1、高三期末考前模考数学理科试题 2013-1-20 一、选择题： 1. 复数 z=i2(1+i)的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. i 2已知等比数列 na的前 n项和 12nS，则 21a 2n等于（ ） A 2)(n B )(31 C 4 D )14(3 3在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施 个程序，其中6 程序 只能出现在第一或最后一步， 程序 和 在实施时必B 须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ） A 种 B 种 C 种 D 种448914 4设 为实数，函数 的导函数为 ，且 是偶函数，则a32()()fxax()fx()f 曲线 在原点处的切线方程为（ ）(
2、)yf A B31xy C D3x 5已知 0,2ba，向量 ba与 2垂直，则实数 的值为（ ） A 17 B 17 C 16 D 16 6双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ） A. 2 B. 2+1 C. 2 D. 1 7已知等差数列 na的前 项和为 nS，且 310()xd，则 56a( ) A 15B 2 C 6D 65 8过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 两点,它们到直线 的xy4 BA2x 距 离之和等于 5,则这样的直线 A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 9已知 O是 C 所在平面内一点， D为 B边中点，且 20O
3、ABC，则( ) A 2OD B AO C 3AOD D 2AO 10.函数 ()sin()fxx（其中 0,|2 ）的图象如图所示，为了得到()co2g 的图像，则只要将 ()fx的图像 （ ） 来 A向右平移 6 个单位长度 B 向右平移 12 个单位长度 C 向左平移 个单位长度 D 向左平移 个单位长度 11.已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围( )()lnfx0ab()ffb4a A. B. C. D.4,+5,5,+ 12.已知 ，把数列 的各项排列成如右图所示的1()2nan 三角形状， 记 表示第 行的第 个数，则),mA（ n =( )10,A A. B. C. D. 93
4、2（ ） 921（ ） 9412（ ） 12（ ） 二、填空题： 13.若直线 ay与函数 |1|xay（ )10a且 的图像有两个公共点，则 a的取值范 围是 . 14设二次函数 的值域为 ，则 的最大值为 2()4()fcR,)19c 15.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为 .nanS11,2naSna 16.已知 ，则不等式 的解集是 0,xf xf 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、 b、 c， q=（ a2，1） ，p=（cb2 ， Cos）且 qp/求：
5、（I）求 sin A的值；（II）求三角函数式 1tn2cosC的取值范围 18、 英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习 3个英语单词；每周五对一周内所 学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同） （）英语老师随机抽了 4个单词进行检测，求至少有 3个是后两天学习过的单词 的概率； （）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 ，对前两天所学过的单45 词每个能默写对的概率为 若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，35 求该学生能默写对的单词的个数 的分布列和期望 19、在数列 中，na *1231, ().2nnaaN （1）求数列 的通项 ；n （
6、2）若存在 ，使得 成立，求实数 的最小值.*N() 20 设 21,F分别为椭圆 )0(1:2bayxC的左、右两个焦点，若椭圆 C上的点 A(1, 3)到 F1，F 2两点的距离之和等于 4. 写出椭圆 C的方程和焦点坐标； 过点 P（1， 4）的直线与椭圆交于两点 D、E，若 DP=PE，求直线 DE的方程; 过点 Q（1，0）的直线与椭圆交于两点 M、N，若OMN 面积取得最大，求直线 MN的 方程. 21. 已知椭圆 过点 ，且离心率 e .)0(1:2bayxC)23,1(12 （）求椭圆方程； （）若直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且线段 的垂直平)0(:kmxyl MN 分线
7、过定点 ，求 的取值范围。)0,81(G 22.已知函数 lnfxx （1）求函数 的图像在点 处的切线方程；(1,) （2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值；kZ()xf1xk 高三期末考前模考数学理科试题参考答案 1-5 CDCBA 6-10 BABBC 11-12 CB 13. 210a 14. 15. 16. ( 65213nnaA1, 17. 解：（I） qp/， cbCa2cos， 根据正弦定理，得 CBAsini2cosin2， 又 siniisiBAC， 1cos2C ， 0n， 21o，又 03；sinA= 6 （II ）原式 CCcosin2coscosi1)n(2t
8、a ， )42sin(co2sinC ， 30， 134， 1)42sin(C， 2)sin(21， )(f的值域是 ,( 12分 18、 （）设英语老师抽到的 4 个单词中，至少含有 3 个后两天学过的事件为 A，则由题意可得 5 分 31642C+()PA （）由题意可得 可取 0，1，2，3，则有 P(=0) 6 分21)5 P( =1) ，2249C()5 P( =2) ， 9 分126)+51 P( =3) 10 分24385 所以 的分布列为： 故 E=0 +1 +2 +3 = 12 分12956124815 19、解：（1） 6分2 ,3nna 0 1 2 3P 51956248
9、1 （2） 由（1）可知当 时，1,nnaa2n 23,1nna 设 8分*2,3nf N 则 又 及 ，所以所1110, 2nff nfnf 13f12a 求实数 的最小值为 12分3 20.椭圆 C的焦点在 x轴上，由椭圆上的点 A到 F1、 F2两点的距离之和是 4，得 2a=4，即 a=2.； 又点 A(1, 2) 在椭圆上，因此 2 31.b 得 b2=1，于是 c2=3；所以椭圆 C的方程为212,(3,0)(,.4xyF焦 点 ，P 在椭圆内，直线 DE与椭圆相交，设 D(x1,y1),E(x2,y2)，代入椭 圆 C的方程得 x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0
10、,相减得 2(x1-x2)+42 4(y1-y2)=0,斜率为 k=-1 DE 方程为 y-1= -1(x- 4),即 4x+4y=5; (3)直线 MN不与 y轴垂直，设 MN方程为 my=x-1，代入椭圆 C的方程得 （ m2+4)y2+2my-3=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=- 4m, y1y2=- 34,且0 成立. 又 SOMN = |y1-y2|= 24()= 2，设 t= 2 3,则 SOMN =t,(t+ )=1- t-20对 t 3恒成立， t= 3时 t+1取得最小，S OMN 最大， 此时 m=0, MN方程为 x=1 （）设 由 消去
11、并整理得 ),(),(21yxNM mkxy1342 01248)43(2mkx 8分直线 与椭圆有两个交点 ，即0)124)(3)8(22 km342k 又 中点 的坐标为 10分1kxMNP)4,(2k 设 的垂直平分线 方程：MNl)8(xky 在 上 即pl 14314322mk 0382m 11分)(812km 将上式代入得 346)(22kk201k 即 或 的取值范围为 12分105k ),5(),( 22.（1）解：因为 ，所以 ，函数 的图像在点 处的切线方程ln2fx12ffx(1, ；2yx （2）解：由（1）知， ，所以 对任意 恒成立，即lfxx()kfx 对任意 恒成立令 ，则 ，lnxk1ln1g2ln1xg 令 ，则 ，所以函数 在 上单调递l2hx0xhxh, 增因为 ，所以方程 在 上存在唯一实根 ，31n0,42lnx0x 且满足 0,4x 当 ，即 ，当 ，即 ，13 分()hx时 ， ()0gx0()xh时 ， ()0gx 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增ln1g, 所以 0000minl123,4xxx x 所以 故整数 的最大值是 30in3,4kgk
