1、1 比例式、等积式证明的常用方法 一、三点定形法 例 1 如图，在 RtABC 中， ， 于 D，E 为 AC 的中点，ED 的90ACBAB 延长线交 CB 的延长线于点 P，求证： PD2 例 2 如图，在 中， ， 为 中点， 交 于 ，交 延ABCDBCBEACFB 长线于 . 求证：EFE2 注：三点定形法证明等积式的一般步骤： 1先把等积式转化为比例式； 2观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形； 3再找这两个三角形相似所需的条件 . 2、找相等的量（比、线段、等积式）替换 1、等线段替换 例 已知等腰 中， ， 于 ， ， 分别交 、ABCBCADABG/AD 于 、 ，求证：
2、ACEFEGF2 例 2 如图，在 中， ，ABC 1 D F A B C E 2 2 于 ， 于 ， 于 ， 是 的中点.求证：BCADAEBCGLAFLG2 2、等比替换 例 已知梯形 ABCD 中，ABCD，AC、BD 交于点 O， BEAD 交 AC 的延长线于点 E， 求证： .2OECA 例 如图，在 中， ， ， 为 中点， 延长线交 延ABCBCADEADAB 长线于 . 求证：FF 3 3、等积替换 例 5 如图，在 中， 、 分别是 、 边上的高，过 作 的垂线交ABCDFBCADAB 于 ，交 于 ，交 延长线于 .求证： .ABEFGHEHG2 例 如图，已知 CE 是
3、 RtABC 斜边 AB 上的高，在 EC 的延长线上取一点 P，连结 AP， 垂足为 G，交 CE 于 D，求证： APBDEPC2 注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等 积式来替换相应的量，把看似无路可走的 题目盘活，从而达到“ 车到山前疑无路，柳暗花明又 一村”的效果. 三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化 例 已知在正方形 中， 是 的中点， 是 上的一点，且 ，ABCDEABFADADF41 ，垂足为 ，求证： .FEGG2 A B C H D GE F 4 4、利用相似三角形的性质 例 如图， 中， ，
4、于点 ， 的平分 交ABCRt90ABCDCABE 于点 ，交 于点 求证： .CDFEEF 注：相似三角形的对应高的比、 对应中线的比、 对应角平分 线的比都等于相似比，我们可以利 用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果！ 练习巩固： 1如图，点 、 分别在边 、 上，且 DEABCCADE 求证：（1） ； (2) . 如图， 中，点 在边 上，且 是等边三角形，ABCDEBCADE120BAC 求证：（） ；（） ； （）B2 . 5 3如图，在平行四边形 中， 为 延长线上一点， .ABCDEAECAD 求证： E 如图， 为 中 的平分线， 是 的垂直平分线ADBCAEFAD 求证: 。F2 如图， 是平行四边形 的边 延长线上一点， 交 于点 ，交 于EABCDECABGD 点 ，求证： .FFG2 6 如图， 是正方形 边 延长线上一点，连接 交 于 ，过 作EABCDAECDF 交 于 求证： .BFM/ FM
