1、山西师范大学现代文理学院本科毕业论文利用导数研究函数性质姓名院系数学与计算机科学系专业数学与应用数学班级0803班学号0890110320指导教师答辩日期成绩论文题目利用导数研究函数性质内容摘要导数作为研究函数性质极其重要而有力的工具，为我们解决许多函数问题提供了一种更简单易行的方法和途径，极大地丰富了数学思想方法。本文通过结合具体的例子，论述了导数在研究函数性质时的一些应用比如利用导数处理函数图像的切线问题、利用导数研究函数的单调性、解决极值最值问题、以导数为工具探讨函数零点个数、应用导数证明不等式、进行近似计算。【关键词】导数函数的性质函数的零点不等式近似计算TITLETHESTUDYOF
2、FUNCTIONBYUSINGDERIVATIVEABSTRACTRESEARCHONTHEPROPERTIESOFFUNCTIONDERIVATEASEXTREMELYIMPORTANTANDPOWERFULTOOL,FORUSTOSOLVEMANYFUNCTIONPROVIDESAMORESIMPLEMETHEODANDTHEWAY,GREATLYENRICHEDTHEMATHEMATICALTHOUGHTANDMETHEDINTHISPAPER,THROUGHACOMBINATIONOFSPECIFICEXAMPLES,DISCUSSTHERESEARCHONTHEPROPERTIESO
3、FFUNCTIONDERIVATIVEINTHEAPPLICATIONSUCHASTHEUSEOFTHEDERIVATIVEFUNCTIONIMAGETANGENTPROMBLEM,USINGDERIVATIVEOFMONOTONICITYOFFUNCTIONS,SOLVINGTHEMOSTVALUEPROBLEMWITHTHEDERIVATIVEEXTREMUM,ASATOOLTOEXAMINEZERONUMBEROFFUNCTIONS,APPLICATIONOFTHEDERIVATIVETOPROVEINEQUALITY,APPROXIMATECALCULATION【KEYWORDS】DE
4、RIVATIVEPROPERTIESOFFUNCTIONZEROOFAFUNCTIONINEQUALITYAPPROXIMATECALCULATION目录引言1一、导数的相关概念1二、函数基本性质的研究2（一）利用导数处理函数图像的切线问题2（二）利用导数判断函数的单调性3（三）利用导数求函数的极值、最值5三、函数零点个数的探讨7四、不等式的证明9五、利用导数解决近似计算问题10结束语11参考文献11致谢121利用导数研究函数性质学生姓名指导老师引言导数是联系初、高等数学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具，它的工具已经渗透到数学的很多分支，这在函数的研究中更是得到了体现。利用导数
5、研究函数的一些性质并解决相关问题，为数学研究提供了新的视野。以下我们先来介绍一些导数的基本概念，再具体的阐述如何利用导数解决函数问题。一、导数的相关概念1导数的定义当自变量的增量0XXX，0X时函数的增量0YFXFX与自变量增量X之比的极限存在且有限，即0000LIMLIMXXFXFXYXXX存在且有限，我们就说FX在点0X处可导，称此极限为FX在点0X处的导数（或变化率）。2导数的另一种形式0000LIMXFXXFXFXX叫做YFX在0XX时的导数，记作0|XXY，导数还可以表示为0000LIMXXFXFXFXXX。3导数的几何意义曲线YFX在点0,0XFX处切线的斜率。注意函数在点0X的某
6、领域内要有定义，否则导数不存在。如果极限000LIMXFXXFXX不存在，则称函数YFX在点0X处不可导。导数0000LIMXFXXFXFXX表示的是函数YFX在0X点的瞬时变化率，反映的是函数YFX在点0X处变化的快慢程度。如果函数YFX在开区间,AB内的每一点处都可导，则称函数YFX在开区间,AB内可导，此时对每一,XAB个都对应着一个确定的导数FX，2我们称函数FX为YFX在区间,AB内的导函数，简称导数。二、函数基本性质的研究（一）利用导数处理函数图像的切线问题导数FX的几何意义在函数图象上可表示为曲线YFX在某点0,0PXFX处切线的斜率0FX，在具体应用中，已知曲线YFX和曲线上的
7、点0,0PXY，则可求出曲线在P点处的切线斜率为0YFX，从而得到切线方程为000YYFXXX注意在求曲线的切线方程时，要特别注意曲线上某点处的切线和过某点的切线是完全不同的曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，就算此点在曲线上，也不一定只有一条。在求过某点的切线时，必须首先搞清楚此点是否在曲线上，只有该点在曲线上时，切线斜率才是0FX。在求两条曲线的公切线时也常常会用到导数的知识。例1已知曲线3YX的一条切线L与直线350XY垂直，求直线L的方程。已知1,1为曲线32YXX上的一点，求过该点的切线方程。解切线L与直线350XY垂直，则可设直线L的方程为30XYM，L的斜率
8、为3K，即曲线3YX在某一点处的导数为3，而23YX，所以3YX在1,1点处的导数为3，因此直线L的方程为131YX，即32YX。设切点为0,0PXY，则切线的斜率020|32XXYX，所以切线方程为00032YYXXX，又切点在曲线上，故320000232YXXXXX由题意知，切线过点1,1，把它代入切线方程得332000012321XXXX，解得01X或012X，故所求切线方程为12321YX或13112842YX即20XY或5410XY小结我们会发现5410XY是以17,28为切点，且经过点1,1的直线，而不是以1,1为切点的的直线，这说明在求经过曲线上某点的切线时，该点不一定是切点。这
9、类问题一般采用待定切点法求解，即先设切点的坐标，写出切线方程，将已知点代入该方程，求出切点，从而得出切线方程。例2已知抛物线1C22YXX与22CYXA，如果1C和2C有公切线L，求公切线L的方程。解由212CYXX得22YX，故曲线1C在点2111,2PXXX的切线方程是2111222YXXXXX，即21122YXXX（1）由2YXA得2YX，所以曲线2C在点222,QXXA的切线方程是22222YXAXXX即2222YXXXA（2）若L是过点P与Q的公切线，则（1）、（2）表示的是同一条直线，122212222XXXXA消去2X，得2112210XXA，结合题意分析知，该方程有且只有一个根
10、，故44210A，所以12A，则1212XX，即,PQ重合，因此得曲线1C和2C有且仅有一条公切线，且L的方程为140XY（二）利用导数判断函数的单调性判断函数FX的单调性时，常常借助FX的符号来判断。定理设函数YFX在区间,AB内可导，当,XAB，0FX时FX在区间,AB内单调递增；4当,XAB，0FX时FX在区间,AB内单调递减。在具体问题中，求单调区间的方法为确定函数的定义域求函数的导数FX求不等式组0FX定义域D的解集来确定单调递增区间，求不等式组0FX定义域D的解集来确定单调递减区间。例已知函数32112FXXAX求FX的单调区间；若函数FX的递增是区间1,2，递减区间是4,5，求A
11、的取值范围。解2333AFXXAXXX，当0A时，31FXX，在R上单掉递增；当0A时，FX在,03A上单调递减，在,3A和0,上单调递增；当0A时，FX在0,3A上单调递减，在,0和,3A上单调递增。FX在1,2上递减，故FX0在1,2上恒成立，且0FX在4,5上恒成立，即230XAX在1,2上恒成立233XAXX在1,2上恒成立在1,2上633X，6A；又230XAX在4,5上恒成立3AX在4,5上恒成立，又在4,5上15312X，12A综上所述，A的取值范围是126A5（三）利用导数求函数的极值、最值极值的定义设函数YFX在点0X的某领域内有定义，若在该领域内异于0X的点恒有若0FXFX
12、,那么称0FX为函数FX的极大值，0X为极大值点；若0FXX,那么称0FX为函数FX的极小值，0X为极小值点。极值分为极大值和极小值。求极值或最值的方法求0FX的根0X；若0XX时，0FX；0XX时，0FX，则FX在点0X处取得极大值，若0XX时，0FX；0XX时，0FX，则FX在点0X处取得极小值，若0XX时，0FX；0XX时，0FX，则FX在点0X处无极值，若0XX时，0FX；0XX时，0FX，则FX在点0X处无极值。若还要求最值，则需加一个步骤，对于闭区间，需要算一下两个端点的函数值，然后将所有的极值和端点的函数值作比较，得出最大值和最小值。注意函数的极大值和极小值可以不止一个，也就是说
13、函数的极值不唯一。极小值可以大于极大值，极大值也可以小于极小值，因此二者之间没有确定的大小关系。若FX在区间,AB上连续，则FX在,AB上必有最大值和最小值。FX的极值是针对局部而言的，而最大值与最小值是针对整体而言的，即定义域内的最大或最小；函数的极值点一定在区间内部取得，函数的最大最小值不一定都存在于区间内部，也有可能存在于区间的端点处。也可利用函数的单调性求FX的最值，如果FX在,AB上单调递增，则FX的最大值为FB，最小值为FA；如果FX在,AB上单调递减，则FX的最大值为FB，最小值为FA。例1已知函数32224,8FXXXXGXAXX求FX的极值；若对任意的0,X，恒有FXGX，求
14、实数A的取值范围。6解2341FXXX，令0FX，得1211,3XX随着X的变化，,FXFX的变化情况如下表X,1111,3131,3FX00FX递增4递减11227递增由上表可知，FX在1X处取得极大值，且FX极大值14FFX在13X处取得极小值，且1112327FXF极小值令3224FXFXGXXAX，FXGX在0,上恒成立，即0FX在0,上恒成立MIN0FX，其中0,X若20A，即2A时，显然MIN40F，若20A，即2A时，2342FXXAX，令0FX，解得12240,3AXX，当2403AX时，0FX，FX在240,3A上单调递减；当243AX时，0FX，FX在24,3A上单调递增故
15、FX在243AX处取得最小值，0,X时，MIN2403AFXF即32242424033AAA解得5A，因此当2A时，要使MIN0FX恒成立，A的范围为25A结合、，A的取值范围为,57例2设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问怎么样设计能使总造价最少解设此铁桶的高为H，底面半径为R，又设单位面积铁的造价为M，桶的造价为Y，则2232YMRMRRH，由2VRH得2VHR，所以2240MVYMRRR，228MVYMRR令0Y，得134VR，此时13244VVHR，当130,4VR时，0Y当13,4VR，0Y因此134VR是函数224MVYMRR的极小值点，
16、也是最小值点，故当134VR时，Y有最小值，即41HR时，总造价最少。三、函数零点个数的探讨在求曲线的交点和函数的零点个数时，通常会利用函数的单调性和极值来求解，而导数是判断函数的单调性和求解极值以及处理函数图像的有力工具，因此我们可以借助导数的知识来探究与函数零点有关的问题，如方程解的个数，直线与函数图像的交点，两函数图像的交点等都可以转化为函数零点问题来求解。函数零点的定义函数YFX的零点方程0FX的根函数YFX的图像与X轴交点的横坐标。推广函数FXFXGX的零点0FXGX的根方程FXGX的根函数YFX与YGX函数图象的交点的横坐标。零点存在性定理函数YFX在闭区间,AB上连续，如果0FA
17、FB，那么函数YFX在区间,AB内至少有一个零点，即至少存在一点,AB，使0F，其中是方程0FX的根，也叫方程根的存在性定理，这个定理只能判断零点的存在性，不能判断零点的个数。8求0FX根的分布情况的方法求FX的定义域；求FX；在FX的定义域内求0FX及FX不存在时的全部点，并将这些点从小到大排列；将FX的定义域用上述点分割开，得到FX的各个单调区间，在求出的每个单调区间内FX至多有一个零点；在上述每个单调区间内，判断FX在端点处的符号。若异号，则FX在该区间只有一个零点；若同号，则FX在该区间无零点；若FX在某端点处的值为零，则该端点为FX的一个零点。例求函数FXAAR和323GXXX的交点
18、个数。解求函数FX和GX的交点个数可以转化为求函数323FXFXGXXXA的零点个数，23632FXXXXX，由0FX得0X或2X当X变化时，,FXFX的变化情况如下X,000,222,FX00FX递增A递减4A递增0FXFA极大值,24FXFA极小值当0A或40A，即0A或4A时，FX有一个零点，此时FX与GX有一个交点；当0A或40A，即0A或4A时，FX有两个零点，此时FX与GX有两个交点；9当0A且40A，即04A时，FX有三个零点，此时FX与GX有三个交点。四、不等式的证明不等式的证明是数学学习中常见的一类题型，而导数的引入为不等式的证明提供了更加简便的方法。利用导数证明不等式，就是
19、根据不等式的结构特征，构造相应的辅助函数，从而将不等式的证明转化为利用导数判断函数单调性及最值问题。函数不等式的证明证明不等式FXGXFXGX的问题可转化为证明00FXGXFXGX进而构造辅助函数HXFXGX，再利用导数知识判断HX的单调性或证明HX的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零。常数不等式的证明此类不等式的证明可以转化为证明不等式FAFB的问题，再根据,AB的不等式关系和函数的单调性来证明。例1已知函数LN1,1FXXXX，证明11LN11XXX证明函数FX的定义域为1,，1111XFXXX当1,0X时，0FX，当0,X时，0FX所以当1X时，0FXF，即LN10XXLN1XX
20、令1LN111GXXX，则2211111XGXXXX当1,0X时，0GX，当0,X时，0GX当1X时，0GXG，即1LN1101XX1LN111XX，综上所述，当1X时，11LN11XXX例2已知,AB为实数，且BAE，其中E为自然对数的底数，求证BAAB证明要证BAAB，只需证LNLNBAABEAB，即证明LNLNAB设LNXFXXEX，则21LN0XFXX，10因此函数FX在区间,E上单调递减，又EABFAFB即LNLNAB，BAAB五、利用导数解决近似计算问题应用导数进行近似计算，其主要思想是当X充分接近0X时，用切线近似代替曲线，以求得近似值，根据导数的定义，0000LIMXFXXFX
21、FXX0LIMXYX，当X很小时，得近似等式，000YFXXFXFXX，000FXXFXFXX，令0XXX，000FXFXFXXX特别地，当00X，X很小时，00FXFFX例1求SIN29O的近似值解设SINFXX，COSFXX取0306OX，2929180OX，180X，2913SIN29SINSINCOS0017504851806618022O例2设钟摆的周期为1秒，在冬季摆长至多缩短001M,试问冬天此钟每天最多可快多少秒解由物理知识可知，单摆的周期T与摆长L的关系为2LTG，其中G是重力加速度已知钟摆周期为1秒，故此摆原长为024GL当摆长最多缩短001CM时，摆长增量001L，它引起
22、单摆周期的增量0202|00002LLDTLTLLDLGGL秒）这就是说，加快了00002秒，即此钟摆每天加快了11606024000021728（秒）故此钟冬天每天快1728秒。结束语总之，导数作为研究函数性质的一种重要工具，在解决许多数学问题时使用起来非常方便。通过以上的例子，在研究函数的性质，函数不等式的证明以及进行近计算问题时，将导数作为桥梁可以使其求解过程思路清晰，步骤简化，避开了运用初等方法的高技巧性，突出了一般性和简单性的特点。在解答函数类问题时要有意识的将导数知识运用其中，从而更加便捷的解决相关问题。参考文献1张红雅，浅谈导数在高中阶段的应用J资治文摘,20112周海，导数在研
23、究函数中的应用J中国校外教育,20103张效先解读中学微积分M山东科学技术出版社，200131354华东师范大学数学系数学分析M高等教育出版社，200191945张奠宙，过伯祥数学方法论稿M上海教育出版社，19966钱耀周，导数与不等式J高中数学教与学，2007（67高慧明，中学数学研究J华南师范大学数学科学学院，200898吴连进，例析导数的应用J数学导学201112致谢论文的完成，意味着大学生活的结束，也意味着我将开始迈入社会。在这个收获的季节里，当我满心欢喜的捧着完稿的论文，回首这四年以来经历的点点滴滴，要感谢的人实在太多了。首先要感谢我的指导老师，您的耐心和鼓励给了我很大的帮助，在论文的写作和修改过程中我学到了不少东西。然后感谢我的母校为我提供了良好的写论文的环境；还要感谢我的室友们，曾经一起经历的日子，有过欢笑也有过泪水，这些美好的记忆我会永远记在心里。最后要感谢我的父母，谢谢你们一直以来对我的信任和支持，我唯一能做的就是在今后的日子里更加的努力让你们欣慰。希望能与所有要感谢的人共勉，相信自己，勇敢的追逐最初的梦想，永不放弃
