1、1 第一章习题解答 1解：（1） =0，1，10 ； （2） = 0，1，100 ，其中 为小班人数；in| n （3） =, , ,其中表示击中，表示未击中； （4） =（ ）| 1 。yx,2 2解：（1）事件 表示该生是三年级男生，但不是运动员；CAB （2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式 C B 是正确的； （3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C 成立； （4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时， =B 成立。A 3解：（1）ABC；（2）AB ；（3） ；（4） ；（5） ；CA)(CB （6） ;(7) ;(8)BACB 4解：因 ABC AB，则 P（
2、 ABC）P （AB ）可知 P（ABC）=0 所以 A、B、C 至少有一个发生的概率为 P（ABC ）=P（A）+P （B）+P（C ）-P（AB ）-P（AC ）-P（BC ）+P（ABC） =31/4-1/8+0 =5/8 5解：（1）P（AB ）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9 =P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1)( （2）因为 P（AB ）= P（A）+P（B）-P（AB）P（A）+P （B）=+, 所以最大值 maxP（AB）=min(+,1)； 又 P（A）P（AB） ，P （B）P（AB ）,故最小值 min P（A B ）=max
3、(,) 6解：设 A 表示事件“最小号码为 5”，B 表示事件“ 最大号码为 5”。 由题设可知样本点总数 ， 。310Cn2425,CkA 所以 ； 310 25P310P 7解：设 A 表示事件“甲、乙两人相邻”， 若 个人随机排成一列，则样本点总数为 ， ，n!n!2.1kAP2!.1 2 若 个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。 表示按逆n i 时针方向乙在甲的第 个位置， 。则样本空间i 1,.2ni = ，事件 A= 所以121,.n1 nAP 8解：设 A 表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数 8”，则其对立事件 表示“ 偶A 遇一辆小汽车，其牌照号
4、码中没有数 8”，即号码中每一位都可从除 8 以外的其他 9 个数中 取，因此 包含的基本事件数为 ，样本点总数为 。故4491410 401AP 9解：设 A、B、C 分别表示事件 “恰有 2 件次品”、 “全部为正品”、 “至少有 1 件次品”。 由题设知样本点总数 ， ,410n4773,CkkBA , 而 ，所以6,3PkPBA51C 10解：设 A、B、C、D 分别表示事件“5 张牌为同一花色”、 “3 张同点数且另 2 张牌也同 点数”、 “5 张牌中有 2 个不同的对（没有 3 张同点） ”、 “4 张牌同点数” 。 样本点总数 ，各事件包含的基本事件数为5n 41235134,
5、CkCkBA 故所求各事件的概率为：148314213,kkDC53121452, ,ABCPPnn113452,Ck143852Dk 11解： 2.057.,.0BAPBPBP （1） 92.047.| A （2） 9.| BPBP 3 （3） 852.01| BAP 12解：令 A=两件产品中有一件是废品 ，B=两件产品均为废品 ，C= 两件产品中 有一件为合格品 ，D=两件产品中一件是合格品，另一件是废品 。则 2 121221 , MmMmMmMm CDPCCCAP 所求概率为： （1） 12| APB （2） | mCD 13解：设 A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙得病，由已知有：
6、P（A）=0.05 P（B|A）=0.4 P（C|AB）=0.8 则甲、乙、丙均得病的概率为： P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）=0.016 14解：令 2,10, ii，i 名 中 国 旅 游 者有从 甲 团 中 任 选 两 人 B=从乙团中随机选一人是中国人 ，则：2|,2baiBCimniii 由全概率公式有： 20202|i imniiii baCABP 15解：令 A=天下雨 ，B=外出购物 则：P（A）=0.3 ， P（B|A）=0.2 ， P（B| ）=0.9A （1） P（B）=P （A）P （B|A）+P（ ）P（B| ）=0.69 （2） P（A|B）= 2
7、3|B 16解：令 A=学生知道答案 ，B=学生不知道答案 ，C= 学生答对 P（A）=0.5 PB =0.5 P（C|A）=1 P（C|B ）=0.25 由全概率公式：P（C ）=P （A ）P（C|A）+P（B）P（C|B） =0.5+0.50.25=0.625 所求概率为：P（A|C）= 8.0625. 17解：令事件 2,1iii次 取 到 的 零 件 是 一 等 品第 则,1Bi箱取 到 第 5.021BP 4 （1） 4.03185.0.| 212111 BAPBAP （2） 4.| 2121212 BAP4856.04.0937595. 18证明：因 则BAP|BPA1 经整理得
8、： 即事件 A 与 B 相互独立。 19解：由已知有 ，又 A、B 相互独立，所以 A 与 相互独立；41PAB 与 B 相互独立。则可从上式解得： P（A）=P（B）=1/2 20解：设 “密码被译出” ， “第 i 个人能译出密码 ”，i =1,2,3iA 则 41)(,3)(,51)(2AP 又 相互独立， 1321,A 因此 )()(32 1AP 6.0)4(3)5( 21解：设 “第 次试验中 A 出现”， 则此 4 个事件相互独立。由题设有：i ,321i 59.0114 43232APP 解得 P（A）=0.2 22解：设 A、B、C 分别表示事件：甲、乙、丙三门大炮命中敌机，D
9、 表示敌机被击落。 于是有 D= 故敌机被击落的概率为：BCA 5 9.083.902.71.087.908.7 CPBAPBACPBAPBAD =0.902 23解：设 A、B、C 分别表示事件：甲、乙、丙三人钓到鱼，则 P（A）=0.4，P（B ）=0.6，P（C）=0.9 （1） 三人中恰有一人钓到鱼的概率为： =0.40.40.1+0.60.60.1+0.60.40.9 =0.268 （2） 三人中至少有一人钓到鱼的概率为：CPBACBPBAP11 =1-0.60.40.1 =0.976 24解：设 D=“甲最终获胜”，A=“ 第一、二回合甲取胜”；B=“第一、二回合乙取胜”； C=“
10、第一、二回合甲、乙各取胜一次 ”。则： 2,22CP 由全概率公式得：.|,0|,1| DPCBDPA B| 2 所以 P（D）= 21 25解：由题设 500 个错字出现在每一页上的机会均为 1/50，对给定的一页，500 个错字 是否出现在上面，相当于做 500 次独立重复试验。因此出现在给定的一页上的错字个数服 从二项概率公式，所以所求概率为： P= 50 250 504911150503 .74kkkkkCC 26解：设 A=“厂长作出正确决策 ”。 每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的，因此 5 个顾问向厂长贡献正确意见相当于做 5 次 重复试验，则所求概率为： P（A）= 0.317
11、4 5354.06kkC 附综合练习题解答 6 一、填空题 10.3;3/7;0.6 20.829;0.988 30.2;0.2 40 52/3 67/12 71/4 82/3 9 765310C 103/64 二、选择题 1. C; 2.D; 3.D; 4.D; 5.B; 6.B; 7.B; 8.C; 9.C; 10.D 三、1.（1）假；（2）假；（3）假；（4）真；（5）真 2. 解：设 A=所取两球颜色相同 样本点总数为 ，若 A 发生，意味着都取到黑球或白球，故 A 包含的基本事54169Cn 件数为 ，所以 P（A）=2/9213k 3. 解：设 A=“第三次才取得合格品” 则3,
12、1,“iiAi次 取 得 合 格 品第 321A =23121|P0789 4. 解：从 0，1，9 中不放回地依次选取 3 个数，组成一个数码。若 0 在首位， 该数码为两位数，否则为三位数，于是可组成的数有 1098=720 个。 （1） 设 A=“此数个位为 5”， ，P（A）=1/1072Ak （2） 设 B=“此数能被 5 整除” ， ，P（B）=1/589B 5. 解：设 A=“系统可靠” ， ，由全概率公式有：5,.1iii工 作 正 常元 件3333| APAPA 当第 3 号元件工作不正常时，系统变为如下： 1 2 4 5 图 123|PAP 7 当第 3 号元件工作正常时，
13、系统变为如下： 1 2 4 5 图 2 从而23|PAP21. P 5432 6. 解：设 A=“某人买到此书” ， =“能从第 个新华书店买到此书” ，iAi 3,21i 由题设 412321 PAP16132644131 故所求概率为： 643721APA 第二章习题解答 1. 设 与 分别是随机变量 X 与 Y 的分布函数,为使 是某个随)(1xF2 )()(21xbFa 机变量的分布函数, 则 的值可取为( A ).ba, A. B. 5,3a 32,ba C. D. 211 2. 一批产品 20 个, 其中有 5 个次品, 从这批产品中随意抽取 4 个, 求这 4 个产品中的次品 数
14、 的分布律.X 解：因为随机变量 这 4 个产品中的次品数 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且 ； 401529.2813CP 8 ； 315420.469CPX ；154207.213 ； 154203.0CPX .15420196 因此所求 的分布律为：X X 0 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010 3 如果 服从 0-1 分布, 又知 取 1 的概率为它取 0 的概率的两倍, 写出 的分布律和XX 分布函数. 解：设 ，则 .1xp0xp 由已知， ，所以2()23 的分布律为：X X 0 1 P 1/3 2/3 当 时，
15、；0x()Fxx 当 时， ；103 当 时， .x()1xPXxPX 的分布函数为： .X 0()1/3Fx 4. 一批零件中有 7 个合格品，3 个不合格品，安装配件时，从这批零件中任取一个，若取 出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止，求在取出合格品以前，已 取出不合格品数的概率分布. 解：设 X=在取出合格品以前，已取出不合格品数. 则 X 的所有可能的取值为 0，1，2，3. ；701Px ；39 9 ；3271098Px .10 所以 X 的概率分布为： X 0 1 2 3 P 7/10 7/30 7/120 1/120 5. 从一副扑克牌（52 张）中发出 5 张
16、，求其中黑桃张数的概率分布. 解：设 X 其中黑桃张数 . 则 X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5. ； 051392.CPx ； 14395270.416 ； 31952.23CPx ； 3195260.815 ； 413952.7CPx . 0139520564 所以 X 的概率分布为： X 0 1 2 3 4 5 P 0.2215 0.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.0005 6. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为 p, 当在生产过程中出现废品时立即重新进行 调整, 求在两次调整之间生产的合格品数 的概率函数.X 解：由已知， ()Gp: 所以 .
17、()1,0,2iPXi 7. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿是 相互独立的，且红、绿两种信号显示时间相同. 以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的 路口数. 求 X 的概率分布. 解： 的所有可能的取值为 0，1，2，3. 且 ；102P 10 ；124PX ；8 ；3 所以 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 1/2 1/4 1/8 1/8 8. 一家大型工厂聘用了 100 名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有 4% 的培训者不能完成培训任务. 求： （1）恰有 6 个人不能完成培训的概率； （2）不多于 4 个的概率. 解：
18、设 X 不能完成培训的人数. 则 ，(10,.4)XB: （1） ;6941052PC （2） . 41010.69kk 9. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率 p 接受 一批产品的概率. 假设你是使用方，允许次品率不超过 ，你方的验收标准为从这批05.p 产品中任取 100 个进行检验，若次品不超过 3 个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？ （假设这批产品实际次品率为 0. 06）. 解：设 X100 个产品中的次品数 ，则 ，(1,.6)XB: 所求概率为 .0103(.6).943kkkPC 10. 甲、乙两人各有赌本 30 元和 20 元，以投
19、掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面， 则甲赢 10 元，乙输 10 元；如果出现反面，则甲输 10 元，乙赢 10 元. 分别求投掷一次后 甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数. 解：设 投掷一次后甲的赌本 ， 投掷一次后乙的赌本.甲X乙X 则 的取值为 20，40，且甲 ， ，120402P甲 甲 10302P乙 乙 所以 与 的分布律分别为：甲X乙 甲 20 40 乙X 10 30p 1/2 1/2 p 1/2 1/2 11 , 0,2140,XxFx甲（ ） 0,1302,XxFx乙（ ） 11. 设离散型随机变量 的概率分布为：（1） ；,12,kPa （2） ，分别求（
20、1） 、 （2）中常数 的值. 2,kPXa 解：（1）因为 1001,kk 即 ，所以 . 102()a )2(10a (2) 因为 11,kkPX 即 ，所以 .2aa 12. 已知一电话交换台服从 的泊松分布，求：（1）每分钟恰有 8 次传唤的概率；4 （2）每分钟传唤次数大于 8 次的概率. 解：设 X 每分钟接到的传唤次数 ，则 ，查泊松分布表得()XP: （1） ；90.51.240.97P （2） .80.2136 13. 一口袋中有 5 个乒乓球，编号分别为 1、2、3、4、5，从中任取 3 个，以示 3 个球中 最小号码，写出 的概率分布.X 解： 的所有可能的取值为 1，2
21、，3. ； 2435610CPx ； 235 . 23510CPx 所以 X 的概率分布为： X 1 2 3 12 P 6/10 3/10 1/10 14. 已知每天去图书馆的人数服从参数为 的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个(0) 人借书的概率为 ，且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数 X 的概(01)p 率分布. 解：设 每天去图书馆的人数 ,则 ，Y()YP:,01,2!iPe 当 时， ，Yi(,)XBip:(1)kikiikC!() (1)! !()i iik kikiik i iepep !(1)()!()!i kikki ikik ii (1)e!()!ikk ki
22、ppipepe 即 X 的概率分布为 .(),0,2!kpPX 15. 设随机变量 的密度函数为 ， ,1 xbaxf()其 它 且 ，试求常数 和 . 31XP 解： ； 10()183abxd ，1342()9PXab 由 得，4289ab71.5,.4b 16. 服从柯西分布的随机变量 的分布函数是 F(x)=A+B , 求常数 A, B; xarctn 以及概率密度 f(x).1PX 13 解：由 得 . ()lim(arctn)021xFABxAB 2 所以 ；1()arctn2xx ；(1)0.5PXF .2()fxFx 17. 设连续型随机变量 的分布函数为X20,()11,xF
23、A 求：（1）常数 的值；（2） 的概率密度函数 ；（3） . AX)(xf2XP 解：（1）由 的连续性得()Fx(0)1FF 即 ，所以 ， ；21limx12 ,()1,xx （2） ；,0()fFx其 他 （3） .(2)1PX 18. 设随机变量 的分布密度函数为 ,0 11)(2其 它当 xxAf 试求：（1）系数 ；（2） ；（3） 的分布函数 . A1XPX)(xF 解：（1）因为 1 121()arcsinAfxddxA 所以 ， ； A2 , ()0fx其 它 14 （2） ； 121122 21()arcsin3PXfxddxx (3) 当 时， ，x0fP 当 时， ，
24、01211() arcsin2xfxXdtx 当 时， ，x21()fPt 所以 1,1,arcsin2,0xxF）（ 19. 假设你要参加在 11 层召开的会议，在会议开始前 5 min 你正好到达 10 层电梯口，已 知在任意一层等待电梯的时间服从 0 到 10 min 之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为 10 s，从 11 层电梯口到达会议室需要 20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时 到达会场的概率是多少？ 解：设 =在任意一层等待电梯的时间, 则 ，X(0,1)XU: 由题意，若能准时到达会场，则在 10 等电梯的时间不能超过 4.5 min， 所求概率为 .4.
25、50.1P 20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 （min）服从 的指数分布. 某顾客在窗口X51 等待服务，若超过 10 min，他就离开. 若他一个月到银行 5 次，求： (1) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数 的分布；Y (2) 求 . 1YP 解：（1）由已知， 1(),(5,)XEBp: 其中 100(pPfxd 1025edx 所以 的分布为Y ；55(1)kkPCp225(),(,1234,)kke （2） .05)067PYCe 21. 设随机变量 ，求 使：)4,(NX （1） ；（2） . 903.1X 15 解：由 得)4,5(NX(0,1)2N （1） 5)0
26、.932P 查标准正态分布表得： ，所以 ；1.326.7 （2）由 得，05X50.9PX 所以 P()2()10.92 即 ，查标准正态分布表得 ，所以()0.95.586.5 22. 设 ，求 . )2,1(NX210 ,130XPP 解：由 得,0()XN ；13=1.5.(0).9320.549322P00XPX .1(1)(1)20.84136822 23. 某地 8 月份的降水量服从 的正态分布，求该地区 8 月份降水85m, 量超过 250 的概率. m 解：设随机变量 该地 8 月份的降水量 ，X 则 ，从而2(15,)N:1(0,)N: 所求概率为 50(2.3)10.98
27、.10282P 24. 测量某一目标的距离时，产生的随机误差 服从正态分布 ，求在 3 次cmX)4,(N 测量中至少有 1 次误差的绝对值不超过 30 的概率. 解：由 得(0,4)XN:(0,1)2XN: 设 在 3 次测量中误差的绝对值不超过 30 的次数 ，则Yc(3,)YBp: 其中 3.51.pPPX 16 (1.5).)2(1.5)0.9321.864 所以 P3 次测量中至少有 1 次误差的绝对值不超过 30 =cm1PY0033.8647YC 25. 已知测量误差 ，X 的单位是 mm，问必须进行多少次测量，才能使2(75,)XN 至少有一次测量的绝对误差不超过 的概率大于
28、0. 9. 10 解：设必须进行 n 次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过 的概率大于 0. 9.10m 由已知 ，2(7.5,)XN7.5(,)10XN 设 n 次测量中，绝对误差不超过 的次数 ，则Ym(,)YBnp: 其中 .1025(0.).5987pP 所求概率为 ，即.91PY ，解之得，00.5987.43nnC 3n 必须进行 3 次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过 的概率大于 0. 9.10m 26. 参加某项综合测试的 380 名学生均有机会获得该测试的满分 500 分. 设学生的得分 ，某教授根据得分 将学生分成五个等级：A 级：得分 ；)(2，NXX )
29、(X B 级： ；C 级： ；D 级： ；F)( )2( 级： . 已知 A 级和 C 级的最低得分分别为 448 分和 352 分，则： （1） 和 是多少？（2）多少个学生得 B 级？ 解：（1）由已知， ，解之得48352408 （2） 01XPXP(1)0.841.4 由于 0.3413380=129.66，故应有 130 名学生得 B 级。 27. 已知随机变量 的概率分布如下， X -1 0 1 2 0. 2 0. 25 0. 30 0. 25 P 求 及 的概率分布.3Y2Z 解： 的所有可能的取值为 4，1，-2，-5.1X 17 且 ；410.2PYX ；15 ；2.3 .5
30、02PYX 所以 的分布律为1313XY -5 -2 1 4P 0.25 0.3 0.25 0.2 的所有可能的取值为 1，2，52Z 且 ；10.P ；0.X .525Z 所以 的分布律为112XZ 1 2 5P 0.25 0.5 0.25 28. 设随机变量 ，求 的密度函数.),0(NXY 解：由 XN(0,1)，得 ，设 的分布函数为 FY(y)，则21 xexpX21.)( yPyXPyYFY 当 y1 时， ；121)( Y 当 y0 时 Z 的密度函数为 ()0()()(zzyZXYfzfzyfded()0 )z zze 当 时 ，所以()Zf(),0()0,zzZefz 第四章
31、习题解答 1设随机变量 XB（30， ） ，则 E（X）( D ).61 A. ； B. ； C. ； D.5.6525()30Enp 2已知随机变量 X 和 Y 相互独立，且它们分别在区间-1，3 和2，4上服从均匀分布，则 E(XY)=（ A ）. A. 3； B. 6； C. 10； D. 12. )1()3 26 因为随机变量 X 和 Y 相互独立所以 ()()3EXY 3设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则 X2 的数 学期望 E(X 2)_18.4_ 10,.4()()2.4BD:22()18. 4某射手有 3 发子弹，射一次命中的概率
32、为 ，如果命中了就停止射击，否则一直射到32 子弹用尽设表示 X 耗用的子弹数求 E（X）. 解： X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/923()399E 5设 X 的概率密度函数为 ,01()22,xf其 它 求 2() ,.EX 解： ,1201()()1xfdxxd .2237() 6 6设随机向量(X，Y )的联合分布律为： Y X - 1 1 2 - 1 0.25 0.1 0.3 2 0.15 0.15 0.05 求 () ,().E 解： X -1 2 P 0.65 0.35 .()0.65305E Y -1 1 2 P 0.4 0.25 0.35 27 ()0.42510.3
33、2.5EY()()10()20.32(1)X 7设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为 e(,)0yxyfx， 其 它 求（1） ; (2) .()EXY 解： (),xyfdxy0()3yxedx0()(),3yxXYfdex 8设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 D(X)=1，D( Y)=2，则 D(X-Y)= 3 .()()D 9设正方形的边长在区间0，2服从均匀分布，则正方形面积 A=X2 的方差为 _64/45_. X 的密度函数41()1,(),23EX1/2,0()xfx， 其 他2 4.D244016()()d5xfx2 2()34DXEX 10设随机变量 X 的分布律为
34、X -1 0 1 2 P 1/5 1/2 1/5 1/10 求 D(X). 解： ， ,22)()()E1()0505EX ,22114(050E .29)()5XX 11设随机变量 X 的概率密度函数为 ，求 D(X )|()e2xf 28 解： ，1()()02xEXxfded ，220 .2()()D 12设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为 ,01()22,Xxf其 它 e,0()yYf其 它 求 D(X )，D( Y )，D(X-Y ) 解：由本章习题 5 知 ， ，于是有1E27()6X .22()() 由 知 .1Y:X 由于随机变量 X，Y 相互独立，所以 .7(
35、)()6DD 13设 D(X)=1,D(Y)=4,相关系数 ，则 cov(X,Y)=_1_.0.5XY cov(X,Y)= )1 14设二维随机变量(X, Y )的联合密度函数为 sin()0,(,22xyxyfxy， 其 它 求 cov(X,Y )， 解： ,(,)Exfyd201sin()4xydx22()(,)Xf20i() ,22011(cos+in)8xd .222)(6DXEX 29 由对称性 , .()4EYX21()6DYX20(1)sin)2Xxyfdyx ， cov(X,Y )= ().4EXY=-061，22cov,)()-.245(xyD 15设二维随机变量(X, Y
36、)有联合概率密度函数 1(),02, (,8xyxyfy其 它 试求 E(X)，E(Y)，cov(X, Y) ， XY 解： ,(,)xfyd2017()86xyd 由对称性 .7()6 ,204(,)()3EXYxyfyxyy cov(X,Y )= .1()36EXY ,22205()(),()83xfydxyd . 136DX 由对称性 .()Ycov,1()XYxy 16设 X, Y 相互独立，XN(0，1)，Y N(1，2)，Z = X+2Y，试求 X 与 Z 的相关系数 解： ,cov()c(,2)(2cov(,)10ZD ,)249DY 30 .cov(,)13xzzDXZ 17设
37、随机变量 (5,3)，Y 在0 ，6上服从均匀分布，相关系数 ，求（1）N2XY ；（2） .()EY(2) 解： ,531XE2()(4()cov(,)(61339.XYDDD 18设二维随机向量（X，Y）的概率密度为 2,01,(,)xyxfxy其 它 求（1）E（X Y） ；（2）E（XY） ；（3） .XY 解： ;10()(),2()1xxyfdyydx ;10),2()4xyfd()3EXxy )3YEX cov(X,Y )= 1()()6Y22 201(),()xExfyddy 1()6 ，22()8DXEX22()()18DYEYcov(,1)xzzZ 第五章习题解答 1. 设
38、随机变量 X 的方差为 2，则根据车比雪夫不等式有估计 1/2 .()2PE 31 2()1()DXPXE 2. 随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2，方差分别为 1 和 4，相关系数为-0.5， 则根据车比雪夫不等式有估计 1/12 .6P2()6()()6DXEXY 3. 电站供应一万户用电设用电高峰时，每户用电的概率为 09，利用中心极限定理， （1）计算同时用电的户数在 9030 户以上的概率；（2）若每户用电 200 w，电站至少应具 有多大发电量才能以 095 的概率保证供电？ 解： 设 表示用电户数，则X (0,.9)10,.9,0,90Bnpnpq 由中心定理（定
39、理 4）得3390901().841.57PXPX 设发电量为 ，依题意Y20.95PX 即 02.95902().51.6809YY 4. 某车间有 150 台同类型的机器，每台机器出现故障的概率都是 002，设各台机器的 工作是相互独立的，求机器出现故障的台数不少于 2 的概率 解：设 表示机器出故障的台数，则X(150,.)XB:210233.949458(0.2)71PX 32 5.用一种对某种疾病的治愈率为 80%的新药给 100 个患该病的病人同时服用，求治愈 人数不少于 90 的概率 解：设 表示治愈人数，则X(10,.8)XB: 其中 10,.8,6npnpq99611(2.5
40、)0P 6. 设某集成电路出厂时一级品率为 0.7，装配一台仪器需要 100 只一级品集成电路， 问购置多少只才能以 99.9%的概率保证装该仪器是够用(不能因一级品不够而影响工作) 解：设购置 台，其中一级品数为 ，nX(,0.7)Bn:0.7,.,0.21ppqn7.1.0().9.21PXn 有 10.7.309702nn 7. 分别用切比雪夫不等式与隶美弗拉普拉斯中心极限定理确定：当掷一枚硬币时， 需要掷多少次，才能保证出现正面的频率在 0.40.6 之间的概率不小于 90% 解：设投 ，其中正面出现的次数为 ，nX1(,)2Bnp: 由切贝雪夫不等式 20.1.9.()0.10.15
41、XPpXPEnnDn 只要 25.9n 33 中心极限定理 0.1.9.0.1.0.12().9658XPpnnXpnPqqnpq 8. 某螺丝钉厂的废品率为 0.01，今取 500 个装成一盒问废品不超过 5 个的概率是多少？ 解：设 表示废品数，则X(50,.1)XB:0.1,5,4.9pnpq54.9(0)2)087P 习 题 七 1.解：因为 ， ，,XU:()EX 由于 ，即 ，解之得， 的矩估计量为 .1mA22X 2.解：正态分布的密度函数为 2 ()1()xfxe 似然函数： 221()()21() )nii xxniLe 所以， 221(ll()nii 似然方程组： 2124
42、1ln()0l ()niiniiLx 解之得，所以 和 的极大似然估计分别是2 221,() niiXxXB 34 ，()XttPt 所以 的极大似然估计为 ，其中 .t :t 221,()niiXxXB 3. 解：（1）因为 ，110()EXxd 由于 ，即 ，解之得， 的矩估计量为 .1mA1X （2）似然函数： ，11()() nni iiLxx 所以， ，11ln()l()l)l()ln ni iix 似然方程： ，1ll0 niiLx 解之得， 的极大似然估计为 .1lniix 4.解：（1） 1,0()xef 似然函数: ， 11()nii xxniLe 所以， ，1ln()l nix 似然方程： ，12l()0nixL 解之得， 的极大似然估计为 .1 nix 35 (2) 1(),0,0,xefx已 知 似然函数： ，111 1()()() niin nxxi iiLee 所以， ，11l()ll()l) nniix 似然方程： 1ln niLx 解之得， 的极大似然估计为 .1nix （3） (1),2,.xPXx 似然函数： ，111)() niin xxniL 所以， ，1l()l()l( ni 似然方程： ，1ln()0nixL 解之得， 的极大似然估计为 .1niXx 5.解：由于 ，所以 ，且 之间相互独立，()XP(),()
