1、高三年级阶段性教学质量检测 数学试题（理科） （120 分钟 150 分） 2012.01 第卷(选择题 共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1设集合 P=1，2，3，4，集合 Q=3，4，5 ，全集 U=R，则集合 RPQ A. 1，2 B. 3，4 C. 1 D. -2，-1，0，1，2 2在直角坐标系中，直线 30xy的倾斜角是 A 6 B 3 C 65 D 32 3已知 )(xf为奇函数，在 ,上是增函数， ,上的最大值为 8，最小值为1，则 2等于 A 15B 13C 5D 5 4已
2、知直线 l平面 ，直线 m平面 ，给出下列命题： lm lm lm lm 其中正确命题的序号是 A. B. C. D. 5已知 1()xfa， 2()af， 3()logafx， （ 0且 1a） ，在同一坐标系中画出其中两 个函数在第象限的图象，正确的是 A B C D 6一等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么顶角的余弦值为 A. 518 B. 34 C. 32 D. 78 7已知 ,15)sin(x则 xsin的值等于 A.16920 B.169 C. 16920 D.-169 8如图所示是以建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷 一遍，若每平方米用漆 0.2kg，则共需油漆大约公斤数为
3、 （尺寸如图所示，单位：米 取 3） A. 20 B. 22.2 C . 111 D. 110 9抛物线 21yx的准线与双曲线 219xy 的两渐近线围成的三角形的面积为 A. 3 B. 3 C. 2 D. 3 10已知 a.bR，那么 “ 12ba” 是“ ab+1 a+b”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 11在圆 xy52内，过点（ 25， 3）有 n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项 1a， 最大弦长为 na，若公差为 d 61， ，那么 n 的取值集合为 A. 4,5,6,7 B. 4,5,6 C. 3,4,5,6 D.
4、3.4.5,6,7 12设 x, y 满足约束条件 0,23yx ，若目标函数 z=ax+by(a.0,b0)，最大值为 12，则 ba32 的最小值为 A. 724 B. 65 C. 5 D. 4 第卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分. 13已知 ,10320dxt则常数 t=_. 14已知函数 2 ()()f ，则不等式 ()0fx的解集为 15已知 ,1OA,0,BAO点 C在 AB内， 045OC， 设 ()CmnR则 mn_. 16已知 ()fx为 上的偶函数，对任意 x都有 (6)(3)fxf且当 12,0,3x， 12x
5、 时，有 21)(xff0 成立，给出四个命题： (3)0f 直线 6是函数 ()yfx的图像的一条对称轴 函数 ()yfx在 9,上为增函数 函数 ()f在 9,上有四个零点 其中所有正确命题的序号为_ 三、解答题:本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设 xxf cosin32cos)(. （）求 的最小正周期及单调递增区间； （）将函数 )(xf的图象向右平移 3个单位，得 )(xgy的图象， 求 gxF32)(在 4处的切线方程. 18(本小题满分 12 分) 如图所示，在棱锥 PABCD中， P平面 ABCD， 底
6、面 ABC为直角梯形，且 / ， 90，2 ,4PD （）求证： （）求 与平面 PAC所成角的正弦值. 19(本小题满分 12 分) 已知二次函数 2(fxa，若对任意 12,xR，恒有 1212()()xffxf成立，不等 式 ()0fx的解集为 A ()求集合 ； ()设集合 4,Bxa，若集合 B是集合 A的子集，求 a的取值范围 20(本小题满分 12 分) 已知数列 na的前 n 项和为 1,3nnS且 ， 1,2+N. ()求数列 的通项; ()设 2nbnS+N的前 项和为 nT，证明: n 34. 21(本小题满分 12 分) 若椭圆 1E: 21xyab 和椭圆 2E: 2
7、1xyab 满足 21(0)abm,则称这两个椭圆相似，m 是相似比. ()求过( 2,6)且与椭圆 24xy 相似的椭圆的方程； ()设过原点的一条射线 l分别与() 中的两椭圆交于 A、 B点（点 在线段 OB上）. 若 P是线段 AB上的一点，若 OA， P， 成等比数列，求 P点的轨迹方程; 求 O的最大值和最小值. 22(本小题满分 14 分) 设函数 1(2ln2fxaxa. （）当 0时，求 ()f的极值； （）当 时，求 x的单调区间； （）当 2a时，对任意的正整数 n，在区间 1,62n上总有 4m个数使得1313()()()()()()mmffffaffaffa 成立，试
8、问：正整数m 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由. 高 三 年 级 阶 段 性 教 学 质 量 检 测 数 学 试 题 (理 科 ) 2013.01 参 考 答 案 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. ADACB DDBDC AB 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分. 13. 1 14. 1x且 15 2 16. 三、解答题:本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 解:（） (cos2)3incos()36xfxxx, 分 故 f(x)的最小正周
9、期 T, 4 分 由 kk62 得 f(x)的单调递增区间为 Zk12,7.分 （）由题意： ()23cos()3sin236gxxx, 分xFsin)( ,2 icox , 分 因此切线斜率 2 16)4(Fk, 切点坐标为 ,， 故所求切线方程为 )4(2xy, 即 08162x. 分 18(本小题满分 12 分) 解:（）在直角梯形 ABCD 中，AC= 2， 取 AB 中点，连接， 则四边形为正方形， 分 ，又 21AB， 则 ABC为等腰直角三角形， BCA， 分 又 P平面， B平面 ACD， ，由 P得 平面， 平面，所以 . 分 （）以 A 为坐标原点，AD，AB，AP 分别为
10、 zyx,轴， 建立如图所示的坐标系.则 )2,0(，B（,） ， C（,） ， ),(B),240(P 9 分 由（）知 即为平面 PAC 的一个法向量， 510|,cosBPC ,11 分 即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 . 分 19(本小题满分 12 分) 解：() 对任意 12,xR， 有 21()()fff21()0ax分 要使上式恒成立，所以 0 由 2()fxa是二次函数知 故 4 分 由 1()xa 所以不等式 )0f的解集为 (,0)A6 分 ()解得 (4,)B，8 分A014a 分 解得 025a2 分 20(本小题满分 12 分) 解：() 1 13,23n
11、 naSaS 时 ， , 分 ,1nn即 12(),)nN* 分23nna n,1 ,2n 6 分 （） 132nnSa, 12b 8 分 123nnT nn3122 相减得， nnT212 ,分 nnn314 4. 12 分 结 论 成 立 . 21(本小题满分 12 分) 解:()设与 214xy 相似的椭圆的方程 21xyab . 则有 261ab 3 分 解得 ,8. 所求方程是 216xy . 4 分 () 当射线 l的斜率不存在时 (0,2)(,)AB, 设点 P 坐标 P(0, 0)y,则 24, y.即 P(0, ). 5 分 当射线 l的斜率存在时，设其方程 kx,P( ,)
12、y 由 1(,)Axy, 2()B则124kxy 得 2124xky 21|kOA 同理 241|kOB 7 分 又点 P 在 l上，则 ykx，且由 2222 28(1)()()yxyyk , 即所求方程是 2184 . 又 (0, )适合方程, 故所求椭圆的方程是 2xy . 9 分 由可知,当 l的斜率不存在时， |24OAB,当 l的斜率存在时,228(1)4|kOABk , 4| , 11 分 综上, |A的最大值是 8,最小值是 4. 12 分 22(本小题满分 14 分) 解:(I)函数 (fx的定义域为 (0,). 分 当 0a时， 1)2lnx， 21xf.分 由 ()fx得
13、 . ()fx， f随 x变化如下表: 1(0,)21(,)2)fx 0(A 极小值 A 由上表可知， 1)()2lnfxf极 小 值 ，没有极大值. 分 （II）由题意， 2(axf . 令 ()0fx得 1， 21. 分 若 a，由 ()f 得 (0,x；由 ()0fx 得 1,)2. 分 若 ， 当 2时， 1a， (,a或 ,)， (0fx ；1,xa ， ()0fx . 当 时， . 当 2时， 12a， 1(,x或 ,)xa， (0fx ； 1,2a， ()0fx . 综上，当 0时，函数的单调递减区间为 0,2，单调递增区间为 ,)； 当 a时，函数的单调递减区间为 (， )，单调递增区间为 ,； 当 2时，函数的单调减区间是 ,), 当 0时，函数的单调递减区间为 1(02， ,)a，单调递增区间为 1,2a. 分 () 当 2a时， 1()4fx， 24()xf. 1,6xn， 0f . mi()()42ff， max1()(6)fn. 分 由题意， 11()4(6)2mffn恒成立. 令 68kn ，且 k在 ,)n上单调递增，mi()3f ，因此 32，而 m是正整数，故 32 ， 所以， 2时，存在 1321aa ， 348mmaa时，对所有 n满足题 意. 3max. 分
