1、 B1 C B A D C1 A1 必修二立体几何经典证明试题 1. 如图，三棱柱 ABCA 1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1的中点 12 ()证明：平面 BDC1平面 BDC （）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 1. 【解析】（）由题设知 BC 1,BCAC， 1CA, B面 , 又 D面1AC ， 1DB, 由题设知 045AC, 1D= 09,即 1C, 又 , 1面 B, 面 B， 面 BD面 1； （）设棱锥 AC的体积为 1V， AC=1，由题意得， 1V= 213= ， 由三棱柱 1的体积 =1， 1():V=
2、1:1， 平面 1BD分此棱柱为两部分体积之比为 1:1. 2. 如图 5 所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 是 的中点，PACBPAD/BCPADEPB 是 上的点且 ， 为 中 边上的高.FCD2FH （1）证明： 平面 ；PB （2）若 ， ， ，求三棱锥 的体积；1H1EF （3）证明： 平面 .EA 【解析】（1）证明：因为 平面 ，所以 。PDHAB 因为 为 中 边上的高，所以 。P 因为 ，所以 平面 。ABDC （2）连结 ，取 中点 ，连结 。HGE 因为 是 的中点，所以 。E/ 因为 平面 所以 平面 。CABD 则 ， 。12GP11332EBFCFVSAEG2
3、1 （3）证明：取 中点 ，连结 ， 。因为 是 的中点，所以 。AMP/MAB 因为 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 。1/2DF/DD/FD 因为 ，所以 。因为 平面 ，所以 。PPABA 因为 ，所以 平面 ，所以 平面 。ABEFPB 3. 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， ， 分 别 是 棱 上 的 点 （ 点 不同于点 ），且1ABC11ABCDE， 1BC， DC 为 的中点ADEF， 1 求证：（1）平面 平面 ；DE1 （2）直线 平面 1/A 【答案】证明：（1） 是 直 三 棱 柱 ， 平面 。1BC1CAB 又 平面 ， 。AD 又 平面 ， 平面 。
4、1DE， ， 11E， AD1BC 又 平面 ， 平面 平面 。EB （2） ， 为 的中点， 。11ABCF1B11AFC 又 平面 ，且 平面 ， 。1AF 又 平面 ， ， 平面 。1 ， 111B1BC 由（1）知， 平面 ， 。ADCAFD 又 平面 平面 ， 直线 平面1, EE1/AE 4. 如图，四棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，PAD 为等腰直角三角形，APD=90 ，面 PAD面 ABCD， 且 AB=1，AD=2，E、F 分别为 PC 和 BD 的中点 （1）证明：EF面 PAD； （2）证明：面 PDC面 PAD； （3）求四棱锥 PABCD 的体积 如图，连接
5、 AC，ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点， AC 必经过 F 1 分 又 E 是 PC 的中点，所以，EF AP 2 分 EF 在面 PAD 外，PA 在面内，EF面 PAD （2）面 PAD面 ABCD，CDAD，面 PAD 面 ABCD=AD，CD面 PAD， 又 AP 面 PAD，AP CD 又APPD，PD 和 CD 是相交直线，AP面 PCD 又 AD 面 PAD，所以，面 PDC面 PAD （3）取 AD 中点为 O，连接 PO，因为面 PAD面 ABCD 及PAD 为等腰直角三角形，所以 PO面 ABCD， A BDCPMFGE D AC BEF HA BD CFE 即
6、PO 为四棱锥 PABCD 的高 AD=2 ，PO=1，所以四棱锥 PABCD 的体积 1233VPOABD 5. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，ABCD 平面 ， ， 、 、 分别为 、 、 的中点，且 .MAB/PMEGFBC2ADM （I）求证：平面 平面 ；EF （II）求三棱锥 与四棱锥 的体积 之比. 【解析】（I） 证明：由已知 MA 平面 ABCD，PD MA ， 所以 PD平面 ABCD又 BC 平面 ABCD， 因为 四边形 ABCD为正方形，所以 PD BC 又 PDDC=D，因此 BC平面 PDC 在PBC 中，因为 G平分为 PC的中点， 所以 GFBC 因
7、此 GF平面 PDC 又 GF 平面 EFG， 所以 平面 EFG平面 PDC. （ ）解：因为 PD平面 ABCD,四边形 ABCD为正方形，不妨设 MA=1， 则 PD=AD=2，AB CD 所以 V p-ABCD=1/3S 正方形 ABCD，PD=8/3 由于 DA面 MAB的距离 所以 DA 即为点 P到平面 MAB的距离， 三棱锥 Vp-MAB=1/31/2122=2/3，所以 Vp-MAB：p-ABCD=1:4。 6. 如图，正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB= ,CE=EF=12 （）求证：AF/平面 BDE； （）求证：CF平面 BDF; 证
8、明：（）设 AC于 BD交于点 G。因为 EFAG,且 EF=1，AG= AG=112 所以四边形 AGEF为平行四边形 所以 AFEG 因为 EG 平面 BDE,AF 平面 BDE, 所以 AF平面 BDE （）连接 FG。因为 EFCG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边形 CEFG为菱形。所以 CFEG. 因为四边形 ABCD为正方形，所以 BDAC.又因为平面 ACEF平面 ABCD,且平面 ACEF平面 ABCD=AC, 所以 BD平面 ACEF.所以 CFBD.又 BDEG=G,所以 CF平面 BDE. 7.如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形 ，A
9、B=2EF=2，EFAB,EFFB, BFC=90 ，BF=FC,H 为 BC 的中点， 图 5DGBFC AE 图 4GEFAB CD ()求证：FH平面 EDB; （）求证：AC平面 EDB; （）求四面体 BDEF 的体积 ；(1) ,/,2,/ /ACBDGACEGHBCGHEFEFHBEDB证 ： 设 与 交 于 点 ， 则 为 的 中 点 ， 连 ， 由 于 为 的 中 点 ， 故又 四 边 形 为 平 行 四 边 形， 而 平 面 ， 平 面 0,.,/,9, .FGHFHBGCCADCEABDEFFBFC（ ） 证 ： 由 四 边 形 为 正 方 形 ， 有 。又 /， 。 而
10、 ， 平 面又 为 的 中 点 ， 。平 面 又 ， 又 ，平 面（ ） 解 ： 平 面为 四 面 体 的 高 ， 又 2,211*2.33DE CV 8. 如图，在直三棱柱 1ABC中， E、 F分别是 1AB、 C的中点，点 D在 1BC上， 1A。 求证：（1）EF平面 ABC； （2）平面 1FD平面 1. 9.如图 4,在边长为 1的等边三角形 中, 分别是 边上的点, , 是 的中点, 与ABCDEABCDEFBCF 交于点 ,将 沿 折起,得到如图 5所示的三棱锥 ,其中 .DEGF2 (1) 证明: /平面 ; (2) 证明: 平面 ;CAB (3) 当 时,求三棱锥 的体积
11、.23ADFDEGFDEGV 答案】(1)在等边三角形 中, ,在折叠后的三棱锥 中 ABCDE ABCABCF 也成立, , 平面 , 平面 , 平面 ; /DEFF/DE (2)在等边三角形 中, 是 的中点,所以 , . A 12 在三棱锥 中, , ABCF 222BCFCBF ; A平 面 (3)由(1)可知 ,结合(2)可得 . /GEGED平 面 1131323224FDFVDF 10.如图,在四棱锥 中, , , ,平面 底面 , , 和PABC/ABDCABPDABCPDE 分别是 和 的中点,求证:F (1) 底面 ;(2) 平面 ;(3)平面 平面D/EPEF 【答案】(
12、I)因为平面 PAD平面 ABCD,且 PA垂直于这个平面的交线 AD 所以 PA垂直底面 ABCD. (II)因为 ABCD,CD=2AB,E 为 CD的中点 所以 ABDE,且 AB=DE 所以 ABED为平行四边形, 所以 BEAD,又因为 BE 平面 PAD,AD 平面 PAD 所以 BE 平面 PAD. (III)因为 ABAD,而且 ABED为平行四边形 所以 BECD,ADCD,由(I)知 PA底面 ABCD, 所以 PACD,所以 CD平面 PAD 所以 CDPD,因为 E和 F分别是 CD和 PC的中点 所以 PDEF,所以 CDEF,所以 CD平面 BEF,所以平面 BEF平面 PCD. 11. （2013 年山东卷）如图,四棱锥 PABCD中,ABCPA , ,2 , ,EFGMN分别为,D 的中点 ()求证: E 平 面 ; ()求证: EFGMN平 面 平 面
