1、山东省聊城市某重点高中 2013 届高三上学期 1 月份模块检测理科数学试题 考试时间：100 分钟； 第 I 卷（选择题） 一、选择题 1已知在 克 的盐水中，加入 克 的盐水，浓度变为 ，将 y 表示成 x 的 函数x%ay%bc 关系式 （ ） A. B. C. D.bcyxcaxacbyacb 2函数，(z)=耵*+log：x 的零点所在的区间为（ ） A0， B ， C ， D ，1814121 3定义；平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度 相同)称为平面斜坐标系在平面斜坐标系 xOy 中，若 =xe1+xe2(其中 e1、e 2 分别是斜坐OP 标
2、系 x轴 y 轴正方向上的单位向量 x,y R，O 为坐标系原点) ，则有序数对(x，y) 称为点 P 的斜坐标在平面斜坐标系 xOy 中，若xOy=120 o，点 C 的斜坐标为(1 ，2)，则以点 C 为 圆心，1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程是( ) Ax 2+ y2 xy3y+2=0 Bx 2+ y22x4y+4=0 Cx 2+ y2x y+3y2=0 Dx 2+ y22x+4y4=0 4已知数列 的前 n 项和 = -1（a 是不为 0 的常数） ，那么数列 （ ）anS na A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列或者是等比数列 D.既不是等差数列也不
3、是等比数列 5如右图矩形表示集合 S，则阴影部分表示的集合是( ) A. B. C. D.)(BACS)(BACS)(BCSS )()(BACS 6设 为正数，则 的最小值是（ ） 。xy、 14xy A、6 B、7 C、8 D、9 7若集合 ，则 A B 等 13 1,2,0yxyx ( ) A. B. C. D.1,1,1 8命题“对任意的 ， ”的否定是( )xR320x A.不存在 ， B.存在 ，xR320x C.存在 ， D.对任意的 ，x321x1 9函数 yf（ x）是偶函数，则函数 g（x）f f（x） 的图象 （ ） A.关于 y 轴对称 .关于 x 轴对称 C.关于原点对
4、称 D.关于直线 yx 对称 10若数列 an是等差数列，首项 al 0，a 1005+al006 0，a 1005al006 0，则使前 n 项和 Sn 0 成立的最大正整数 n 是( ) A2 009 B 2 010 C2011 D 2 012 11已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与 B 的距离为（ ） A 3a km Ba km C 2a km D2a km 12双曲线 的焦点 到它的一条渐近线的距离是（ ） 21xyb(,0)c A B C Da2ab 第 I
5、I 卷（非选择题） 二、填空题 13已知数列 na的首项为 ,且 ,则这个数列 的通项公式为1 *12()naN _ 14把函数 表示为一个偶函数与一个奇函数和的形式是 .)(2xf 15已知函数 的零点 ，且 ， ， ，则 350,xab1abNab 16如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为cos2yx 43， _ _. 三、解答题 17数列 的前 n 项和记为 ，已知 .用数学归纳法证明nanS112,(1,3)nnaS 数列 是等比数列 .S 18 若 是从集合 A= 到集合 B= 的一个映射，求自13:xyf ,321k3,742a 然数 和 的值及集合 A 和 B.ak
6、 19已知函数 = +ln x)(fa (1)若函数 在1，+ )上为增函数，求正实数 a 的取值范围；x (2)当 a=1 时，求 在 ，2上的最大值和最小值；(f21 (3)当 a=1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n，都有 ln n + + + .2134n1 20已知数列 的前 项和为 ，对一切正整数 ，点 都在函数nanS),(nSP 的图像上，且过点 的切线的斜率为 。xf2)(),(nPk （1）求数列 的通项公式；n （2）若 ，求数列 的前 项和 。kabnbnT 21已知数列满足 a1=1，a n1 =2an1(nN*) (1) 求证数列a n1是等比数列； (2)
7、求a n的通项公式 22是否存在常数 a、b、c 使得等式 对一切正整数 n都成立？并证明你的 结论 数学理参考答案 一、选择题 1 B 2C 解析：因为选项中只有 0)函数 在 1,+) 上为增函数, 0 对任意的 x1,+)恒成立, ax 一 10 对任意的 x1,+ )恒成立,即 a 对 任意的 x1,+)恒成立, 而当 x1,+) 时,( )max =1,a1. (2)当 a=1 时, = .当 x ,1)时, O,故 在(1,2 上单调递增 在区间 ,2上有唯一极小值点,故 min = 极小 值 = =0 又 =lln 2, =一 +ln2, 一 = 一 2ln 2= e 3 16,
8、 一 0,即 , 在区间 ,2上的最大值为 =lln 2.综上可知,函数 在 ,2上的最大值 是 1 一 ln 2,最小值是 0 (3)当 a=1 时, = +ln x, = ,故 在1,+)上为增函数.当 n,l 时,令 x= ,则 x1,故 =0 即 , , , + + + + + + ln n + + + , 即对大于 1 的任意正整数 n,都有 ln n + + + . 20解 :(1) 点 都在函数 的图像上, , 当 时, 当 n=1 时, 满足上式,所以数列 的通项公式为 (2)由 求导可得 过点 的切线的斜率为 , . . 由4,得 -得: 21 (1)证明: 由 an + 1 =2an +1 得 an + 1 +1=2(an +1)又 an +1 0 = 2 即a n +1为等 比数列. (2)解析: 由(1)知 an +1=(a1 +1)qn - 1 即 an =(a1 +1)qn - 1 -1=22n - 1 -1=2n -1 22 综上所述，当 a=3，b=11，c=10 时，题设的等式对一切正整数 n 都成立
