1、第 1 页（共 13 页） 海涅定理在函数极限证明中的应用 摘 要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探 讨具有十分重要的意义。本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数 极限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了 对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。 关键词：海涅定理；函数极限；数列极限 Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical analysis. Study on the method
2、 proving existence of function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existence of function limit
3、, but also deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit. Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit 数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理 就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明函数极限性质和极限存在的 判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除此 之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数
4、极限归结为数列极 限问题来处理。 海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数 列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋 势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的。因此，数列极限和函数极限在 一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。 近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一 些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献 1-6。还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献7-10。根据文 献 6，8,10 对海涅定理进行归类整理的。 第 2 页（共 13 页） 1 预备
5、知识 定义 1.1 函数在 点的极限的定义：设函数 在 点的附近（但可能10xxf0 除掉 点本身）有定义，又设 是一个定数。如果对任意给定的 ，一定存在0xA ，使得当 时，总有 ，我们就称 是函数 在0xxf Axf 点的极限，记为0x （或者记为 ）.Axf0lim0xxf 这时也称函数 在 点极限存在，其极限是 。xf 2 海涅定理的证明及推广 定理 2.1 海涅定理 的充分必要条件为对任何以 为极限的1Axf0lim0x 数列 ，都有 。0xnnf 证明 先证必要性 。由于 ，所以对任意的 ，存在 ，xf0li 当 时，0x .Axf 但是 ，故对 ，又可得正整数 ， 时，0xnNn
6、 .0xn 因为 ，故上面的不等式可改写为0xn .0xn 而对于适合这个不等式的 ，其函数值 满足nxf .Axn 第 3 页（共 13 页） 亦即当 时，这个不等式成立，这也就证明了数列 以 为极限。Nn nxfA 再证充分性。用反证法，若 ，则对某一个 ，不能找到函数Axf0lim0 极限定义中的 ，也就是对任意的 ，都可以找到一点 ， ，x0x 使得 ；特别地，若取 为 ，得到 满足Axf 1,23 123, ， ；10x1fxA ， ；22 ， ；30x3fx 从左边一列可以看出 ， ，而右边一列却说数列 不以0n0nnxf 为极限，与假设矛盾。充分性得证。A 等价类型的海涅定理：
7、定理 2.2 设 在 上有定义则 的充要条件是：对于8xfMlimxfA 任何以 为极限的数列 ，都有 。n n 证明 先证必要性。因为 ，则得到对任意的 ，存在 ，li()xfA00M 当 时有xM .()fx 但是 ，故对 ，可得正整数 ，当 时有 。又因为nx0Nnnx 。故上面的不等式可以改写为 .()-nfxA 亦即当 时，这个不等式成立，这也就证明了数列 以 为极限。nNnfxA 再证充分性。用反证法，假设 ，则对于某一个 ，不能找到lim()xf0 函数极限定义中的 ，也就是对任意 都能找到一个点 时，使得M0ixM 。特别地，当取 时，得到 适合fxA1,24 1234, 第
8、4 页（共 13 页） ，11,()xfA ，33 ，44,xf 从左边一列可以看出 ， ，而右边一列却说数列 不以nnMnxf 为极限，与假设矛盾。充分性得证。A 定理 2.3 设 在 的某一邻域 内有定义，则函数 在点8xf00,Uxf 连续的充要条件是：对任何含于 且以 为极限的数列 ，都有0x , nx 。0limxffn 定理 2.4 设函数 在点 的某空心右邻域 有定义，则8xf00,Ux 的充要条件是：对任何以 为极限的单调递减数列 ，Axf0li 0,n 都有 。n 定理 2.5 设函数 在点 的某空心左邻域 有定义，则8xf00,Ux 的充要条件是：对任何以 为极限的单调递增
9、数列 ，Axf0lim 0,n 都有 。n 3 海涅定理的应用 3.1 利用海涅定理对函数极限运算法则、性质及判定定理等的证明 对于一些函数极限的性质和定理等，无法用函数极限的定义证明或用函数的 定义证明比较复杂时，就可以利用海涅定理将函数转化成数列来证明。 例 3.1 若 与 且 皆存在，则有0limxf0lixg0lim,0xgx .00lilixx ff 证明 设 第 5 页（共 13 页） ， ， .fxHg0limxfA0lixgB 又设 是任意一个含于函数 的定义域且以 为极限的数列。那么0xngf, .nnx 由海涅定理的必要性可得 .BgAfnxnx00lim,li 而根据数列
10、极限的运算法则有 . lilimnnnfHgx 又由于数列 的任意性和定理 2.1 的充分性得x .xg fx00limli 例 3.2 证明：若对任意的 有 ,Ua ，且 .xhgxfbxhfaxlili 则 。bxgalim 证明 任作一数列 ，且 ，则由海涅定理知 0,nxUa nx .limlinfhb 因为 ，所以fxghx .nnnfxgx 所以由数列极限的迫敛性知 .limnnb 又由海涅定理的充分性知 存在且收敛于 。oxg 例 3.3 若极限 存在，则此极限是唯一的。foli 证明 设 和 都是 当 时的极限，即ABx0 第 6 页（共 13 页） .BxfAxf00lim,
11、li 作数列 且 ，由海涅定理知 0,nxUnx 且 .linflinnfx 由数列极限存在唯一性知 。AB 3.2 利用函数的性质及海涅定理求数列的极限 对于求数列的极限，有时直接求不好求，就可先求与之相对应的函数极限， 再利用函数的性质和海涅定理求出数列的极限。 1）求含有三角函数的数列极限 例 3.4 求极限 。nn41arctlim 解 因为 在 处连续。当 ， 。 xxftln14 由海涅定理可知 .11lim4narct4lnarctlimlarct04n 例 3.5 求极限 。 2litn 解 设 ，当 时，有 。由海涅定理可知，如果x1n0x 存在，则一定有 210tanlim
12、xx . 22 10tanlim1tanli xxn 下面我们先求 。因为 210tlixx . 32 tan1 ta00tnlimtanli xxxx 又因为 第 7 页（共 13 页） ， ， .31seclimtanli 2030 xxxx 0tanlimxtan0tli1xx e 所以 .3 1lim20tan1exx 再由海涅定理得 . 2 21301litanlitanxnxe 2）求带有积分的数列的极限 例 3.6 求极限 。1lim8lnndx 解 因为 .1 1li8l8limlnnn ndxdx 所以要求 ，只要能求出 即可。1limlnx xnn1lli 由海涅定理可知
13、.1 1lilnlimlxn xddt 再由洛必达法则可得 . 321lnimli 21xxdt x 所以 .1liln2ndx 故 .1lim8l2816nndx 第 8 页（共 13 页） 3） 求带有抽象函数的数列极限 例 3.7 设 ， 。求 。0fa2f n afn1coslim2 解 由海涅定理可知 .x afnafn 1coslim1cosli 22 由导数的定义 .2lili 00 yafyfaff yy 令 ，当 时， ，于是就有21xy22 22 211limli lim1coscossinxx xfafafaxxx .0 0li 2li41y yfayfa 所以 . 21
14、lim4cosnfa 4.3 利用海涅定理判断级数敛散性 级数实质是一个和式的极限，因此运用海涅定理及其推论去判断常数项级数 的敛散性是一种有效的方法。 第 9 页（共 13 页） 例 3.8 判断级数 的敛散性。 141lnn 解 构造函数 .21lnxxf 当 时， 经 Taylor 展开为 0xxf . 21422164221ln xoxoxxf 因为 时，0x .4 2214201xox 所以当 时，0x .5 3214201xoxx 即当 时， 与 为同阶无穷小，或 。0xxf3lim30fx 令 ，由海涅定理有na1 .41 ln1li30x 因为级数 收敛，由第 2 比较准则，所
15、以级数 收敛。 31n 11lnn 而 .1 1 ln1ln4n n 第 10 页（共 13 页） 故 收敛。 141lnn 3.4 海涅定理在判断常量函数中的应用 1）判断当 时， 的极限为 的周期函数是否为常量函数xfxA 例 3.9 证明若 为 上的周期函数，且 ，则 。f, Axfxlimxf 证明 假设 ，则存在 ，使 。又因为Axf,0xBf0 为周期函数，不妨设为 ，记 ，则xf LnLan . 由作法知 . ABxfafnn0lim （3.1） 又因为 ，由海涅定理有Axfxlim .Axfafxnlili 这与（3.1）矛盾，故 。xf 2）给出函数之间的关系，判断函数为常量
16、函数 例 3.10 设函数 在 上满足方程 ，且 ，f0,xff3Axfxlim 证明 。Axf 证明 假设函数 在 上不恒为 ，则必存在一点 ，使得xf0,A0,0x 。又因 满足方程 ，于是Bxf0 xff3 000200 33xfxff n 得到数列 ，故 ,3,20xn . Bxffnx00lim 第 11 页（共 13 页） （3.2） 又因 及 ，所以由海涅定理有Axfxlimnn03 .Axfnn03lim 这与（3.2）矛盾。因此， 。Axf 3.5 利用海涅定理证明某些函数极限不存在 即若可找到一个以 为极限的数列 ，使 不存在；或找到两个都0nxnxfli 以 为极限的数列
17、 与数列 ，使 与 都存在而不相等，则0xnxnflim 不存在。fx0lim 例 3.11 证明 不存在。xx1cosli0 证明 取数列 ， 。则 。易知2n(21)ny0,nnyx ， .limcosnnxlicos1nn 由海涅定理可知 不存在.xx1csli0 例 3.12 证明函数 在点 0 不存在极限。fsn 证明 取 ， ， .12na12nbnN 显然 .0lim,;0li, nnnba 则有 ，si21nf .infb 第 12 页（共 13 页） 从而 ， .lim1nnfali1nnfb 于是，函数 在点 0 处不存在极限。xf1si 3.6 利用海涅定理判断函数在某点
18、的可导性 利用海涅定理，可求得函数差、商的极限，从而可判断函数在某点的可导性。 例 3.13 证明函数 （其中 为常数，且 ， 为xDkf2k0kxD Dirichlet 函数）在原点可导而在其他点处不可导。 证明 因为 .0lim0li0lim 200 fxkxkxf xxx 所以 在 处可导且 ，当 时，设数列 是大于且趋于 的ff0n0x 有理数列，数列 是大于且趋于 的无理数列。于是当 为无理数时，因为nxx0x . 02020limlilimkxkff nnnn 而 .lili 00xxffnnn 故由海涅定理可知， 在无理点 处不可导。当 为非零有理数时，因为xf .00 20 2
19、limlilimkxxkxknnnn 而 .020lili xkxffnnn 故由海涅定理可知， 在有理点 处也不可导，所以 只在原点xf xDkf2 可导，而在其他点处不可导。 第 13 页（共 13 页） 4 结束语 海涅定理作为函数极限和数列极限的桥梁。将函数与数列之间进行互换，使 其运用最简便的方法得出极限。即根据海涅定理的必要性，可以将函数极限化为 函数值数列的极限；根据海涅定理的充分性，又能够把数列极限的性质转移到函 数极限上来。本文主要就是根据不同的文献，将常见的用海涅定理求极限的类型 归纳分类整理。 参考文献： 1 欧阳光中, 朱学炎, 金福临等. 数学分析M. 北京：高等教育
20、出版社, 2007. 2 程其襄. 数学分析M. 北京：高等教育出版社, 1990. 3 王晓敏, 李晓奇, 惠兴杰等 . 数学分析学习方法与解题指导M. 沈阳：东北大学出版 社, 2006. 4 斯坎得尔 伊布拉音,艾斯卡尔 阿布力米提. H.E.Heine 定理的应用J. 新疆教育学 院学报, 2009, 25(4): 114-115. 5 鲜思东. Heine 定理在极限判别及运算中的应用J. 重庆邮电学院学报（自然科学版）, 2006,18(1): 139-140. 6 王淑云. 归结原则在证明函数为常量函数上的应用J. 山西大同大学学报(自然科学版), 2008,24(4): 11-12. 7 王振芳, 周宝明. 海涅（ Heine）定理的推广及其应用J. 雁北师范学院学报, 2004, 2(2): 46-47. 8 吴少祥, 余庆红. 海涅定理及其定理J. 高等数学研究, 2007, 10(5): 30-32. 9 张祖峰, 宁群. 函数极限性质和存在性的证明J. 宿州师专学报, 2004, 19(1): 85- 88. 10 朱国卫. 以海涅定理为例谈数学分析中的直觉、证明与感悟J. 吉林省教育学院学报, 2010, 26: 153-154.
