式 左 端 又 可 写 成 ： kjirot coscos)()()( 常数项级数： 是 发 散 的调 和 级 数 ：等 差 数 列 ：等 比 数 列 ： nqqnn13212)(112 级数审敛法： 第 15 页 共
25、20 页 散 。存 在 ， 则 收 敛 ； 否 则 发、 定 义 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ： 、 比 值 审 敛 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ： 别 法 ） ：根 植 审 敛 法 （ 柯 西 判、 正 项 级 数 的 审 敛 法 nnnnsusUulim;31li21lim1211 。的 绝 对 值其 余 项， 那 么 级 数 收 敛 且 其 和如 果 交 错 级 数 满 足 莱 布 尼 兹 定 理 ：的 审 敛 法或交 错 级 数 1113243 ,0li )0,( nnn n urr
26、usuu 绝对收敛与条件收敛： 时 收 敛 时 发 散 级 数 ： 收 敛 ； 级 数 ： 收 敛 ；发 散 ， 而调 和 级 数 ： 为 条 件 收 敛 级 数 。收 敛 ， 则 称发 散 ， 而如 果 收 敛 级 数 ；肯 定 收 敛 ， 且 称 为 绝 对收 敛 ， 则如 果 为 任 意 实 数 ；， 其 中1)1(1)()2()1(232pnpnnun 幂级数： 第 16 页 共 20 页 01)3(lim )3(111 1121032 RaaRRxxaxaxx nnnn 时 ，时 ，时 ，的 系 数 ， 则是， 其 中求 收 敛 半 径 的 方 法 ： 设 称 为 收 敛 半 径 。
27、， 其 中时 不 定时 发 散时 收 敛， 使在数 轴 上 都 收 敛 ， 则 必 存 收 敛 ， 也 不 是 在 全， 如 果 它 不 是 仅 在 原 点 对 于 级 数 时 ， 发 散时 ， 收 敛 于 函数展开成幂级数： nnn nnxfxffxfx RffR xfxfxxf !)0(!2)0()(0)(0 lim,()!1 )(!)(!2)()10( 00)(2000时 即 为 麦 克 劳 林 公 式 ： 充 要 条 件 是 ：可 以 展 开 成 泰 勒 级 数 的余 项 ：函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 ： 一些函数展开成幂级数： )()!12()!53sin )1(1)(1)(
28、 2 xnxxx nmmm 欧拉公式： 2sincosincoixiixiix exe 或 三角级数： 。上 的 积 分 在任 意 两 个 不 同 项 的 乘 积正 交 性 ： 。，其 中 ， 0 ,cos,in2cos,incs,i1 )in()i()( 100 xxxtAbaAxbattf nnn 傅立叶级数： 第 17 页 共 20 页 是 偶 函 数 ，余 弦 级 数 ： 是 奇 函 数 ，正 弦 级 数 ： （ 相 减 ） （ 相 加 ） 其 中 ， 周 期 nxaxfnxdfab bffnxdfbfanxbxfnn nnnnnn cos2)(2,10cos)(20 i3,i1243
29、16246142853)3,1(si)(12,0co)si(2)( 000222210 周期为 的周期函数的傅立叶 级数：l2 llnlnnnndxlfblfa llblxxf )3,21(si)(1,0co)si()(10 其 中 ， 周 期 微分方程的相关概念： 即 得 齐 次 方 程 通 解 。 ，代 替分 离 变 量 ， 积 分 后 将， 则设 的 函 数 ， 解 法 ：， 即 写 成程 可 以 写 成齐 次 方 程 ： 一 阶 微 分 方 称 为 隐 式 通 解 。 得 ： 的 形 式 ， 解 法 ：为： 一 阶 微 分 方 程 可 以 化可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 或
30、一 阶 微 分 方 程 ： uxyudxudxuxdyxu xyyfyCxFGdxfg dxfgyQdyPyf )()(,)()()( )()(0,),( 一阶线性微分方程： 第 18 页 共 20 页 )1,0()(2 )0)( , )(1 )()(nyxQPdxy eCdxeQCxxyPdx dxPPd，、 贝 努 力 方 程 ：时 ， 为 非 齐 次 方 程 ，当 为 齐 次 方 程 ，时当、 一 阶 线 性 微 分 方 程 ： 全微分方程： 通 解 。应 该 是 该 全 微 分 方 程 的 ， 其 中 ： 分 方 程 ， 即 ：中 左 端 是 某 函 数 的 全 微如 果 Cyxu y
31、xQuyxPyxdP),( ),(),(0),(,)( 二阶微分方程： 时 为 非 齐 次时 为 齐 次， 0)()()(2 xfyxQdPx 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 212,)(2 ,(*)0)(1 ,0(*)r yrqpqyp式 的 两 个 根、 求 出 的 系 数 ；式 中的 系 数 及 常 数 项 恰 好 是， 其 中、 写 出 特 征 方 程 ：求 解 步 骤 ： 为 常 数 ；， 其 中 式 的 通 解 ：出的 不 同 情 况 ， 按 下 表 写、 根 据 (*),321r的 形 式， 21r (*)式的通解 两个不相等实根 )04(2qp xrxrecy21 两个相等实根 r1)(21 一对共轭复根 )(2241pqpirir， ， )sinco2xeyx 二阶常系数非齐次线性微分方程 第 19 页 共 20 页 型为 常 数 ；型 ， 为 常 数， sin)(cos)()(,xPxexf qpfqyplm
