1、数学建模的体会思考 经过这段时间的学习，了解了更多的关于这门学科的知识，可以说是见识了很多很多， 作为一个数学系的学生，一直都有一个疑问，数学的应用在那里。对了，就在这里，在这 里，我看到了很多，也学到了很多，关于各个学科，各个领域，都少不了数学，都是用建 模的思想，来解决实际问题，很神奇。 数学建模给了我很多的感触：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是 综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻 辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。它还让我了解了多种数学软件，以及 运用数学软件对模型进行求解。 数学模型主要是将现实对象的信息加以翻
2、译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、 求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其 实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的 概念。例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一 些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案 这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时， 解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样 做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、 从
3、本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考 方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作 用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。 数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外， 还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工 厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。 它能极大地拓宽和丰富我们的内涵，让我们感到了知识的重要性，也领悟到了“学习是不 断发现真理的过程”这句话的真谛所在，这些知识必将为我们将来的学习工作打下坚实的 基
4、础。从现在我们的学习来看，我们都是直接受益者。就拿数学建模比赛写的论文来说。 原本以为这是一件很简单的事，但做起来才发觉事情并没有想象中的简单。因为要解决问 题，凭我们现有的知识根本不够。于是，自己必须要充分利用图书馆和网络的作用，查阅 各种有关资料，以尽量获得比较全面的知识和信息。在这过程中，对自己眼界的开阔，知 识的扩展无疑大有好处，各学科的交叉渗透更有利于自己提高解决复杂问题的能力。毫不 夸张的说，建模过程挖掘了我们的潜能，使我们对自己的能力有了新的认识，特别是自学 能力得到了极大的提高，而且思想的交锋也迸发出了智慧的火花，从而增加了继续深入学 习数学的主动性和积极性。再次，数学建模也培
5、养了我们的概括力和想象力，也就是要一 眼就能抓住问题的本质所在。我们只有先对实际问题进行概括归纳，同时在允许的情况下 尽量忽略各种次要因素，紧紧抓住问题的本质方面，使问题尽可能简单化，这样才能解决 问题。其实，在我们做论文之前，考虑到的因素有很多，如果把这一系列因数都考虑的话， 将会花费更多的时间和精神。因此，在我们考虑一些因素并不是本质问题的时候，我就将 这些因数做了假设以及在模型的推广时才考虑。这就使模型更加合理和理想。数学建模还 能增强我们的抽象能力以及想象力。对实际问题再进行“翻译” ，即进行抽象，要用我们熟 悉的数学语言、数学符号和数学公式将它们准确的表达出来。 下面用一个具体的实例
6、，来介绍建模的具体应用： 传染病问题的研究 一模型假设 1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。 总人口数 N(t)不变，人口始终保持一个常数 N。人群分为以下三类：易感染者 (Susceptibles)，其数量比例记为 s(t)，表示 t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人 数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为 i(t)，表示 t 时刻已被感染 成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为 r(t)，表示 t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不 具
7、有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。 ）占总人数的比例。 2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数 ，日治愈率（每天被治 愈的病人占总病人数的比例）为常数 ，显然平均传染期为 1，传染期接触数为 =。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触 率传染力是不变的。 二模型构成 在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下： 在假设 1 中显然有： s(t) + i(t) + r(t) = 1 对于病愈免疫的移出者的数量应为 rtdNi 不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为 （ 0） ， （ 0） ，si
8、 =0.0r SIR 基础模型用微分方程组表示如下：ditsdrtii s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计 s(t) ， i(t)的一般变化 规律。 三数值计算 在方程（3）中设 =1，=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用 MATLAB 软件编程： function y=ill(t,x) s i si r i a=1;b=0.3; y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2); ts=0:50; x0=0.20,0.98; t,x=ode45(ill,ts,x0); 四相轨线分析 我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨
9、线讨论解 i（t）,s（t）的性质。 D = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1 在方程（3）中消去 并注意到 的定义，可得td （5）1isd 0|si 所以： （6）i sd 00i1ssd 利用积分特性容易求出方程(5)的解为： （7）001()lnsii 在定义域 D 内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图 3 所示.其中箭头表示了随着时间 t 的增 加 s(t)和 i(t)的变化趋向 下面根据(3),(17)式和图 9 分析 s(t),i(t)和 r(t)的变化情况(t时它们的极限值分别 记作 , 和 ).sir 1. 不论初始条件 s0,i0 如何,病人消失将消失,即：
10、0i 2.最终未被感染的健康者的比例是 ,在(7)式中令 i=0 得到, 是方程001lnssi 在(0,1/)内的根.在图形上 是相轨线与 s 轴在(0,1/)内交点的横坐标 3.若 1/,则开始有 ，i(t)先增加, 令 =0，可得当0s1isdo 1isd s=1/ 时,i(t)达到最大值：001ln)misi（ 然后 s1/(即 1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数 ,即提高阈值0s 1/ 使得 1/(即 1/ ),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值 是一定的,0s 0s 通常可认为 接近 1)。0s 并且,即使 1/,从(19),(20)式可以看出, 减小时 , 增加(通
11、过作图分析), 降smi 低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在 = 中,人们的卫生水平越高,日接触率 越小;医 疗水平越高,日治愈率 越大,于是 越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染 病的蔓延. 从另一方面看, 是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,1/s 其含义是一病人被 个健康者交换.所以当 即 时必有 .既然交换数不01/s01s 超过 1,病人比例 i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。 五群体免疫和预防 根据对 SIR 模型的分析,当 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和01/s 医疗水平,使阈值 1/ 变大以外,另一个途径是降低 ,这可以通过比如预
12、防接种使群体0s 免疫的办法做到. 忽略病人比例的初始值 有 ,于是传染病不会蔓延的条件 可以表为0i01sr01/s01r 这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足（11）式，就 可以制止传染病的蔓延。 这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据 估计当时印度等国天花传染病的接触数 =5，由（11）式至少要有 80%的人接受免疫才行。 据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高 ，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得0r 天花直到 1977 年才在全世界根除。而有些传染病的 更高，根除就更加困难。 六模型验证 上世纪初在印度孟买发生的
13、一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统， 有关部门记录了每天移出者的人数，即有了 的实际数据，Kermack 等人用这组数据对rtd SIR 模型作了验证。 首先，由方程（2） ， （3）可以得到 s rt disidt ，两边积分得1srt上 式 两 边 同 时 乘 以 可 001srd0ln|s0re 所以： (12)()()rtste 再 (13)0(1)()rrtdirsse 当 时，取（13）式右端 Taylor 展开式的前 3 项得：/r200(1)rt sdsr 在初始值 =0 下解高阶常微分方程得:0021()()()2trtsh 其中 ， 从而容易由（14）式
14、得出：200i01st20()rtdtsch 然后取定参数 s0, 等，画出（ 15）式的图形，如图 4 中的曲线，实际数据在图中用圆 点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。 七被传染比例的估计 在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值 与 之差，0s 记作 x,即 (16)0xs 当 i0 很小，s0 接近于 1 时，由（9）式可得 (17)01ln()s 取对数函数 Taylor 展开的前两项有 (18)201()0xxs 记 , 可视为该地区人口比例超过阈值 的部分。当 时（18）式11 给出 （19）0122xs 这个结果表明，被传染人数比例约为
15、 的 2 倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水 平不变，即 不变时，这个比例就不会改变。而当阈值 提高时， 减小，于是这个比例 1 就会降低。 这是一个关于传染病方面的实例，看起来很复杂的题目，用数学建模就可以化抽象为 具体，简单的利用微分方程，图像，以及必要的数学软件就可以解决问题，同时把问题细 化，分析了各种变量的影响。具体到七各方面的分析综合，这样一个问题就解决了。 建模活动本身就是教学方法改革的一种探索，它打破常规的那种老师台上讲，学生听， 一味钻研课本的传统模式，而采取提出问题，课堂讨论，带着问题去学习、不固定于基本 教材，不拘泥于某种方法，激发学生的多种思维，增强其学习主动性，
16、培养学生独立思考， 积极思维的特性，这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识，形成自己的学习机制， 逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。这对于我们以后所从事的教育工作 也是一个很好的启发。于以前所学的文化知识，使我终生难忘。 数学建模之心得体会 一年一度的全国数学建模大赛在每年的 9 月的第三个周末的周五上午 8 点拉开战幕， 各队将在 3 天 72 小时内对一个现实中的实际问题进行模型建立，求解和分析，确定题目 后，我们队三人分头行动，一人去图书馆查阅资料，一人在网上搜索相关信息，一人建立 模型，通过三人的努力，在前两天中建立出两个模型并编程求解，经过艰苦的奋斗，终于 在第三天完
17、成了论文的写作，在这三天里我感触很深，现将心得体会写出，希望与大家交 流。 1. 团队精神 团队精神是数学建模是否取得好成绩的最重要的因素，一队三个人要相互支持，相互鼓励。 切勿自己只管自己的一部分（数学好的只管建模，计算机好的只管编程，写作好的只管论 文写作） ，很多时候，一个人的思考是不全面的，只有大家一起讨论才有可能把问题搞清楚， 因此无论做任何板块，三个人要一起齐心才行，只靠一个人的力量，要在三天之内写出一 篇高水平的文章几乎是不可能的。 2. 有影响力的 leader 在比赛中，leader 是很重要的，他的作用就相当与计算机中的 CPU，是全队的核心，如果 一个队的 leader
18、不得力，往往影响一个队的正常发挥，就拿选题来说，有人想做 A 题， 有人想做 B 题，如果争论一天都未确定方案的话，可能就没有足够时间完成一篇论文了， 又比如，当队中有人信心动摇时（特别是第三天，人可能已经心力交瘁了） ，leader 应发 挥其作用，让整个队伍重整信心，否则可能导致队伍的前功尽弃。 3. 合理的时间安排 做任何事情，合理的时间安排非常重要，建模也是一样，事先要做好一个规划，建模一共 分十个板块（摘要，问题提出，模型假设，问题分析，模型假设，模型建立，模型求解， 结果分析，模型的评价与推广，参考文献，附录） 。你每天要做完哪几个板块事先要确定好， 这样做才会使自己游刃有余，保证
19、在规定时间内完成论文，以避免由于时间上的不妥，以 致于最后无法完成论文。 4. 正确的论文格式 论文属于科学性的文章，它有严格的书写格式规范，因此一篇好的论文一定要有正确的格 式，就拿摘要来说吧，它要包括 6 要素（问题,方法,模型,算法,结论,特色） ，它是一篇论 文的概括，摘要的好坏将决定你的论文是否吸引评委的目光，但听阅卷老师说，这次有些 论文的摘要里出现了大量的图表和程序，这都是不符合论文格式的，这种论文也不会取得 好成绩，因此我们写论文时要端正态度，注意书写格式。 5. 论文的写作 我个人认为论文的写作是至关重要的，其实大家最后的模型和结果都差不多，为什么有些 队可以送全国，有些队可
20、以拿省奖，而有些队却什么都拿不到，这关键在于论文的写作上 面。一篇好的论文首先读上去便使人感到逻辑清晰，有条例性，能打动评委；其次，论文 在语言上的表述也很重要，要注意用词的准确性；另外，一篇好的论文应有闪光点，有自 己的特色，有自己的想法和思考在里面，总之，论文写作的好坏将直接影响到成绩的优劣。 6. 算法的设计 算法的设计的好坏将直接影响运算速度的快慢，建议大家多用数学软件 （Mathematice,Matlab,Maple, Mathcad,Lindo,Lingo,SAS 等） ，这里提供十种数学建模常 用算法，仅供参考： 1、 蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来
21、解决问题的算法， 同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用 Matlab 作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最 优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件 实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图 论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这
22、些算法是算法设计中比较 常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解 决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难， 需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有 应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高 级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是 离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算
23、法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算 法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不 乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进行 处理） 以上便是我这次参加这次数学建模竞赛的一点心得体会，只当贻笑大方，不过就数学建模 本身而言，它是魅力无穷的，它能够锻炼和考查一个人的综合素质，也希望广大同学能够 积极参与到这项活动当中来。 认识学习总结 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛， 人
24、们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实 施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学 应用题，提高学生的综合素质。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法 将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题 具有如下特点： 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会 实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的 应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展
25、、社会市场经济、 环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转 化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力 的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握 的不过关，很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于 进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力 来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。 二、数学应用题如何
26、建模 建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次： 第一层次：直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型。 第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题 进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出， 然后才能使用现有数学模型。 第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学 模型方能解决问题。 第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研 究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。 三、建立数学模型应具备的能力
27、从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过程的教 学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解题质量，同时 也体现一个学生的综合能力。 31 提高分析、理解、阅读能力。 阅读理解能力是数学建模的前提，数学应用题一般都创设一个新的背景，也针对问题 本身使用一些专门术语，并给出即时定义。如 1999 年高考题第 22 题给出冷轧钢带的过程 叙述，给出了“减薄率”这一专门术语，并给出了即时定义，能否深刻理解，反映了自身 综合素质，这种理解能力直接影响数学建模质量。 32 强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力。 将数学应用题中所有表示数量关系的文字
28、、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、 方程、不等式、函数等，这种译释能力是数学建成模的基础性工作。 例如：一种产品原来的成本为 a 元，在今后几年内，计划使成本平均每一年比上一年降低 p%，经过五年后的成本为多少? 将题中给出的文字翻译成符号语言，成本 y=a(1-p%)5 33 增强选择数学模型的能力。 选择数学模型是数学能力的反映。数学模型的建立有多种方法，怎样选择一个最佳的 模型，体现数学能力的强弱。建立数学模型主要涉及到方程、函数、不等式、数列通项公 式、求和公式、曲线方程等类型。结合教学内容，以函数建模为例，以下实际问题所选择 的数学模型列表： 函数建模类型 实际问题 一次函数
29、成本、利润、销售收入等 二次函数 优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等 幂函数、指数函数、对数函数 细胞分裂、生物繁殖等 三角函数 测量、交流量、力学问题等 。 34 加强数学运算能力。 数学应用题一般运算量较大、较复杂，且有近似计算。有的尽管思路正确、建模合理， 但计算能力欠缺，就会前功尽弃。所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关 键所在，忽视运算能力，特别是计算能力的培养，只重视推理过程，不重视计算过程的做 法是不可取的。 数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学 的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教
30、学与 学习对学生的智力开发具有深远的意义，现就如何加强高中数学建模教学谈几点体会。 一要重视各章前问题的教学，使学生明白建立数学模型的实际意义。 教材的每一章都由一个有关的实际问题引入，可直接告诉学生，学了本章的教学内容 及方法后，这个实际问题就能用数学模型得到解决，这样，学生就会产生创新意识，对新 数学模型的渴求，实践意识，学完要在实践中试一试。 如新教材“三角函数”章前提出：有一块以 O 点为圆心的半圆形空地，要在这块空地 上划出一个内接矩形 ABCD 辟为绿册，使其册边 AD 落在半圆的直径上，另两点 BC 落在半圆 的圆周上，已知半圆的半径长为 a，如何选择关于点 O 对称的点 A、D
31、 的位置，可以使矩形 面积最大？ 这是培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导，对所考察的实际问题进行抽象分 析，建立相应的数学模型，并通过新旧两种思路方法，提出新知识，激发学生的知欲，如 不可挫伤学生的积极性，失去“亮点”。 这样通过章前问题教学，学生明白了数学就是学习，研究和应用数学模型，同时培养 学生追求新方法的意识及参与实践的意识。因此，要重视章前问题的教学，还可据市场经 济的建设与发展的需要及学生实践活动中发现的问题，补充一些实例，强化这方面的教学， 使学生在日常生活及学习中重视数学，培养学生数学建模意识。 二通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维 过
32、程。 学习几何、三角的测量问题，使学生多方面全方位地感受数学建模思想，让学生认识 更多现在数学模型，巩固数学建模思维过程、教学中对学生展示建模的如下过程： 现实原型问题 数学模型 数学抽象 简化原则 演算推理 现实原型问题的解 数学模型的解 反映性原则 返回解释 列方程解应用题体现了在数学建模思维过程，要据所掌握的信息和背景材料，对问题加 以变形，使其简单化，以利于解答的思想。且解题过程中重要的步骤是据题意更出方程， 从而使学生明白，数学建模过程的重点及难点就是据实际问题特点，通过观察、类比、归 纳、分析、概括等基本思想，联想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问 题。如利息（复利）
33、的数列模型、利润计算的方程模型决策问题的函数模型以及不等式模 型等。 三结合各章研究性课题的学习，培养学生建立数学模型的能力，拓展数学建模形式的 多样性式与活泼性。 高中新大纲要求每学期至少安排一个研究性课题，就是为了培养学生的数学建模能力， 如“数列”章中的“分期付款问题”、“平面向是章中向量在物理中的应用”等，同 时，还可设计类似利润调查、洽谈、采购、销售等问题。设计了如下研究性问题。 例 1 根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国 2000 年的人口数。 时间(年份) 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人中数(百万)
34、 39 50 63 76 92 106 123 132 145 分析：这是一个确定人口增长模型的问题，为使问题简化，应作如下假设：（1）该国 的政治、经济、社会环境稳定；（2）该国的人口增长数由人口的生育，死亡引起；（3） 人口数量化是连续的。基于上述假设，我们认为人口数量是时间函数。建模思路是根据给 出的数据资料绘出散点图，然后寻找一条直线或曲线，使它们尽可能与这些散点吻合，该 直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口增长规律，从而进一步作出预测。 通过上题的研究，既复习巩固了函数知识更培养了学生的数学建模能力和实践能力及 创新意识。在日常教学中注意训练学生用数学模型来解决现实生活问题；培养学
35、生做生活 的有心人及生活中“数”意识和观察实践能力，如记住一些常用及常见的数据，如：人行 车、自行车的速度，自己的身高、体重等。利用学校条件，组织学生到操场进行实习活动， 活动一结束，就回课堂把实际问题化成相应的数学模型来解决。如：推铅球的角度与距离 关系；全班同学手拉手围成矩形圈，怎样围使围成的面积最大等，用砖块搭成多米诺牌骨 等。 四、培养学生的其他能力，完善数学建模思想。 由于数学模型这一思想方法几乎贯穿于整个中小学数学学习过程之中，小学解算术运 用题中学建立函数表达式及解析几何里的轨迹方程等都孕育着数学模型的思想方法，熟练 掌握和运用这种方法，是培养学生运用数学分析问题、解决问题能力的
36、关键，我认为这就 要求培养学生以下几点能力，才能更好的完善数学建模思想： （1）理解实际问题的能力； （2）洞察能力，即关于抓住系统要点的能力； （3）抽象分析问题的能力； （4）“翻译”能力，即把经过一生抽象、简化的实际问题用数学的语文符号表达出来， 形成数学模型的能力和对应用数学方法进行推演或计算得到注结果能自然语言表达出来的 能力； （5）运用数学知识的能力； （6）通过实际加以检验的能力。 只有各方面能力加强了，才能对一些知识触类旁通，举一反三，化繁为简，如下例就要 用到各种能力，才能顺利解出。 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛， 人们身边的数学
37、内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实 施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学 应用题，提高学生的综合素质。 参加数学建模的心得体会 数学建模的暑期培训第一阶段告一段落了，经过这一阶段的培训，我终于对数学建模 有了全面而深入的认识，而不像以前只是肤浅的了解。我们暑期的数模培训分为两部分， 第一部分是从期中考试刚一考完到现在，是个人赛阶段，当然比赛并不是全部，平时还穿 插有各方面的讲座。每天的生活起居在炎炎烈日下变得非常规律，虽然放假了每天早上还 是不能贪睡，每天 8 点前老老实实的起床奔向东九 B303，抢占前面的位置好看清 P
38、PT；中 午下课了顶着炎炎烈日通常都胃口不佳，强忍着烦躁的心情在东园随便扒几口饭，回寝室 速速上床午睡，然后直到晚上自习结束，期间除了去法拉盛吃晚饭，就都呆在东九蹭空调 了。日子流水一样过去，扪心自问，我到底长进了多少呢？ 我想，收获的是多方面的。在知识方面，我在已经过去的半个月中，已经从四五位老 师那里学到了从人口模型、捕食者模型到装箱问题、延迟问题等等各式各样新奇、却又紧 贴生活实际的模型和建立方法。并且还有具有丰富数模竞赛审阅经验的老师来为我们讲解 数模论文写作时应注意的问题，以及告诉我们通常评分的原则，好让我们在写论文是有的 放矢，抓住得分点。每个老师都会主动把课件留在电脑上，让我们自
39、行参考，特别是一些 具体的程序，是没办法在上课时看几眼就自己领会的，需要下来自己的不断实践。因此， 我很喜欢这样教学相长的氛围，老师和学生并没有不可逾越的隔阂，而是互相敞开心扉， 尽情交流、探讨学习中的问题。 以上说的知识是在课堂老师归纳总结以后，做成系统的课件给我们讲述的。实际上， 我认为这只是起到投石问路、抛砖引玉的作用，它们更多的是教会我们数学模型建立的思 路。比如人口模型，从最开始的指数增长，到随着西方世界人口趋向饱和以后增长放缓， 模型的严重偏离实际引发人们修改模型，引入一个限制因子，再到进来因为认识到人的出 生到成熟、交结异性、繁衍后代以及妊娠期不可避免的会延迟人口的增长，所以又在
40、微分 方程组中加入了延迟的因素人口模型的发展仍没有结束，或许在可见的将来也都不会 结束，但它有最初等的指数增长一路走过来，凝聚的是一代代人理性思维的光辉。而我们 正是踏着这条道路，在仅仅一两堂课的时间内，走过这些崎岖的思想之路，无形中让我们 了解到数学建模的精髓，那就是提出模型验证模型修改模型再验证再修 改，真正的复杂问题是不可能只靠空想就能出结果的，否则也不叫复杂问题了。只有通过 不懈的思考与尝试，发现有问题以后及时修改、琢磨新的思路和先前的瑕疵，才能完善模 型。因此，在以后的建模过程中，我学到了这种一步一步、不断修改的踏实的研究方法， 而不再像以前只是懵懵懂懂的绞尽脑汁想个方案，然后就凑合
41、了事，虽然明知有缺陷也不 知该从何下手。 除了建模本身的无数宝贵经验，在这段学习和比赛过程中，我还渐渐积累了涉及各方 面、玲琅满目的知识。它们几乎全部不是我的专业知识，甚至可以说几乎全部是我在学校 的专业课上不可能学到的知识。我的专业是通信，而在平时看数模的有关书籍、例题、赛 题时，我接触到了来自经济学、社会学、管理学、生物学、建筑学、热学、光学、数学等 等专业的知识，它们有的浅显易懂，让我这个门外汉如今也对它们有了一些简单的认识， 有的则甚至在其学科自身都是极其前沿的未解难题。诚然，这些知识对我的专业发展并没 有什么太多帮助，但是它们却极大的风度了我的阅历，让我的眼界不再局限于本专业的象 牙
42、塔，而是朝着通才、全识教育的方向发展，我相信这会让我在日后的道路上更好的前进。 以上说的更多的是知识本身，然而，我认为更重要的是数模让我了解到团队合作的重 要意义和种种挑战。数学建模的考试是 3 个人组队参加，因此，如何找到合适的队友，亲 密无间的进行交流、工作就是一个重要的课题。在我看来，只是凭着兴趣、并非职业建模 的我们，在队友方面不可能有太多要求，毕竟不是企业员工，不可能有经验丰富、追求效 益的老板仔细研究，把员工安排到各自适合的岗位上。我们的队友更多的是来自平时的交 流，甚至只是误打误撞。然而，正是这样的机缘巧合让我们得以结交形形色色的、来自不 同学科、专业的朋友，互相磨合，互相学习，
43、互相借鉴。 数学建模的比赛是艰苦的，三个比赛日，不允许一丝的倦怠，必须全力以赴的投入进 去，而更难的是与自己的队友拧成一股绳。三个人单打独斗是出不了好成绩的，毕竟这么 多年的国赛、美赛，还没听说有不依靠三人组队而得奖的先例。一人建模，一人编程，一 人写论文，这样的安排方式看起来简单高效，实际上真正执行起来会碰到许多问题。麻烦 从一开始的选题就接踵而来，A、B 两题究竟选哪一题？很可能队内出现不同的想法，这时， 一个有力的 leader 的作用就体现出来了。他必须根据本队的实际能力、成员擅长领域，作 出合理的选择，而一旦作出选择，所有人都应该无条件服从，在没有其他杂念。这一点我 在五一放假的那次
44、试刀性质的比赛中体会很深，当时直到第二天晚上，我们小组的模型都 已经建立好了，却还有人在为选哪题的事而纠缠，虽然大家都是朋友，并没有任何的不愉 快，但是左右徘徊、不断怀疑显然严重影响了我们的效率和最终模型质量。 除开最开始的选题，其后的模型建立方式，则会牵扯到更多的异议与讨论，这是充分 考验交际沟通能力的时刻，是三个人集中智慧、互相指教，还是各自为营、相互泼冷水， 这是胜败的关键，其间也只有微妙的区别，稍不留神就会后悔莫及。即使事先分工明确， 现场也还是需要更多的互相理解、支持，需要各位选手平日里在各个领域都做足准备。例 如，负责写论文的人如果真的只是负责写论文，那么相当于他在前两天几乎都是闲着，而 第三天下午可能手敲断了也写不完。这时，就需要大家的相互配合、帮助。因此，一想到 这紧张激烈的比赛和弥漫其中的友谊之情，虽然团队赛还没有开始，但我期待已久。 以上就是我在这个炎炎夏日的中间做的一个小小的总结。说是总结，其实不如说是整 理好思路，为自己的下一段征程做好准备。数模，教会了我很多很多，而我要做的，就是 在即将到来的下一阶段培训更努力地去迎接它带来的知识与挑战！
