1、 北仑中学 2016学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 命题：贺波 审题：柯懿 选择题 : 本大题共 10 小题 , 每小题 4分 , 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 1. 已知函数 则 的值为 ( ) A. -20 B. -10 C. 10 D. 20 【答案】 D 【解析】试题分析：因为 ，所以 ，故选 D. 考点：导数的定义及对数函数求导 . 2. 从一批产品中取出三件，设 =“ 三件产品全不是次品 ” ， =“ 三件产品全是次品 ” ， =“ 三件产品不全是次品 ” ，则下列结论正确的是（ ） A. A 与 C 互斥 B. B 与 C 互斥 C.
2、 任两个均互斥 D. 任两个均不互斥 【答案】 B 【解析】试题分析：事件 C 包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，即不全是次品，把事件 C 同另外的两个事件进行比较，看清两个事件能否同时发生，得到结果 解：由题意知事件 C 包括三种情况， 一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品， 事件 C 中不包含 B 事件， 事件 C 和事件 B 不能同时发生 ， B 与 C 互斥， 故选 B 点评：本题考查互斥事件和对立事件，是一个概念辨析问题，注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果，把几个事件进行比较，得到结论 3. 二项式
3、 的展开式中的有理项共有（ ） A. 4 项 B. 5 项 C. 6 项 D. 7 项 【答案】 C 【解析】 二项式 的展开式中通项公式为 ， 令 为整数，可得 r=0， 2， 4， 6， 8， 10，共计 6 项， 本题选择 C 选项 . 4. 2017 年 4 月 19 日是 “ 期中考试 ” ，这天小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊 肉馅三个 豆沙馅，小明随机取出两个，事件 =“ 取到的两个为同一种馅 ” ，事件 = “ 取到的两个都是豆沙馅 ” ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由题意， , ， 故选： A 【思路点睛】求条件概率一般有两种方法：
4、 一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算， P(B|A) ，其中 n(AB)表示事件 AB 包含的基本事件个数， n(A)表示事件 A 包含的基本事件个数 二是直接根据定义计算， P(B|A) ，特别要注意 P(AB)的求法 5. 设函 数 在定义域内可导，它的图象如图所示，则它的导函数 图象可能为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 函数的图象可知 ,x0， 函数 f(x)有两个极值点，导函数的图象与 x轴有 2 个交点，排除 A， C； x0 的极大值前是增函数，导函数为正值，排除 B. 本题选择 D 选项 . 6. 已知 ，若 ,则 和 分别是（
5、） A. 6 和 2.4 B. 2 和 2.4 C. 2 和 5.6 D. 6 和 5.6 【答案】 B 【解析】 由已知 随机变量 X+Y=8，所以有 Y=8-X. 因此， E(Y)=8-E(X)=8-100.6=2， D(Y)=(-1)2D(X)=100.60.4=2.4. 本题选择 B选项 . 7. 某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面 有特长的学生发出提前录取通知单 .若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所 就读，则仅有两名学生录取到同一所大学 (其余三人在其他学校各选一所不同大学 )的 概率是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【
6、解析】 五所学生自由录取五名学生 ,共有 55 种不同的录取情况 其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学 (其余三人在其他学校各选一所不同大学 )的情况的录取情况有： 种 ， . 则：则仅有两名学生录取到同一所大学 (其余三人在其他学校各选一所不同大学 )的概率 ： 本题选择 C 选项 . 8. 已知可导函数 满足 ，则当 时， 大小关 系为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析： 所以函数 为增函数 考点：函数导数与单调 性 9. 某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人 参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那
7、么不同的发言顺序的种数 为 ( ) A. 360 B. 520 C. 600 D. 720 【答案】 C 【解析】试题分析：分两种情况：一种是甲乙有一人参加共有 ,一种是甲乙都参加共有 综上共有 600 种，选 C 考点：有条件的排列问题，不相邻问题 10. 设函数 ，若存在唯一的整数 使得 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 设 g(x)=ex(2x1)， y=axa， 由题意知存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在直线 y=axa的下方， g(x)=ex(2x1)+2ex=ex(2x+1)， 当 时 ,g(x)0， 当 时 ,g(x)取最小值 ， 当
8、 x=0 时 ,g(0)=1,当 x=1 时 ,g(1)=e0， 直线 y=axa恒过定点 (1,0)且斜率为 a， 故 ag(0)=1且 g(1)=3e1aa,解得 本题选择 D 选项 . 二填空题 : 本大题共 7小题 , 多空每空 3分，单空每题 4 分 , 共 36分把答案填在答题卷的相应位置 11. 在一次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题。甲能正确完成其中的 4 道题，乙能正确完成每道题的概率为 ，且每道题完成与否互不影响。 记所抽取的 3 道题中，甲答对的题数为 X，则 X 的分布列为 _； 记乙能答对的题数为 Y，则
9、 Y 的期望为 _ 【答案】 (1). X 1 2 3 P 0.2 0.3 0.2 (2). 【解析】 （ 1）主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题； 甲能正确完成其中的 4 题，所抽取的 3 道题中，甲答对的题数为 X， 由题意得 X 的可能取值为 1， 2， 3， X 的分布列为： X 1 2 3 P 0.2 0.6 0.2 （ 2）主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的3 道题，乙能正确完成每道题的概率为 ,且每道题完成与否互不影响， 由题意 Y的可能取值为 0， 1， 2， 3，且 , 或 12
10、. 若函数 在处的切线与直线 平行，则实数 _； 当时，若方程 有且只有一个实根，则实数的取值范围为 _. 【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 (1)由 f(x)=x3+3ax1,得到 f(x)=3x2+3a， 因为曲线在 x=1 处的切线与 y=6x+6 平行， 而 y=6x+6 的斜率为 6， 所以 f(1)=6，即 3+3a=6，解得 a=1； (2)令 g(x)=x3+3ax16， g(x)=3x2+3a=3(x2+a)， a=0 时 ,g(x)0,g(x)在 R 递增， 而 x 时 ,g(x), x+ 时 ,g(x)+ ， 故函数 g(x)有且只有一个零点， 即方程 f(x)
11、=15 有且只有一个实根， a0,解得： 或 ， 令 g(x)0,解得： ， 则 g(x)在 递增 ,在 递减 ,在 递增， 故 g(x)极大值 ， 解得： ， 综上： -4a0. 13. 若 ，其中 ，则实数_； _. 【答案】 (1). (2). 【解析】 ， 则 ,则 4m=a2=6,解得 m= . 令 x=1 时 , ， x=1时 , ， ， 解 得 . 14. 甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为 ，且第一次由甲开始射击 求前 3 次射击中甲恰好击中 2
12、 次的概率_； 求第 4 次由甲射击的概率 _ 【答案】 (1). , (2). 【解析】 由题意 ,前 3 次射击中甲恰好击中 2 次 ,即前 2 次甲都击中目标 ,但第三次没有击中目标 ,故它的概率为 . 第 4 次由甲射击包括甲连续射击 3 次且都击中；第一次甲射击击中，但第二次没有击中，第三次由乙射击没有击中； 第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第三次没有击中； 第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次没有击中，第三次甲射击击中； 故这件事的概率为 . 15. 如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的 两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色
13、也不同，则不同的涂色方法共有 _种 （用数字作答） 【答案】 630 【解析】略 16. 关于二项式 (x 1)2005有下列命题： 该二项展开式中非常数项的系数和是 1； 该二项展开式中第六项为 x1999； 该二项展开式中系数最大的项是第 1002 项； 当 x=2006 时， (x 1)2005除以 2006 的余数是 2005。 其中正确命题的序号是 _。（注：把你认为正确的命题序号都填上） 【答案】 【解析】 令 x=1 求出二项式 (x1)2005所有项的系数和为 0，令 x=0求出常数项为 l，非常数项的系数和是 1，即得 正确； 二项展开式的第六项为 ，即得 错误； 二项展开式
14、中系数绝对值最 大的项为第 1003 项 ，即 错误； 当 x=2006 时 ,(x1)2005除以 2 006 的余数是 2006l=2005，即 正确。 故答案为： 。 17. 如图所示 ， 在排成 4 4方阵的 16个点中 ， 中心位置 4个点在某圆内 ， 其余 12个点在圆外 从 16 个点中任选 3 点 ， 作为三角形的顶点 ， 其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有 _个 【答案】 312 【解析】 根据题意，分 3 种情况讨论： 、取出的 3 个点都在圆内 ,有 种取法，即有 4 种取法， 、在圆内取 2 点 ,圆外 12 点中取 1 点 ,有 种，即有 60 种取法 ， 、在圆内
15、取 1 点 ,圆外 12 点中取 2 点 ,有 种，即有 248 种取法， 则至少有一个顶点在圆内的三角形有 4+60+248=312 个， 故答案为： 312. 三 解答题 : 本大题共 5 小题 ,共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18. 有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数： （ 1）有女生但人数必须少于男生； （ 2）男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表； （ 3）女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表 . 【答案】 (1)5400； (2)3360； (3)600. 【解析
16、】 试题分析： 利用排列组合相关的结论和方法求解题中的问题可得： 有女生但人数必须少于男生有 5400 种； 男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表有 3360 种； 女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表有 600种 . 试题解析： （ 1） 种 . （ 2） 种 . （ 3） 种 . 19. 已知 , ,其中 (e 是自然 常数 ), （ 1）当 时 , 求 的单调区间、极值； （ 2）是否存在 ，使 的最小值是 3，若存在求出 的值，若不存在，说明理由 . 【 答案】 (1)答案见解析； (2) . 【解析】 试题分析： (1)由导函数与原函数的关系可得函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为，函数的极小值为 . (2)由题意结合导函数与原函数的性质可得 . 试题解析： （ 1） ， 当 时， ，此时 单调递减 当 时， ，此时 单调递增 的极小值为 （ 2）假设存在实数 ，使 （ ）有最小值 3， 当 时， 在 上单调递减， ， （舍去），所以，此时 无最小值 . 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
