1、山东师大附中 2010 级高三第四次模拟考试 数学（理工类） 2013 年 1 月 命题人： 孙 宁 王俊亮 1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟. 2. 本试卷涉计的内容: 集合与逻辑、基本初等函数（） （） 、导数及其应用、三角函数、 数列、不等式、向量、立体几何 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知 为第二象限角， 3sin，则 sin2（ ） A 245 B 125 C D 45 2设全集 ,|,|l1xUR
2、Bxyx， 则右图中阴影部分表示的集合为（ ） A |1x B |12 C |0 D |x 3.已知各项均为正数的等比数列 na中, 1237895,10,a则 456a( ) A.52 B.7 C.6 D.4 2 4. 已知 0.81. 5,2logabc ，则 ,abc的大小关系为（ ） A.c B. C. a D . bac 5.已知某几何体的三视图如图，其中正(主) 视图中半圆的 半径为 1，则该几何体的体积为( ) A 324 B 243 C 24 D 24 6.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为 A. 20 B. 25 C. 10 D. 20 U 7.已知
3、xy、 满足 503 ，则 24zxy的最小值为 ( ) A. 5 B. -5 C . 6 D. -6 8.为了得到函数 sin23yx的图象，只要将 sin()yxR的图象上所有的点( ) A向左平移 3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变 B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 C向左平移 6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变 9.已知 0， 0，直线 x= 4和 = 5是函数 ()sin)fx图象的两条相邻的对称轴， 则 =
4、( ) A . 4 B . 3 C . 2 D . 34 10.若正数 ,xy满足 5xy，则 4y的最小值是( ) A. 25 B. 28 C. 5 D. 6 11.函数 lnxey的图象大致为( ) A. B. C. D. 12.设 ,mn是空间两条直线， ， 是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（ ） A当 时， “n”是“ ”成立的充要条件 B当 时， “ ”是“ ”的充分不必要条件 C当 时， “ /”是“ nm/”的必要不充分条件 D当 m时， “ n”是“ nm”的充分不必要条件 山东师大附中 2010 级高三第四次模拟考试 数学（理工类） 2013 年 1 月 第 II 卷（
5、共 90 分） 二填空题（每题 4 分，满分 16 分，将答案填在答题纸上） 13设函数 12132, ,| 2| 13|xxxfffff 当 2n时, 1nnff 14设函数 x是定义在 R上的周期为 2 的偶函数，当 0,1x时， fx， 则 013.5f=_. 15已知 ABC中 4,2AB，若 G为 ABC的重心，则 AGBC 16.已知函数 ()fx的导函数为 fx，且满足 21lnfxfx，则 f在点 (1,)Mf处 的切线方程为 三解答题 （本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本题满分 12 分） 设 ABC的内角 、 、 的对
6、边分别为 abc、 、 ，且 sin3cosAaB. （1）求角 的大小； （2）若 3,sin2ibA，求 ,c的值. 18.（本题满分 12 分） 已知函数 1()cos)s()incos34fxxx （1）求函数 )(f的最小正周期和最大值； EFBA DCP （2）求函数 fx单调递增区间 19.(本题满分 12 分) 已知球的直径为 10cm，求它的内接圆锥体积的最大 值,并 求出此时圆锥的底面半径和高. 20 （本小题满分 12 分） 已知数列 na是等差数列， nb是等比数列，且 12ab， 45，12323b （1）求数列 n和 的通项公式 （2）数列 c满足 na，求数列 n
7、c的前 项和 nS 21.（本题满分 12 分） 四棱锥 PABCD底面是平行四边形，面 AB面 CD,12 , 06, EF分别为 的中点. （1）求证： /EF面 （2）求证： PB面 （3）求二面角 D的余弦值 22.（本题满分 14 分） 已知函数 21ln,fxaxaR （1）当 01a时，求函数 fx的单调区间； （2）已知 fx对定义域内的任意 恒成立，求实数 a的范围. 山东师大附中 2010 级高三第四次模拟考试 数学（理工类） 2013 年 1 月 一选择题（每题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A A A
8、C D A A C C C 二填空题（每题 4 分，满分 16 分，将答案填在答题纸上） 13 1|nxf 14 32 15 4 16. 10xy 三解答题 17.【解析】 （1） sin3cosbAaB，由正弦定理得 sin3sincoBAB-3 分 即得 taB， .-6 分 （2） si2iC，由正弦定理得 2，-8 分 由余弦定理 cosba， 942cos3aa，-10 分 解得 3a， 3c.-12 分稿源：konglei 18【解析】：（） 1()cos)s()sin234fxxx -1 分131(cosin)(in)i22 - 2 分isi44xx1cos23cos1in84x
9、x -4 分1(cos2in)c2 -6 分 函数 )(xf的最小正周期为 T，-7 分 函数 )(f的最大值为 2-8 分 （II）由 22,4kxkz-10 分 得 5,88-11 分 函数 )(xf的 单调递增区间为 5,8kkz-12 分 19【解析】设圆锥的底面半径为 r，高为 h,则 222510rh-2 分22231=10103Vrhh锥 -5 分 ,03V令 ，0 ，-7 分220,;,1033hVhh 023Vh在 ， ， 在 ， ； 当 时 ， 最 大 -9 分max481V ，-11 分 此时 20,3hr-12 分 20 【解析】：（）设 na的公差为 d， nb的公比
10、为 q 由 341bq，得 35427，从而 3q 因此 11nn 3 分 又 123236824aab， 28a 从而 1d，故 46)1(1nn 6 分 （） (4nnc 令 12210 3)(3)5(373 nnnT1 12 9 分 两 式 相 减 得 13)(13)2(33312 121 nnnnT)(n1n9()（73(6)4nnT ，又 nnS4T7(6)3 12 分 20【解析】 （1） 1,/,2PBFGBCFG取 的 中 点 ， 连 由 题 设 -1 分 /,/2AECAEFG是 平 行 四 边 形 ,所以 -2 分 , /PBFPB面 面 面 -4 分 （2） AAG是 等
11、 边 三 角 形 ， -022 20,6,cos9BDBDAB中 ， 由 余 弦 定 理 所以 DAB-6 分,PACAP面 面 面BG -7 分 由 可知， ,PBDGB面/,EF又 面 -9 分 (3)取 A 的中点 N, ,连PBBPA是 等 边 三 角 形RtDtDAN 是二面角 的平面角 -11 分 EFBA DCPG EFBA DCPN 由 （2）知 ,BDPABN面 32N在 Rt中 ， 5tan2,cosB 即二面角 DPA的余弦值为 5-12 分 解法二 （1） 022 20,6,cos9ADABBB中 ， 由 余 弦 定 理 所以 DAB,PCDPA面 面 面 建系 ,AD
12、z令 2203,01,3 , 2,0C1,12EFPC 因为平面 PAB 的法向量 0,1n20/nAB面 (2) ,3,3BDP,0EF ,EFDBPEFD面 (3) 设平面 PAD 的法向量为 11,nxyz 1,03A, 2,30A1320nAPxzDy 令 3所以 1,n 平面 PAB 的法向量 2,1n12cos,5n ，即二面角 DPAB的余弦值为 5 22【解析】： xaxaaxf 112 -2 分 EFBA DCP z x y （）当 10a时， xf、的变化情况如下表：x， 1,a 1 ，f + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数 f的单调递增区间是 ,，单调递减区间是 1,a6 分 （）由于 a21，显然 0时， 1f，此时 0xf对定义域内的任意 x不是恒成 立的， -9 分 当 0a时，易得函数 xf在区间 ， 的极小值、也是最小值即是 af21，此时只要1f 即可，解得 21a， 实数 a的取值范围是 21-， .-14 分
