1、实用标准文案 精彩文档 编号： 班级： 学号： 姓名： 成绩： 第 1 章 静电场 1. 证明均匀介质内部的极化电荷体密度 ，总等于自由电荷体密度 的pf （1 ）倍。0 fDE)(E)(P00e f1 实用标准文案 精彩文档 2. 有一内外半径分别为 的空心介质球，介质的介电常数为 ，使介质21和r 内均匀带静止自由电荷 ，求f （1）空间各点的电场； （2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解 1） 由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向 故： 时1r 或 042dVrf)E( 0)E(r 时 球壳体内：21r drrDdsrf 12244)(n ()(313rrDf )(
2、)(3100rEf 在 的球形外：2 )()( 210202 34142 rdrrErf )()(2120r 式中 写在一起r0)(r)()(E221301310rrrf 实用标准文案 精彩文档 2） r)()(EDP310f （与第一题相符）fp 内表面： 013030011 )(E)(n)(n2 rfrrp 外表面： 210022 rrrp )()()()(12 实用标准文案 精彩文档 3. 证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折 满足： 12tan 式中 和 分别为两介质的介电常数， 和 分别为界面两侧电场线与法12 2 线的夹角。 证明：绝缘介质分界面上自由电荷密
3、度 ，故边值关系为：0f , （ , ）ttE12nD1212)E( f)D(n12 若两种介质都是线性均匀的，即 ， ； 上边两式为: ，12sisi 1122coscs 于是得： 1tan 实用标准文案 精彩文档 4. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体 外的电场线总是垂直于导体表面。 证明：设介质 1 为导体，介质 2 为绝缘体。 静电情况下： ,0E1D 由边值关系： ,2)(nf)(n12 可得： ,tt12f1 即， ，0tEfnD2 对于各向同性线性介质 E 所以， f 即导体外的电场线垂直于导体表面 1 导体 2 绝缘体 实用标准文案 精彩文档 5
4、. 如图 1，有一厚度为 ，电荷密度为 的均匀带电无限大平板，试用分a20 离变量法求空间电势的分布。 解：以 O 原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性， 电势分布仅与 x 有关，即一维问题。容易写出定解问题：)(axdxii0122 时 aei ei 时 0x0)(xi 直接求解得 20i)(axe0 2a O 图 1 x 实用标准文案 精彩文档 6. 内半径 ，外半径为 的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量 ，ab Q 试用分离变量法求空间电势分布。 解.根据球对称性，空间电势分布 仅与 r 有关，定结问题为：)(bra021 1ar r=b 时 21 Qdsr)(201002r
5、求解得 )(rabQ1401)(01 实用标准文案 精彩文档 7. 均匀外电场中 ，置入半径为 的导体球。求以下两种情况的电势分0E0R 布。 （1）导体球上接有电池，使球保持电势为 ；（2）导体球上带有总电荷0 。Q 解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性， 即电势仅与 r 有关 1） 的定解问题为00 02cos)(rERrrR 此时 是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为23000 rRErr cos)(cos 2） 的定解问题为00r02RrQdsn)(一 类似解为 230004rREEcoscos 实用标准文案 精彩文档 8. 介电常
6、数为 的无限均匀介质中，挖一个半径为 的空球，球心处置一电a 矩为 的自由偶极子，试求空间电势分布。fp 解 如图建立球坐标系， 的方向为极轴 方向,fpxe 的定解问题为012rei ar)( r=a 时， ；eirei0 注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性， 可写为：i)(coscos)(nnnfi PrBArp10204 第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故 Bn=0 解的电势分布 )()(rp)(r arafeffi 30030240 fp0z 实用标准文案 精彩文档 9半径为 R 的均匀介质球中心置一自由偶极子 ，球外充满另一种介质，fp 求空间各点的电势和极
7、化电荷分布（介质球介电常数为 ，球外为 ） 。12 解：求解与上题类似，只需 ,210 得 ，0321314Rrrppff ，03212f 极化电荷分布，在介质球内 fp01 因此在球心处有一极化电偶极矩 ，fp0 在 的界面上，由 ，0Rr12pn0 可得， 30210210101202 30 Rprrr fRRp cos 实用标准文案 精彩文档 10. 两个接地的无限大导电平面，其夹角为 ，点电荷 位于这个两面角60Q 的平面上，并与棱边（两面角之交线）相距为 。试用电像法求真空中的电 势。 解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷 Q 位于双面角的平分线 上，可按下面的方法求得像电
8、荷的位置和大小： （1）首先考虑半面 ，为了满足 平面的电势为零，应在 Q 关于ON 对称的位置 B 处有一像电荷- Q,N （2）考虑半面 ，同样为了满足电 势为零的要求，对于 A、 B 处两个点电 荷+ Q 和- Q，应在 A、 B 关于 对称的ON 位置 C、 D 处有两个- Q、+ Q， （3）再考虑 半平面，对于 C、 D 处的- Q 和+ Q，应在 E、 F 处有两个像电荷+ Q 和- Q 才能使导体 的电势为零。ON 可以证明 E、 F 处的两个点电荷+ Q 和- Q 关于 平面对称，因而可满足 平面的电势为零，这样找出了 5 个像电荷，加上原来给定的点电荷，能ON 够使角域内的
9、场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点 P 处的电势可 表为 ，65432104rrx 其中 分别为给定电荷 Q 及其像电荷到 P 点的距离。621r, 在其余空间的电势为 。 A +Q N NCD F E B -Q+Q -Q +Q -Q A 实用标准文案 精彩文档 11. 接地空心导体球，内外半径为 和 ，球内离球心 处（ ）置1R2a1R 一点电荷 ，试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在内表面还Q 是外表面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量 ，则电势分布又如0Q 何？若导体球壳具有确定的电势 ，电势分布如何？0 解：根据题意设球内区域电势为 ，球外区域电势为 ，12 ，
10、 021201RRzyaxQ, 设像电荷位置如图所示， rQ014 其中 21222 cos,cos RbRar 由边界条件 01 cscs aQbQ1212212 o bRR21 R R1 R2 a b r B Q r Q 实用标准文案 精彩文档 要使上式对任意 成立，必有 （*）02211aQbR1 解得 ， （舍去）ab21, 代入（*） ，得 QaRQ121一aRb121, 由上可知， ，204R 202121212120 41 RQaRaQaQcos/cos 若使有确定 ，且两种情况有相同解 ，02004 ， cos/cosaRQRaQ21422041 由边界条件 n12 所以，外表
11、面感应电荷面密度 ，0201R 内表面感应电荷面密度 ， 231210241 cosaQR 实用标准文案 精彩文档 总感应电荷 ， （可见全部在内表面上）Qds2一 12. 四个点电荷，两个 ，两个 ，分别处于边长为 的正方形的四个qa 顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。 解：该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位置为 q(0,0,0)，- q(a,0,0)，-q(0,a,0)，q(0,0,a)的精确到四极矩情况下，可求得远处的电势 分布为 。50 234rxyqa -q -q +q +q 实用标准文案 精彩文档 13. 求面电荷密度按 分布，半径为 的球的电矩。问该系统是co
12、s0a 否存在电四极矩？ 解： dvpx ，0dsvpyxxx 一0svyy34adpzz 所以， zeP0一一一一033202 dsazdvazDz 1zyx 实用标准文案 精彩文档 14. 设真空中电场的势为 )/()/(aqqr232)(r 式中 是离坐标原点的距离， 和 是常数，求相应的电荷分布。ra 解： ， ，0202 时， ，ar02rq 时，3032 aqa/ 30aq/)(r 实用标准文案 精彩文档 15. 在一点电荷 的电场中，距离它为 的地方有一偶极子，其电矩 ，qdlpq 求在下列两种情况下，此电矩所受的力 和力矩 ：FL （1）偶极子的电矩 沿点电荷电场的方向 ;p （2）偶极子的电矩 垂直于点电荷的电场。 解：把点电荷 q 激发的电场视为外场， ，304rqE一 电偶极 在外电场 中的势能为 ，p一 一pW 而 ，把 的取向代入一般表达式，得到一L,FW （1） 时， ，rp/ 04230Lrq, （2） 时， ， 的方向由 决20301qp,pEp 定。
