1、 1 饱和土冻结过程中冰透镜体形成与分层 尹 霄 1， 黄润秋 2， 罗会武 3 ，刘恩龙 1,4* （ 1.四川 大学 水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 水利水电 学院，四川 成都 610065； 2.成都理工大学 地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，四川 成都 610059； 3.中交第二航务工程局有限公司技术中心，湖北 武汉 430040； 4.中国科学院西北生态环境资源研究 院 冻土工程国家 重点实验 ， 甘肃 兰州 730000） 摘 要： 随着 国民经济的发展， 在寒区投入了大量的工程建设， 研究 冻土体的力学性质对寒区建设具有 重大意义 ， 建立能反映水分迁移及分凝冰
2、形成过程的冻胀模型是冻土水 -热 -力三场耦合求解的关键。本文在 已有 的耦合模型基础上，考虑冰水界面吸力 对水分驱动力的影响 ，推导并修改了总水头的表达式；考虑未冻土区导水系数与孔隙比有关，修改了渗透系数的表达式。 计算 结果表明：修改后的模型较原模型，孔隙结构出现不同程度的改变，进而造成冰透镜体形成和分布的差异。 修改总水头后 ， 模型的冻胀曲线呈较明显的 S型 ， 冰透镜体 形成 的厚度增加 ，形成 冰透镜体 时间提前； 在未冻土区，由于 渗透系数随孔隙比的减小而降低，从而导致水分迁移量大大减小，修改 渗 透系数 后模型冻胀量较原模型明显减少， 出现 冰透镜体时间 延后 。 基于模拟结果
3、，本文从理论上分析了冰透镜体的形成与分层， 指出只要在隔水层形成之前有足够的水分迁移至冻土区，冰透镜体都是可以形成的 ， 而冰透镜体的分层取决于 冰晶分离土颗粒贯穿形成冰透镜体的难易程度。结合达西定律，采用补水速率这一指标综合反映总水头及渗透系数对计算结果的影响，现有的分离判据可以用来解释最后一层分凝冰的形成，对于非最后一层冰透镜体，建议采用补水速率作为其形成的判断准则。 关键词： 水热力三场耦合；总水头；渗透系数；补水速率；冰透镜体 ； 形成与分层 中图分类号 ： TU445 文献标志码： A Formation and Stratification of Ice Lenses during
4、 Freezing of Saturated Soils Yin Xiao1, Huang Run-qiu2, Luo Hui-wu3, Liu En-long1,4* (1. State Key Lab. of Hydraulics and Mountain River Eng., College of Water Resource 2. State Key Lab. of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection, Chengdu Univ. of Technology, Chengdu 610059, China; 3. Tec
5、hnology Center of CCCC Second Harbor Engineering Co. Ltd., Wuhan 430040， China; 4. State Key Laboratory of Frozen Soil Engineering, Northwest Institute of Eco-Environment and Resources, Lanzhou 730000, China) Abstract: With the development of national economy, a large number of engineering construct
6、ion projects were invested in cold regions. Studying the mechanical properties of frozen soils is of great importance on the construction of cold regions. During the numerical analysis of coupled water, heat and stress in saturated freezing soil, its necessary to construct a frost heave model reflec
7、ting moisture migration and the formation process of segregated ice lenses. In this paper, considering the influence on the driving force of water caused by suctions on the ice-water interface and relations between the coefficient of transmissivity and void ratio in unfrozen soil zone, expressions o
8、f hydraulic head and hydraulic conductivity were modified on the basis of existing coupled model. The results showed that the pore structures of the modified models appeared different degree of change, causing differences in the formation and distribution of ice lenses. After the expression of hydra
9、ulic head was modified, the frost heave curve of model behaved as the relatively obvious characteristic of S type, the thickness of ice lenses was increased and the time when ice lenses appeared was advanced. Due to the permeability coefficient was decreased with the reduction of void ratio in unfro
10、zen soils, the amount of moisture migration and frost heave was greatly reduced and the time when ice lenses appeared was delayed. Based on the simulation results, the formation and stratification of ice lenses was analyzed theoretically. Ice lenses could be formed if there was sufficient water 2 mi
11、grated to frozen soil zone before the formation of an aquiclude.The stratification of ice lenses was depended on the capability of ice crystals separating soils and forming ice lenses. Combined with Darcys law, the hydrating rate was uesed to reflect the influence of both hydraulic head and hydrauli
12、c conductivity on results. The existing separation criterion could be used to explain the growth of final segregated ice lenses and its suggested that the hydrating rate be the criterion for the formation of early ice lenses. Key Words: the coupling of water, heat and stress; hydraulic head; hydraul
13、ic conductivity; flux rate; ice lenses; formation and stratification冻土在我国分布较广，季节性冻土影响区域约占国土面积的 53.3%，多年冻土影响区域约占国土面积的 21.5%1。在广大的冻土区域，蕴藏着丰富的自然资源。随着我国经济的快速发展，对资源的需求量不断扩大，急需在广 大寒区建设大量的道路、建筑 以及能源等工程。因此，研究土在低温环境中的特殊工程性质对寒区重点工程的建设和国民经济发展都具有重大的意义 2。 在低温条件下，土颗粒的位移、土颗粒间孔隙 水的迁移以及水相变成冰是土在冻结过程中研究的难点。通过对水热力三场 耦合
14、 的综合研究，可以对温度场、水分场和应力场进行准确预报和科学治理 3。目前，不同学者基于不同的条件假设提 出了相应的数值耦合模型。李宁 4建立了考虑土骨架与冰颗粒的相互作用以及相变时的能量跳跃行为的热 -水分 -力耦合的冻土模型。宁建国5对寒区实际工程采用含损伤的弹性本构模型进行了水热力三场耦合的数值模拟，得到了符合实际规律的计算结果。 Boukpeti6在热弹性框架下，建立了一维情形下多孔弹性材料的温度与流体压力耦合的冻结方程，并进行了方程求解。周家作 7将水分驱动力简化为关于重力、温度和孔压的函数，提出了临界孔隙比的概念用来作为分凝冰产生的判据，并调整了导水系数来描述未冻水在冰透镜体的汇集
15、与冰透镜体的生长。对于应力场该论文简化为一维单向压缩。该模型实现了水 -热 -力三场完全耦合并预测了冰透镜体的产生与发展。随后，赖远明 8改进了其模型，将总应变分为弹性应变和温度应变，对于一维压缩模量也由常量修改为关于温度的函数。 现有研究表明：引起冻胀的主要原因是外界水分迁移至冻结区，以及其冻结形成的分凝冰。周家作 在文献 7中 认为冰透镜体相当于隔水层，水分无法穿过冰透镜体进入到冻结区，将渗透系数修改为与冰透镜体位置有关的函数。 Thomas9进行了双边冻融试验，发现在未冻土区域，孔隙水压力可以达到 -300 至 -400kPa。分凝冰的形成判据主要分为力学和非力学方法。力学方法可以从冰压
16、力 10、孔隙压力 11、未冻水膜压力 10、分离 孔隙比 7,12等方面考虑，非力学方法主要是从能量、势能或水阻力角度判断某个位置是否有分凝冰的形成 13,14。 目前对冰透镜体的研究还不够深入，也没有文献专门论述冰透镜体的分层。水分的迁移在土的冻结过程中对相关物理量有着重大影响，而水分迁移又受到水分驱动力和补水通道的影响。本文在前人的试验及理论的基础上，修改了 已有 数值模型中的水头和渗透系数的表达式，总结了其对试验结果的影响 ，并提出了非最后一层冰透镜体的形成准则 。 1 原模型数学表述 数值 试验采用 12cm 高的圆柱形土样，收稿日期： 2016-09-03； 基金项目 : 地质灾害
17、防治与地质环境保护国家重点实验室开放基金资助（ NO.SKLGP2014K006）；中科院率先行动百人计划择优支持项目； 作者简介 ：尹霄 （ 1993） ，男，硕士生 .研究方向 :岩土工程 .E-mail:yinxiao_； *通 讯 联系人 E-mail: 。 网络出版时间 : 网络出版地址 : 3 将试样放置 在 1C 的恒温环境中足够长的时间。试验时，土柱顶端温度保持为 -3C ，底端温度保持为 1C 。试样两侧均为绝热不排水条件，无侧向变形。对土样顶端施加压力 100kPa，试样底部为固定约束，且有水分补充。边界条件和初始条件可以简化为：0.12 100kPax ， 0 0xu ，
18、 0 0.6xe ，0.12 0.654xe ， 0 1xT ， 0.12 3xT ；0 0.6te ， 0 1tT 。 原模型采用周家作 在文献 7提出的三场耦合模型，计算时长为 100h，其控制方程、重要表达式及计算参数如下： 控制方程： 0ddx (1) 0.61 0.6du edx (2) i i w i i w iww(1 ) ( ) ()(1 ) (1 )S S e SeT ke t e T t x x (3) i i i iw()11()L e S L STeCe T t e tTTCkx x x x (4) 其中： iS 为冰体积含量； 为水头； L 为单位质量的水（或冰）冻结
19、（或融化）所释放（或吸收）的热量； C为土体的体积热容量； 为土体的导热系数。 重要表达式： 00 0 s s0pors1lxeed x E e eePee (5) porP 表示为孔隙压力，通过有效应力原理结合本构模型推导得到。 se 为孔隙压力达到总应力时的孔隙比。 结合 Clapeyron 方程，可以将孔隙水压力 wP 表达为下式： w i a i w w p o r0w iw273(1 ) ( ) (1 ) l n ( )(1 )TP L PTP (6) 其中 是一个关于冰体积含量的经验表达式。由 此，水头可以表示为与孔隙水压力的关系式： wwPx g (7) 0 0 s e p0 s
20、 e ps e p1 ( ) ( 0 , )( 0 , )0 ( )k T T T x xk k T x xxx (8) 其中 k 为渗透系数， sepx 为孔隙比达到分离 孔隙比 sepe 时相应的位置。相应的计算参数 如表 1。 表 1 参数及取值 Tab.1 Parameters and values 参数 值 参数 值 -5 -1 -1s W m K 1.20 -8 -1 -1i W m K 2.22 0k 2.5 -1 -1w W m K 0.58 aP 101 -3 -1s kJ m KC 2160 33s 10kgm 2.7 -3 -1w kJ m KC 4180 33i 10k
21、g m 0.917 -3 -1i kJ m KC 1874 33w 10kgm 1.0 1kJkgL 334.56 2msg 9.8 sep 1.2 0 CT 0 2 对总水头的修改 2.1 相关方程的改变及数学描述 观察原模型可知，总水头的表达式是一个重要的物理量，它能影响水分迁移方程（ 3）和热扩散方程（ 4）。原模型中，孔隙压力的计算是根据本构计算所得，见式 (5)。结合 Clapeyron 方程，可以得到孔隙水压力的表达式，见式 (6)。该方法解决了土在冻结过程中的孔隙压力、孔隙水压力和孔隙冰压力的计算，但是所引用的经验表达式 过多，对计算结果的影响未知 ， 而且 并没有考虑冰4 水界
22、面的吸力对水分驱动力的影响。关于孔隙水压力的计算有一套简单的做法，表述如下： 由 Clapeyron 方程可得： liw i 0= lnuu TL T (9) 其中， lu ， iu 分别表示孔隙水压力和孔隙冰压力 ， 0T 为水冻结时的绝对温度 。定义冰水界面的吸力为： li=TS u u (10) 水分能够迁移至冻结缘内形成冰透镜体的原因 包括 冰水界面处的吸力。 Nakano15假定压强和温度是相互独立的孔隙水压力的驱动力，将方程（ 9）代入式 (10)并进行近似，可得冰水界面的吸力如式（ 11）： 0ll i ww 0 0= l nTTTu TS u L LTT (11) 则总水头的表
23、达式可以修改为 w0lw w 0=TTuxLT (12) 式中， w 为水的容重。 当环境温度高于水的冻结温度时，不存在冰水界面吸 力。故方程 (12)的表达式可以调整为方程（ 13）： w0l 0w w 0l 0w=TTux L T TTux T T (13) 其中： 00 0 s s0ls) ( )1()lxeed x E e eeuee (14) 2.2 修改结果 在数值计算过程中，将原模型式 （ 6）（ 7）修改为式（ 13） （ 14） ，其他条件不变，修改后的 计算 结果如 图 1-图 4 所示。 图 1 冻胀曲线 Fig.1 Frost heave curve 图 2 100h
24、后孔隙比分布图 Fig.2 Distribution of void ratio at 100h 图 3 100h 后冰透镜体分布柱状图 （ 白色部分为冰透镜体） Fig.3 Histogram of ice lenses distribution at 100h (the white parts are ice lenses) 5 图 4 最初出现冰透镜体时孔隙比分布图 Fig.4 Distribution of void ratio when ice lenses appeared 观察图 1 可以看出修改后模型的冻胀曲线呈较明显的 S型。修改后的模型在初期冻胀速率要快于原模型，在后期冻胀
25、速率逐渐降 低并趋于稳定，且最终的冻胀量要稍大于原模型。笔者认为，初期冻胀量产生的原因是水分原位冻结而产生的膨胀，由于冻结而产生的负孔压对试样底部水的吸附作用不明显，初期冻胀量增加较为平缓。随着冻结过程的进行，冰透镜体逐渐生成，随之带来的负孔压吸力作用范围下移，底部补水速率增加，冻胀速率明显加快。在后期，随着分凝冰生成速率减慢，吸力作用减弱，冻胀量减慢并趋于稳定 ， 吻合修改后模型冻胀曲线呈现出的 S型规律 。 同时 ， 和修改后的模型相比，原模型的冻胀曲线在 100h 都没有趋于稳定，由此可见，修改后的模型更符合实际情况。观察图 2 可以看 出修改后模型对孔隙比的结构有较大的影响 ， 当孔隙
26、比大于分离孔隙比 sepe 1.2 时，冰透镜体产生。为了更清楚地表达孔隙比改变对冰透镜体分布的影响，将 100h 后冰透镜体分布柱状图绘制于图 3。 冰水界面吸力作为水分迁移驱动力之一， 考虑吸力作用后，加剧了土中水分迁移 ， 影响了冰透镜体的厚度和形成时间 。 从图 3 中可以明显地看到，考虑 冰水界面的吸力作用后，虽然出现冰透晶体的层数较原模型少，但最后一层冰透镜 体的厚度却大于原模型。 从图 4 可以看到， 32.7h 后孔隙比达到分离孔隙比 ，冰透镜体开始产生。相较于原模型最初出现冰透镜体的时间39.4h， 修改总水头能 提前 冰透镜体形成时间。 3 对渗透系数的修改 3.1 相关方
27、程式的改变及数学描述 原模型认为在未冻土区渗透系数保持常量，其渗透系数的表达式为 方程 （ 8）。土体在单向冻结过程中，水相变成冰、冰晶不断发育，导致冻土区土颗粒不断被排开而产生膨胀变形。未冻土区由于受到上部冻土区冻胀力的影响，必然会压密收缩，孔隙比发生变化。笔者认为，渗透系数与土样孔隙比密切相关，显然原模型将未冻区渗透系数考虑为常数过于粗略。 参考相关文献资料16,17， 笔者在 考虑 土体固结过程中压缩性和渗透系数满足非线性关系 的 基础上 ， 将 渗透系数写成如下形式： 0 0 s e p50 s e p0s e p1 ( ) ( 0 , )( 0 , )0 ( )k T T T x x
28、ek k T x xexx (15) 3.2 修改结果 可以看出 渗透系数的 调整是关于参数的调整，不影响数学模型的 控制 方程，故原模型和新模型有共同的数学模型，只是相应地 把渗透系数的表达式（ 8）改为（ 15）。 图 5 冻胀曲线 Fig.5 Frost heave curve 6 图 6 100h 后冰透镜体分布柱状图 （ 白色部分为冰透镜体） Fig.6 Histogram of ice lenses distribution at 100h (the white parts are ice lenses) 图 7 最初出现冰透镜体时孔隙比分布图 Fig.7 Distribution
29、 of void ratio when ice lenses appeared 图 8 补水速率曲线 Fig.8 Flux rate versus time 从图 5 可以看出，冻结过程中，未冻土孔隙比减小，渗透系数随孔隙比的减小而降低，从而导致水分迁移量大大减小， 修改后模型 冻胀量 较原模型 明显减少。从图 6 可以看出，修 改 渗透系数 对孔隙比的结构有较大的影响。修改后的模型出 现冰透晶体的层数与原模型相比差别较大，由于补水速率的减慢，冰透镜 体的厚度远小于原模型。图 7表示为最初出现冰透镜体的试样孔隙比的结构，此时计算时间为 57h。相较于原模型最初出现 冰透镜体 的时间，明显表明修
30、改渗透系数能延迟冰透镜体出现的时间。 为了更为直观表达 修改后模型 对模拟结果的 影响 ， 图 8 中绘制了 三个 模型的补水速率随时间的变化曲线。 相 较 于 原模型， 修改总水头后 ， 补水速率曲线趋势与原模型相近 ， 补水速率峰值略高于原模型 ； 修改 渗透系数 后 补水速率更为平缓，峰值明显降低。当冰透镜体产生后，由于低温引起的负压导致补水速率增加，经一段时间后，补水速率达到峰值再波动下降。因此，笔者认为补水速率出现峰值的时间应滞后于冰透镜体第一次形成的时间，显然修改渗透系数后的计算结果较原模型更符合上述情况。 4 冰透镜体形成与分层假说 笔者认为现有诸多学者对冰透镜体的形成及分离准则
31、比较适合判断最后一层冰透镜体，如可以利用温度、未冻水膜压力、冰压力、孔隙比 等判断。对于非最后一层冰透镜体，通过对原模型相关表达式的修改 可以 看出 ：总水头和渗透系数能对冰透镜体的形成过程造成不同程度的影响。根据达西定律， 水分迁移速度 v 可表示为式（ 16）： vkx (16) 为了综合考虑总水头和渗透系数的影响，采用补水速率作为非最后一层冰透镜体形成判据。 4.1 冰透镜体形成与分层的基本假设 为了使分凝冰的假说合理，本节采用以下基本假设： （ 1）土颗粒之间一直存在未冻水； （ 2）水分迁移 能 在未冻水膜之间进行； （ 3）当土颗粒之间的未冻水膜薄到一定程度的时候，土颗粒对水的吸附
32、力变大，7 可以认为水分迁移迅速减慢。 4.2 冰透镜体 形成 图 9 是冰透镜体形成的几种条件示意图，其中黑色阴影实心圆表示土颗粒，实心圆外面的圆环表示土颗粒表面的未冻水膜，斜线表示冰晶所在位置，上方曲线为潜在的冰透镜体形成位置。 笔者认为，冰透镜体的形成与否取决于在隔水层形成以前是否有足量的水分迁移至冻结区。当试样处于初始冻结阶段时，温度梯度较大，水分迅速相变成冰，隔水层迅速形成，如图 8（ a） 中下方曲线 。可以看到，由于隔水层在温度梯度 较大时 迅速形成，试样底端向冻结区的补水通道受阻，水分迁移量不足，冰透镜体无法形成。当温度梯度合适 或 当孔隙比处于临界状态以下时，水分迁移 可以通
33、过土颗粒间隙以及未冻水膜间的流水通道进行迁移，如图 8（ b）和图 8（ c）。 此时 隔水层形成时间较长，只要在隔水层形成之前，有足够的水分迁移，冰透镜体都是可以形成的。 (a) 温度梯度较大时 (b) 温度梯度适中时 (c) 孔隙比处于临界孔隙比以下时 图 9 冰透镜体形成条件 Fig.9 Forming conditions of ice lens 4.3 冰透镜体的分层 从冰透镜体柱状图（图 3 和图 5）可以观察到，一层冰透镜体形成之后不会紧接着形成第二层冰透镜体，即冰透镜体 的分布 出现分层现象。笔者试着从以下两个角度解释其原因。 首先 在土的冻结过程中，冰晶吸附水分，土颗粒由于周
34、围自由水的减少也吸附水分。冰晶的形成导致负的超静孔压的产生。根据太沙基有效应力原理，此时有效应力将增加。随着冻结过程的进行，增加的有效应力使土不断压密，分离此处被压缩的土颗粒需要更长的时间或更加困难， 冰晶难以贯通， 所以此处很难形成冰透镜体。 其次 由于孔隙比处于较低水平，所以冰晶生长到与未冻水膜构成隔水层的时间更短，在短时间内缺少水分的补充，冰透镜体无法形成。 这样便导致第一层冰透镜体形成位置以下，一定长度范围内试样土颗粒之间不能形成冰透镜体，随着距离 的增加，第一段分凝冰压密效应减弱，孔隙比的改变量减小，冰晶能轻松分离土颗粒， 隔 水层没有形成，水分大量迁移到此处，第二层分凝冰形成。 5
35、 结论 本文在 已有 三场耦合数值模型的基础上修改了总水头和渗透系数的表达式，发现二者均在不同程度上影响孔隙比的结构，从而造成冰透镜体的形成和分布差异。总水头反映了水分迁移的驱动力， 修改总水头后模型的冻胀曲线呈较明显的 S型 ，出现 冰透镜体的厚度 增加 ，形成冰透镜体的时间提8 前 ； 渗透系数反映了水分迁移的流通通道 ，考虑未冻土区渗透系数随孔隙比的减小而降低，修改渗透系数的表达式后 ， 水分 迁移量大大减小，模型冻胀量较原模型明显减少。 对于冰透镜体的形成和分层，本文从理论上作出了合理的解释。 冰透镜体的形成条件 是 在隔水层形成之前有足够的水分迁移至冻土区 ， 而冰透镜体的分层主要取
36、决于 冰晶贯穿形成冰透镜体的难易程度。 现有诸多学者提出的冰透镜体 形成及分离准则比较适合判断最后一层冰透镜体，综合考虑总水头和渗透系数对冰透镜体形成和分层的影响，结合达西定律，本文提出利用补水速率作为非最后一层冰透镜体形成和分层的判断准则。 参考文献： 1Ma Wei， Wang Dayan. Studies on frozen soil mechanics in China in past 50 years and their prospect J . Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2012， 34（ 4）： 625 640. 马
37、巍 ，王大雁 . 中国冻土力学研究 50a 回顾与展望 J. 岩土工程学报 ， 2012， 34（ 4）： 625 640. 2Li Ning， Cheng Guodong， Xu Xiaozu， et al. The advance and review on frozen soil mechanics J. Advances in Mechanics， 2001， 31（ 1）： 95 102. 李宁 ， 程国栋 ， 徐学祖 ， 朱元林 . 冻土力学的研究进展与思考 J . 力学进展 ， 2001， 31（ 1）：95 102. 3Wang Tiehang， Li Ning， Xie Di
38、ngyi. Necessity and means in research on soil coupled heat-moisture-stress issues J . Rock and Soil Mechanics， 2005， 26（ 3）： 488 493. 王铁行 ，李宁 ， 谢定义 . 土体水热力耦合问题研究意义、现状及建议 J . 岩土力学 ， 2005， 26（ 3）： 488 493. 4Li Ning， Chen Bo， Chen Feixiong， et al. The coupled heat-moisture-mechanic model of the frozen
39、soil J . Cold Regions Science & Technology， 2000， 31（ 3）： 199 205. 5Ning Jianguo， Zhu Zhiwu. Constitutive model of frozen soil with damage and numerical simulation of the coupled problem J . Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanic， 2007， 39（ 1）：70 76. 宁建国 ， 朱志武 . 含损伤的冻土本构模型及耦合问题数值分析 J .
40、力学学报 ， 2007， 39（ 1）： 70 76. 6Boukpeti N. One-dimensional analysis of a poroelastic medium during freezing J . International Journal for Numerical & Analytical Methods in Geomechanics， 2008， 32（ 13）： 1661 1691. 7Zhou Jiazuo， Li Dongqing. Numerical analysis of coupled water， heat and stress in saturat
41、ed freezing soil J . Cold Regions Science & Technology，2012， 72（ 72）： 43 49. 8Lai Yuanming， Pei Wansheng， Zhang Mingyi， et al. Study on theory model of hydro-thermal -mechanical interaction process in saturated freezing silty soil J . International Journal of Heat & Mass Transfer， 2014， 78（ 5）： 805
42、819. 9Thomas H R， Cleall P， Li Y C， et al. Modelling of cryogenic processes in permafrost and seasonally frozen soils J . Gotechnique， 2009， 59（ 59）：173 184. 10Gilpin R R. A model for the prediction of ice lensing and frost heave in soils J . Water Resources Research， 1980， 16（ 5）： 918 930. 11ONeill
43、 K. The physics of mathematical frost heave models： A review J . Cold Regions Science & Technology， 1983， 6（ 3）： 275 291. 12Zhou Jiazuo. Study on the interaction among water,heat and stress in freezing and thawing soils D . Lanzhou ： Cold and Arid Regions Environmental and Engineering Institute， Chi
44、nese Academy of Sciences， 2012. 周家作 . 土在冻融过程中水、热、力的相互作用研究 D . 兰州 ： 中国科学院寒 区旱区环境与工程研究所， 2012. 13Konrad, J.-M， Duquennoi C. A Model for Water Transport and Ice Lensing in Freezing Soils J . Water Resources Research， 1993， 29（ 9）： 3109 3124. 14Konrad J M， Morgenstern N R. Prediction of frost heave in t
45、he laboratory during transient freezing J . Canadian Geotechnical Journal， 2011， 19（ 3）：250 259. 15Nakano Y. Quasi-steady problems in freezing soils. I. Analysis on the steady growth of an ice 9 layer J . Cold Regions Science & Technology，1990， 17（ 3）： 207 226. 16Xie Kanghe， Zheng Hui， Leo C J. An analytical theory for 1-D nonlinear large strain consolidation of soft clay J . Chinese Jounal of Geotechnical Engineering， 2002， 24（ 6）： 680 684. 谢康和 ，郑辉 ， C.J.Leo. 软黏土一维非线性大应变固结解析理论 J . 岩土工程学报 ， 2002， 24（ 6）： 680 684. 17黄文熙 . 土的工程性质 M . 北京：水利电力出版社 ， 1983： 81 95.
