1、学校代码11517学号200911002104HENANINSTITUTEOFENGINEERING_毕业论文题目一类非线性粘弹性方程解的整体存在性学生姓名专业班级信息与计算科学0941班学号200911002104系（部）理学院指导教师职称（讲师）完成时间2013年5月20日河南工程学院论文版权使用授权书本人完全了解河南工程学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容按照学校要求提交论文的印刷本和电子版本；学校有权保存论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或
2、者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。论文作者签名年月日河南工程学院毕业设计论文原创性声明本人郑重声明所呈交的论文，是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。论文作者签名年月日河南工程学院毕业设计（论文）任务书题目一类非线性粘弹性方程解的整体存在性专业信息与计算科学学号200911002104姓名
3、主要内容CAVALCANTIMM,DOMINGOSCAVALCANTIVN,FERRIRAJ已经研究过方程TTTTTTTUDUTGUUUU00，,0XT（11）具有初边值01,0,0,TUXUXUXUXX,0UXT，,0XT他们得出松弛函数以指数形式衰减时，得到了能量的一致衰减。TATERN,MESSAOUDISA研究过如下方程UUBUDUTGUUUUPTTTTTTT20,0XT（12）初边值条件同（11），用改进的位势井方法得出了整体解的存在性且能量以指数形式衰减。吴舜堂研究了方程UUUUDUTGUUUUPTTMTTTTTT0，,0XT（13）刘文俊研究了方程TTMTTTUUBUUXADUT
4、GUU00，,0XT（14）受上述文献的启发，本文拟研究如下方程00,0TTTTTTUUGTUDAXUUBUUXT（15）具有初边值,0UXT,0XT01,0,0,TUXUXUXUXX以SOBOLEV空间基础知识为工具，利用衰减估计方法对非线性粘弹性方程解的存在性进行了研究。基本要求扎实的英语和数学功底，非常熟悉数学分析的知识，熟练掌握WORD,MAPLE等数学工具。主要参考资料1CAVALCANTIMM,DOMINGOSCAVALCANTIVN,FERRIRAJEXISTENCEANDUNIFORMDECAYFORANONLINEARVISCOALASTICEQUATIONWITHSTRON
5、GDAMPINGM20012TATERN,MESSAOUDISAEXPONENTIALANDPOLYNOMIALDECAYFORAQUASILINEARVISCOELASTICEQUATIONMNONLINEARANALYSIS,2008687857933韩小森，王明新，带非线性阻尼的粘弹方程解的整体存在性和一致衰减性，M20094SHUNTANGWUGENERALDECAYOFSOLUTIONSFORAVISCOELASTICEQUATIONWITHNONLINEARDAMPINGANDSOURCETERMSM20115XIAOSENHAN,MINGXINWANG,GENERALDECAYO
6、FENERGYFORAVISCOELASTICEQUATIONWITHNONLINEARDAMPINGM20096WENJUNLIUEXPONENTIALORPOLYNOMIALDECAYOFSOLUTIONSTOAVISCOELASTICEQUATIONWITHNONLINEARLOCALIZEDDAMPINGM20107同济大学数学系主编，高等数学M高等教育出版社，19798张全德，非线性波动方程整体解的存在性与唯一性J陕西师大学报自然科学版,20199281829MESSAOUDIA,BERRIMISEXISTENCEANDDECAYOFSOLUTIONSOFAVISCOALASTICE
7、QUATIONWITHANONLINEARSOURCEMNONLINEARANALYSIS,2006,2314233110TATERN,MESSAOUDISAGLOBALEXISTENCEANDUNIFORMSTABILITYOFSOLUTIONSFORAQUASILINEARVISCOELASTICPROBLEMM11苗长兴非线性波动方程的现代方法M200512LIONSJL,STRAUSSWASOMENONLINEAREVOLUTIONEQUATIONSM19650113PAZYASEMIGROUPSOFLINEAROPERATORSANDAPPLICATIONSTOPARTIALDIFF
8、ERENTIALEQUATIONSM198314谷超豪，李大潜，沈玮熙，应用偏微分方程M高等教育出版社，199315陆启韶，常微分方程的定性方法和分叉M北京航天大学出版社，198916TATERN,MESSAOUDISAGLOBALEXISTENCEANDASYMPTOTICBEHAVIORFORANONLINEARVISCOELASTICPROBLEMM17张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜，微分方程定性理论M科学出版社，1985完成期限指导教师签名专业负责人签名年月日目录中文摘要I英文摘要II1序论111引言112粘弹性方程的发展概述12假设和主要结果421假设422主要结果43预备知识531
9、基本定义532一系列不等式533引理64主要结论的证明841解的整体存在性842能量的一致衰减性13致谢19参考文献20一类非线性粘弹性方程解的整体存在性I一类非线性粘弹性方程解的整体存在性摘要在本文中，研究一类非线性粘弹性方程解的整体存在性和以指数形式的衰减性。00,0TTTTTTUUUGTUDAXUUBUUXT,0UXT，,0XT01,0,0,TUXUXUXUXX文章共分为四小节第一节，简述研究一类非线性粘弹性方程的意义和近年来国际研究的现状，且基于本文的假设条件上研究这个问题。第二节，说明SOBOLEV嵌入定理和多个与本文有关的不等式方程条件。第三节，运用FAEDOGALERKIN方法证
10、明方程的整体存在性。第四节，我们采取下述的方法证明方程的衰减性。ZTMETATBT设在此中，为正常数，引入两个泛函11TTATUUUDX，01TTTTUUBTUGTUTUDDX广义能量TE和泛函TZ在特定意义下是等价的，为了得到TE的指数衰减，只需证明TZ满足指数衰减关键词非线性粘弹性方程，FAEDOGALERKIN方法，存在性，唯一性。一类非线性粘弹性方程解的整体存在性IIEXISTENCEOFACLASSOFNONLINEARWAVEEQUATIONSABSTACTINTHISPAPER,WESTUDYACLASSOFNONLINEARVISCOELASTICEQUATIONSTHEGLO
11、BALEXISTENCEANDDECAY00,0TTTTTTUUUGTUDAXUUBUUXT,0UXT，,0XT01,0,0,TUXUXUXUXXTHEARTICLEISDIVIDEDINTOFOURSECTIONSINTHEFIRSTSECTION，WEBRIEFLYSTUDYACLASSOFNONLINEARVISCOELASTICEQUATIONSSIGNIFICANCEANDTHESTATUSOFINTERNATIONALRESEARCHINRECENTYEARS，ITBASEDONTHISASSUMPTIONANDSTUDYTHISISSUE。INTHESECONDSECTION，E
12、XPLAINEMBEDDINGTHEOREMOFSOBOLEVANDAPLURALITYOFDOCUMENTSRELATEDTOINEQUALITYEQUATIONCONDITIONSINTHETHIRDSECTION，WEUSEFAEDOGALERKINTOPROVETHEGLOBALEXISTENCEOFTHEEQUATION。INTHEFOURTHSECTION，WESHOWTHATTHEEQUATIONOFATTENUATION。ZTMETATBTINTHIS,ISAPOSITIVECONSTANT，ANDTHEREIS11TTATUUUDX01TTTTUUBTUGTUTUDDXKEY
13、WORDSNONLINEARVISCOELASTICEQUATIONS，FAEDOGALERKINWAY，EXISTENCE，UNIQUE。一类非线性粘弹性方程解的整体存在性11绪论11引言作为数学的一个分支，在18世纪最早的系统的三个基本的数学物理偏微分方程分别为波动方程，热传导方程和调和方程，所运用的方法是经典分析。进入了二十世纪以后，在现代科学技术和其他数学分支不断发展的支撑下，对偏微分方程的研究已经突破了经典分析的局限，而在更一般的条件下讨论问题成为可能且十分现实了。事实说明，物理学，生物学甚至金融学等众多不同的领域中运用的基本规律，都可以通过微分方程进行研究和证明。这不但能够了解现象
14、的本质，特性特征，同时可以在此基础上作出新的预测。将它运用到不同的社会领域中，取得了巨大的科学成就和社会效益。伴随着科学技术水平的不断发展，各式各样的非线性问题引起人们日益深切的关注，源自于应用数学，物理学，等各种应用学科中的非线性偏微分方程初边值问题，是目前最受关注的非线性偏微分方程。固体力学有很多不同的研究分类，粘弹性理论就是其中之一。有多种类型的工程材料，如高聚合材料混凝土、某种生物组织以及在高速运动下发生变形的金属材料，不仅有弹性特质，而且还拥有粘性特征，这种兼备两者不同特点的材料称为粘弹性体。运用弹性力学的办法来研究粘弹性体并不能确切的反映真实情况，这是因为在外力作用下，粘弹性体会随
15、着时间的变化而产生弹性变形，而且变形还会不断的变化。弹性力学与粘弹性理论的主要区别在于应变应力不同关系。所以，粘弹性理论的重点研究对象就是粘弹性体的应变应力的关系。近些年来，在理论（包括断裂理论，本构理论）和应用上，非线性粘弹性的研究都取得了重大的进展。人们借助于非线性模型来充分研究年弹性固体的行为，随着研究广度和研究深度的进步，不少学者推导出其运动方程是偏微分积分方程，用经典的GALERKIN方法可把它简化为非线性积分微分方程。在粘弹性力学方程的理论和应用取得不断进展的情况下，粘弹性方程初边植问题成为近些年来在数学领域讨论的热门课题。这其中一个重点的研究方向就是含有记忆项的粘弹性方程。12粘
16、弹性方程的发展概述事实上，CAVALCANTIMM,DOMINGOSCAVALCANTIVN,FERRIRAJ等人在文献1已经研究过带强阻尼的相关方程00,0TTTTTTTUUUUGTUDUXT（11）与本文研究的方程具有相同的初边值01,0,0,NUXUXUXUXX,0,UXT,0XT一类非线性粘弹性方程解的整体存在性2他们运用GALERKIN逼近方法结合能量估计建立了解的存在性、唯一性等结果，假设是一个实数2301NN当时，1,20N当时，为证明解的整体存在性时考虑0，为得到能量的衰减速率时设定0在假定松弛函数G以指数形式衰减时，得到了能量的一致衰减。TATERN,MESSAOUDISA在
17、文献2研究过如下问题方程20PTTTTTTTUUUUGTUDUBUU,0XT（12）初边值条件与（11）相同。用改进的位势井和全新泛函方法得出了整体解的存在性且能量以指数形式的一致衰减性。将问题转化到带有非线性阻尼的情况下，韩小森和王明新在文献3研究过00TMTTTTTTTUUUUGTUDUU,0XT13在相同的初值条件下，设定2301NMN当时，1,20,当时，得到能量的一致衰减性吴舜堂等人在文献4研究过方程0PTMTTTTTTTUUUUGTUDUUUU,0XT（14）是在初边值与上述相同的情况下，将韩小森和王明新的论证延伸到含有PUU的情况。而当以上的问题去掉色散项后，同样引起了广泛关注，
18、相关的方程获得研究，得出一批有关解的存在性、正则性、唯一性与稳定性等结果。例如韩小森和王明新在文献5还研究过如下方程200TMTTTTTTUUUGTUDUU,0XT15在相同的初值条件下，设定21302NN当时，1,22时，,KTKETKE有正常数K和使得本文分别用GALERKIN方法和扰动能量方法证明此问题解的整体存在性和能量的一致衰减性刘文俊在文献6研究了方程TTMTTTUUBUUXADUTGUU00,0XT（16）其中在有界区域1NNR（）中，是具有光滑的边界,0,M0,G是一一类非线性粘弹性方程解的整体存在性3个指数衰减记忆项的正函数。存在正常数，在条件PGTGT,0,1P3/2T,可
19、得出能量的指数衰减。受上述文献的启发，本课题拟研究如下方程0010,0,0,017,0,0,TTTTTTTUUUGTUDAXUUBUUXTUXTXTUXUXUXUXX结合YOUNG和GRONWALL等多种不等式，使用FAEDOGALERKIN方法，即在适当的SOBOLEV空间中选取适当基函数，在由任意有限个基函数所张成的有限维空间中求解逼近问题，用常微分方程组的局部存在性定理得到逼近问题解的局部存在性。然后得到近似问题解的紧性估计，即可保证近似问题解的整体存在性。再选取近似问题解的一个子序列，使其收敛于原问题的解，即验证近似问题解子序列的极限满足方程和初值条件。本课题与（16）题目的区别是将T
20、TU改为TTTUU。其中TTTUU的计算方法参考方程（11）（15）结合（16）的衰减估计得出（17）的衰减估计，预期结果是能量以指数形式衰减一类非线性粘弹性方程解的整体存在性42假设和主要结果21假设当3N且假设，满足202N，如果12N，时，0，对于核函数G，假设它满足1X0,0,是正函数且满足00GKDKL2X存在正常数使得,0GTGTT22主要结果在以上假设的前提下，即设1010,UUH（），假设（X1），（X2）成立，则问题必有唯一的弱解0,UR，满足12010120000ULHLULHULHL，；，；，；21并且来说，假设0U是有界且为正的，那么对于任意的00T，存在K和K且二者都
21、为正常数，使得能量泛函数满足衰减估计0EKTETKTT，22一类非线性粘弹性方程解的整体存在性53预备知识31基本定义1MMMLUUDX,310MMMUUDXM,32当M时，INF00MLUXLX，MLL为L在上的本质上界，记为SUPMLLESSLX，定义MMLLLXLXL在上可测且3332重要的不等式MINKOWSKI不等式如果,1PFGLP则PPPLLLFGFG；HOLDER不等式设111,1PPPP，若,PPFLGL则,FGL且有FGFGLPPPPFGDXFG；YOUNG不等式1设1,PQR且满足1111PQR若PNFLRQNGLR，则有FG在NR上几乎处处存在，且FGFGRPQ；YOU
22、NG不等式2110,01,11ABPQPQ，则有PQABABPQ；带的YOUNG不等式110,001,11ABPQPQ且，则QQPQPPQPABABABPQ特别地，当2PQ时，上式变为224BABA（带的CAUCHY不等式）一类非线性粘弹性方程解的整体存在性6GRONWALL不等式（积分形式）（1）设T是0,T上的非负可积函数，0,TT,TCDSSCT021对某个12,0CC成立，则12110,CTTCCTETT；（2）如果10TTCSDS，0,TT，则0TGRONWALL不等式（微分形式）是非负的，且为绝对连续函数，在0,T的区间上，且对任意情况下的T满足不等式TPTTQT，在此PT和QT是
23、非负的，且为可积函数，在0,T的区间上，则T0T000PSDSTEQSDSTT，特殊情况下，在0,T的区间上符合条件000,PTT，则恒有0T33引理引理1（SOBOLEV嵌入定理）设为NR中的有界区域，其边界是光滑的，如果,KPUWKPN，那么（I）,KPQNPWLQNKP并有,0QKPLWUCU，其中0C为常数（II）102,2QNHLQN，并有10QSLUHUCU，其中SC为常数引理2（AUBIN引理）设01,BBB是三个BANACH空间，其中01,BB是自反一类非线性粘弹性方程解的整体存在性7的，且有连续的嵌入关系01BBB，0B到B的嵌入映射是紧的011,PP记010101010,|
24、0,0,PPWWTPPBBVVLTBVLTB，010112220,0,PPWLTBLTBVVVVW则W紧嵌入00,PLTB引理3设,XY是HILBERT空间或BANACH空间，XY和是XY和的对偶空间，YX如果0,NUULTX在内，0,NLY在内，则在0,LTY中U引理（REEN公式）NNRRVDXUNVUVDXU一类非线性粘弹性方程解的整体存在性84主要结论的证明41解的整体存在性令10H为K1KG的一个完备正交基，且KG是一个特征函数，其具备负LAPLACE含有带齐次DIRICHLET边界条件，即,KKKGGX,0,XK,经过规范化后，存在221KG，假设M是任意正整数，1MMKMKKUT
25、OTG,并且记MU表示MU对T求一阶导,U表示MU对T求二阶导再由（11）两边同时乘以KG，知MUT满足0,TMMKMKMKMMKUUGUGGTUGDAXUUG,0MMKBUUG且存在有,UUUU，则以上化简成0,TMMKMKMKMMKUUGUGGTUGDAXUUG,0MMKBUUG,010,0MMMMUUUU,其中1,KM，001111,MMMKKMKKKKUUGGUUGG当M时，在10H中，0011,UUUU因为假设中MMKAXGDX是一个有意义的非线性项根据标准的常微分方程理论，我们可知存在唯一的解在区间0,MT上，其中MT大于零则求解方程，并由第一估计得，对0T，这个近似解可以延拓到0
26、,T上现在验证估计一方程两边分别乘以KMOT，并且关于K求和，得到一类非线性粘弹性方程解的整体存在性90111,G,MMMTMMKKMMKKMMKKKKUUOTUGOTGTUG11,0MMKMMMKKMMMKKMKKOTDAXUUGOTBUUGOT可化为011,G,MMTMMKKMMKKMMKKUUOTUGOTGTU111,0MMMKKMMMKKMMTKKMKKKGOTDAXUUGOTBUUGOT继而得22222111222MMMDUUUDT202,0TMMMGTUUDAXU通过计算得0,TMMGTUUD00TTMMMMMGTUUUDXDGTUUDXD221122MMMDDGTUUDXDGTU
27、DXDDTDT2200TTMMMMDGTUUDXDGTUUDXDDT22DDGTUDXDGTUDXDTDT22011112222TMMMMGUTGUTGKDKUGTUDTDT记作符号20TMMGUTGTUUTDXD,则联系上面的计算可得22202111112222TMMMMDUGKDKUUGUTDT222211AX22MMMUGUTGTU一类非线性粘弹性方程解的整体存在性10在（0，T区间上积分，并且运用假设条件，该式可化为22202111112222TMMMMUGKDKUUGUT2102AXPTMU,由于00TGKDKGKDK00TGKDKGKDK11TGKDKGKDK,又由0GKDKL,0
28、0110TGKDKGKDKL因此，1P是与100HU及101HU有关的正常数，并由上述式子可得第一估计22222PMMMMUUUGUT,在此，2P是与100HU，101HU及L有关的正常数从而有下列结果120010000MMULTHLULTH在，；中一致有界在，；中一致有界现在验证估计二方程两边分别乘以KMOT，并且关于K求和，得到0111,G,MMMTMMKKMMKKMMKKMKKKUUOTUGOTGTUGOTD11,0MMMMKKMMMKKMKKAXUUGOTBUUGOT可化为0,TMMMMMMMMMMUUUUUGTUUAXUUU,0MMMBUUU一类非线性粘弹性方程解的整体存在性11通过
29、计算可得2,MMMMMUUUUUDX,22221,4MMMMUUUU,0022022200222022,141410,0,4TTMMTMMTTMMTMMGTUUDGTUUDXDUGTUDDXUGKDKGTUDXDLGUUD201,2MMMMMMMMMMDAXUUUAUUUUUUUDT,22,MMMMMMMMBUUUBUUUDXUU计算得222012,MMMTMMMMMMMDUUDXUDTUUDXGTUUDBUUU222222013210144MMMMTMMDUUDXUUDTLGUUD在（0，T区间上积分，并且运用假设条件，该式可化为2223002132TTMMMMUUDXDKUDUP,因此，3
30、P是及101HU有关联的正常数，并由上述式子可得第一估计22242MMMMUUDXDKUDUP,在此，4P是与100HU，101HU及0G有关联的正常数12000MLTHL在，；中一致有界综上所述，根据以上方程解得，MU存在子列MU，使得一类非线性粘弹性方程解的整体存在性12120010021200,0,1,0,2,0,3MMMUULTHLUULTHUULTHL在中在中在中下面处理非线性项100,0,MUULTH在中意味着2100,0,MUULTH在而（321200,0,UULTHL在中21200,0,PMUULTHL在进一步而有220,0,LUULTL在中利用AUBIN引理得相当于12010
31、012BBLPPH，220,0,MUULTL在，这意味着0,0,MUAET,0,022202TLQLLTLT,0上几乎处处收敛在意味着TUUM,0上几乎处处收敛在因此TUUXAUUXAMM下面验证初值，已知1000LUUINH在10H中，00UU，00,LT中，,LTUU且在00,LT中22,LLLDDUUUUTDTDT，其中,表示10H与10H的对偶积注意到2UTL，上式可写为,LDUUDT因此可知0,0,LUU又10,LUU，故对任意L有10,DUUDT因此在2L中，1,0UXUX一类非线性粘弹性方程解的整体存在性1342能量的一致衰减性在本文中，我们将证明此方程的解以指数形式衰减的定理设
32、U是方程的解，由此可定义广义能量方程ET满足0EKTETKTT，其中ET为22220111112222TTETUGKDKUGUTU,其中20TTTGUTGTUUTDXD并由此可知，221122TTAXUDXGUTGTU（212TAXUDXGUT引入两个泛函数，11TTATUUUDX,01TTTTUUBTUGTUTUDDX,并且设ZTMETATBT其中M和是未知的正整数本文先证明下述引理，由此说明泛函数ZT和广义能量ET在下述问题的意义中是等价的引理设U是上述方程得到的解，则存在两个正的常数项,AB，使得其满足下述不等式TZTEAEBT证由AT的定义11TTATUUUDX运用YOUNG不等式，得
33、到一类非线性粘弹性方程解的整体存在性1422222221111122222TTTTPUUUDXUUUNU由BT的定义，01TTTTUUBTUGTUTUDX运用YOUNG不等式，易得01TTTTUUUGTUTUDX2222200111222TTTTUUGDGTUTUDXD22222111222TTPKUUNGUT运用上述的公式，将M选取适当大的数，将选取适当小的数，则一定会存在符合方程两边要求的A和B我们为了证明ET的衰减性，只需要将ZT证明出其满足指数衰减。因此，我们先计算ZT的导数22220TTATUUUGTUDDX2TTUDXAXUUUDX上式右端的第三项可计算得0TUGTUDDX2220
34、1122TGTUUTUDX（）我们可以根据YOUNG不等式，得到20TGTUUTUDDX20TGTUTDDX20TGTUTDDX002TTGTUUTDGTUDDX一类非线性粘弹性方程解的整体存在性1520011TTGTGTUUTDDX2201TUGTDDX2211LUDX011TGDGUT继续根据YOUNG不等式，可得式子最后一项22TTTAXUUUDXHAXUDXCHAXUDX22222THAXUDXHCUU综上所述，22222TTAUUUDX2211112LUDX20111C2TTGDGUTHAXUDX22HCUU将/1,/4LLHLC，可得2222244TLLATUUUDXL201C2T
35、TGDGUTHAXUDXL下面我们来根据BT的定义，直接估计可得0TBTUGTUTUDDX（）00TTGTUTUDGTUDDX0TTAXUGTUTUDDX0TUUGTUTUDDX20011TTTTTUUGTUTUDDXGDUDX20TUDDXGDUDX一类非线性粘弹性方程解的整体存在性16当0时，首先估计式子右端第一项0TUGTUTUDDX2014TUDXGDGUT估计第二项00TTGTUTUDGTUDDX220014TTGTUDDXGTUTUDDX20TGTUTUDX2201214TLUDXGDGUT22012124TLUDXGDGUT估计第三项0TTAXUGTUTUDDX24TCAUDXG
36、DGUT估计第四项0TUUGTUTUDDX214CUDXGDGUT,其中，2121221220EUDXCUCUL,综上所述，0TUUGTUTUDDX22204CEGDGUTCUL估计第五项通过SOVOLEV嵌入定理,且0,0ETET，可以得出21220UDXCEUDX一类非线性粘弹性方程解的整体存在性17继而得011TTTUUGTUTUDDX2020141TCGCEUDXGUT估计第六项0TTUGTUTUDDX2204TTOGUDXCGTUTUDXD204TGUDXCGUT综上所述，22220121201ECBTLCEUL01222TCGDGUT4040441GGCGUT201TTAGUDX2
37、011TNGDUDX且0000,GT时存在使得000000,TTGDGDGTT整理以上，我们可得ZTMETATBT2TMCHAXUDX220414TLAGUDXUDX222201212041LECLCEUL一类非线性粘弹性方程解的整体存在性18012222TCGDGUTL22042TGMCGUTU在此，我们让0/2G,，则存在足够小的，使得02MIN,2021121201GLECALCEL同理010AG22012120041LECLCEL而对于任意存在的和，我们可以找出足够大的M，使其满足M0CH0012042222TGMCCGDL因此，在假设GGX（X的条件下，对于些0，可得2222TTTT
38、ZTUUUGUT由上述可知，存在正常数A，可得ZTAET，0TT，利用定理可推知AZTZTB，0TT最后将上述不等式积分，得到00ATTBZTZTE，0TT因此也就证明了衰减性。一类非线性粘弹性方程解的整体存在性19致谢首先我把这篇论文献给我亲爱的的父母亲，感谢他们给了我生命，给了我一个完整的家庭，给了我深造的机会，他们教会我踏实做人本分做事一步一个脚印，也感谢他们给予我无保留的的爱和奉献的精神，事实证明，这足以受用终生。我要感谢我大学四年来的所有的老师，他们的兢兢业业的教诲共同铸就了这篇论文，没有他们孜孜矻矻的教化，难以想象这一切是如何开始又如何结尾的，尤其感谢我们的老师，在我写论文之伊始，
39、李老师就倾注了大量心血，指点我如何选材，如何查询必要的资料，如何深入浅出地分析案例，李老师严谨的治学态度、诲人不倦的精神、渊博的知识对我产生了无法估量的影响，在这里我要祝福李老师，身体健康，万事通达。本文是对我大学四年的学习成果的总结，大家的阅读是我至上的荣耀，如果大家能提出一些意见和建议，我更是求之不得，感激不尽。时光飞逝，在这四年里我经历了许许多多难以忘怀的时刻，在这生命最美丽的四年里和将近四年的学习生活中，我要感谢我的一些同学和朋友们，你们的支持是我前进的动力，你们的帮助更是对我的激励，感谢在最美丽的年华遇到所有的你们。最后，感谢自己，曾经的努力，造就一个更加自信，更加完美的自己，告诉自
40、己，路一直都在，不抛弃，不放弃。一类非线性粘弹性方程解的整体存在性20参考文献1CAVALCANTIMM,DOMINGOSCAVALCANTIVN,FERRIRAJEXISTENCEANDUNIFORMDECAYFORANONLINEARVISCOALASTICEQUATIONWITHSTRONGDAMPINGM20012TATERN,MESSAOUDISAEXPONENTIALANDPOLYNOMIALDECAYFORAQUASILINEARVISCOELASTICEQUATIONMNONLINEARANALYSIS,2008687857933韩小森，王明新，带非线性阻尼的粘弹方程解的整体存在性和一致衰减性，M20094SHUNTANGWUGENERALDECAYOFSOLUTIONSFORAVISCOELASTICEQUATIONWITHNONLINEARDAMPINGANDSOURCETERMSM20115XIAOSENHAN,MINGXINWANG,GENERALDECAYOFENERGYFORAVISCOELASTICEQUATIONWITHNONLINEARDAMPINGM20096WENJUNLIUEXPONENTIALORPOLYNOMIALDECAYOFSOLUTIONSTOAVISCOE
