1、简单的线性规划问题 学习目标 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等 基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 知识点一 线性规划中的基本概念 名 称 意 义 约束条件 关于变量 x，y 的一次不等式( 组) 线性约束条件 关于 x，y 的一次不等式( 组) 目标函数 欲求最大值或最小值的关于变量 x，y 的函数解析式 线性目标函数 关于变量 x，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 由所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大
2、值或最小值问题 知识点二 线性规划问题 1目标函数的最值 线性目标函数 zaxby (b0)对应的斜截式直线方程是 y x ，在 y 轴上的截距是 ， ab zb zb 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线 当 b0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当 b0 时，要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a2； 当 a0 时，要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a1. (2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数 z3xy ，即 y3xz 过 点(0,1)时 z 取最小值 1. 题型二 非线性目标函数的最值问题 例 2 设实数 x，y
3、 满足约束条件Error! 求 (1)x2y 2 的最小值； (2) 的最大值 yx 解 如图，画出不等式组表示的平面区域 ABC， (1)令 ux 2y 2，其几何意义是可行域 ABC 内任一点( x，y)与原点的距离的平方 过原点向直线 x2y 40 作垂线 y2x，则垂足为Error!的解，即 ，( 45，85) 又由Error! 得 C ，( 1，32) 所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为| OC| ， 1 (32)2 132 所以，x 2y 2 的最小值为 . 134 (2)令 v ，其几何意义是可行域 ABC 内任一点( x，y )与原点相连的直
4、线 l 的斜率为 v，即 yx v .由图形可知，当直线 l 经过可行域内点 C 时，v 最大， y 0x 0 由(1)知 C ，( 1，32) 所以 vmax ，所以 的最大值为 . 32 yx 32 跟踪训练 2 已知 x，y 满足约束条件Error! 则( x3) 2y 2 的最小值为_ 答案 10 解析 画出可行域(如图所示 )(x3) 2y 2 即点 A(3,0) 与可行域内点(x ，y)之间距离的平 方显然 AC 长度最小， AC 2(03) 2(1 0) 210，即(x3) 2y 2 的最小值为 10. 题型三 线性规划的实际应用 例 3 某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产
5、品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克每桶甲产品的利润是 300 元，每 桶乙产品的利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A，B 原料都不 超过 12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的 最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品 x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为 z 元，于是有 Error!z300x 400y， 在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线 300x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4) 时，相应直线在 y
6、 轴上 的截距达到最大，此时 z300x400y 取得最大值， 最大值是 z300440042 800， 即该公司可获得的最大利润是 2 800 元 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：分析并根据已知数据列出表格；确定线性 约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数(直线) 求出最优解； 实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解 跟踪训练 3 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的 总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多 少才行？ 解 设桌子、椅子分别买 x 张、y 把，目标
7、函数 zx y， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为 Error! 由Error! 解得Error! 所以 A 点的坐标为 .( 2007，2007) 由Error! 解得Error! 所以 B 点的坐标为 .( 25，752) 所以满足条件的可行域是以 A ，B ，( 2007，2007) (25，752) O(0,0)为顶点的三角形区域 (如图) 由图形可知，目标函数 zxy 在可行域内的最优解为 B ，( 25，752) 但注意到 xN *，yN *， 故取Error! 故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择 1若直线 y2x 上存在点(x ， y)满足约束条件Error!
8、则实数 m 的最大值为( ) A1 B1 C. D2 32 2某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 需满足约束条件Error! 则 z10x10y 的最 大值是( ) A80 B85 C90 D95 3已知实数 x，y 满足Error!则 zx 2y 2 的最小值为_ 一、选择题 1若点(x, y) 位于曲线 y|x |与 y2 所围成的封闭区域， 则 2xy 的最小值为( ) A6 B2 C0 D2 2设变量 x，y 满足约束条件Error! 则目标函数 z3xy 的最大值为( ) A4 B0 C. D4 43 3实数 x，y 满足Error!则 z 的取值范围是( ) y
9、1x A1,0 B(，0 C1，) D 1,1) 4若满足条件Error!的整点(x，y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有 9 个，则整数 a 的值为( ) A3 B2 C1 D0 5已知 x，y 满足Error!目标函数 z2xy 的最大值为 7，最小值为 1，则 b，c 的值分别为 ( ) A1,4 B1，3 C2，1 D1，2 6已知 x，y 满足约束条件Error!使 zxay(a0) 取得最小值的最优解有无数个，则 a 的 值为( ) A3 B3 C1 D1 二、填空题 7若 x，y 满足约束条件Error!则 zx2y 的取值范围是 _ 8已知1xy 4 且 2x y3，则
10、z2x3y 的取值范围是 _(答案用区间表示) 9已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组Error!给定若 M(x，y)为 D 上的动点， 点 A 的坐标为( ，1)，则 z 的最大值为_2 OM OA 10满足|x| |y|2 的点(x ， y)中整点(横纵坐标都是整数)有_个 11设实数 x，y 满足不等式组Error! 则 z|x2y4| 的最大值为_ 三、解答题 12已知 x，y 满足约束条件Error! 目标函数 z2xy，求 z 的最大值和最小值 13设不等式组Error!表示的平面区域为 D.若指数函数 ya x 的图象上存在区域 D 上的点， 求 a 的取值范围
11、14某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张 书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售 一张方桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元 (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 当堂检测答案 1答案 B 解析 如图， 当 y2x 经过且只经过 xy30 和 xm 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m, 2m)在直 线 xy30 上，则 m1. 2答案 C 解析 该不等式组表示的平面区域
12、为如图所示的阴影部分由于 x，yN *，计算区域内与 最近的点为 (5,4)，故当 x5，y4 时，z 取得最大值为 90.( 112，92) 3答案 12 解析 实数 x，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方， 故 zmin 2 .( 12) 12 课时精练答案 一、选择题 1答案 A 解析 画出可行域，如图所示，解得 A(2,2) ，设 z2xy， 把 z2xy 变形为 y2xz， 则直线经过点 A 时 z 取得最小值； 所以 zmin2(2)26，故选 A. 2答案 D 解析 作出可行域，如图所示 联立Error! 解得Error! 当目标
13、函数 z3xy 移到(2,2)时，z3xy 有最大值 4. 3答案 D 解析 作出可行域，如图所示， 的几何意义是点( x，y )与点(0,1)连线 l 的斜率，当直线 l 过 B(1,0)时 kl 最小，最小为1. y 1x 又直线 l 不能与直线 xy0 平行，k l1.综上，k1,1) 4答案 C 解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当 a0 时，只有 4 个整点(1,1)，(0,0) ，(1,0)， (2,0)当 a1 时，正好增加( 1，1)，(0，1) ，(1，1)，(2 ，1)，(3，1)5 个整 点故选 C. 5答案 D 解析 由题意知，直线 xbyc 0 经过直线
14、 2xy7 与直线 xy4 的交点，且经过直 线 2xy1 和直线 x1 的交点，即经过点 (3,1)和点(1，1)， Error! 解得Error! 6答案 D 解析 如图，作出可行域，作直线 l：x ay0，要使目标函数 zxay(a0) 取得最小值 的最优解有无数个，则将 l 向右上方平移后与直线 xy5 重合，故 a1，选 D. 二、填空题 7答案 2,6 解析 如图，作出可行域， 作直线 l：x2 y0， 将 l 向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故 z 的取值范 围为2,6 8答案 3,8 解析 作出不等式组 Error!表示的可
15、行域，如图中阴影部分所示 在可行域内平移直线 2x3y 0， 当直线经过 xy 2 与 xy4 的交点 A(3,1)时，目标函数有最小值 zmin23313； 当直线经过 xy 1 与 x y3 的交点 B(1，2) 时，目标函数有最大值 zmax21328. 所以 z3,8 9答案 4 解析 由线性约束条件 Error!画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z xy，将其化为OM OA 2 y xz ，结合图形可知，目标函数的图象过点( ，2)时，z 最大，将点( ，2)代入 z2 2 2 x y，得 z 的最大值为 4.2 10答案 13 解析 |x| |y|2 可化为 Error! 作
16、出可行域为如图正方形内部(包括边界) ， 容易得到整点个数为 13 个 11答案 21 解析 作出可行域(如图)，即ABC 所围区域( 包括边界)，其顶点为 A(1,3)，B(7,9) ，C(3,1) 方法一 可行域内的点都在直线 x2y40 上方， x2y40， 则目标函数等价于 zx2y 4， 易得当直线 zx2y 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值 zmax21. 方法二 z|x2y 4| ， |x 2y 4|5 5 令 P(x，y)为可行域内一动点，定直线 x2y40， 则 z d，其中 d 为 P(x，y) 到直线 x2y 40 的距离5 由图可知，区域内的点 B 与直线的
17、距离最大， 故 d 的最大值为 . |7 29 4|5 215 故目标函数 zmax 21. 215 5 三、解答题 12解 z2xy 可化为 y 2xz，z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距的相反数，故当 z 取得最大值和最小值时，应是直线在 y 轴上分别取得最小和最大截距的时候作一组与 l0：2xy0 平行的直线系 l，经上下平移，可得：当 l 移动到 l1，即经过点 A(5,2)时， zmax2528. 当 l 移动到 l2，即过点 C(1,4.4)时， zmin2 14.42.4. 13解 先画出可行域，如图所示，ya x 必须过图中阴影部分或其边界 A(2,9) ，9a 2，a3.
18、 a1，1a3. 14解 由题意可画表格如下： 方木料(m 3) 五合板(m 2) 利润(元) 书桌(张) 0.1 2 80 书橱(个) 0.2 1 120 (1)设只生产书桌 x 张，可获得利润 z 元， 则Error! Error!0x 300. 所以当 x300 时，z max8030024 000(元) ， 即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，获得利润 24 000 元 (2)设只生产书橱 y 个，可获得利润 z 元， 则Error! Error!0y 450. 所以当 y450 时，z max12045054 000(元) ， 即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，获得利润 54 000 元 (3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为 z 元， 则Error! Error! z80x 120y. 在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图) 作直线 l：80x 120y0，即直线 l：2x 3y0. 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 M，此时 z80x120y 取得 最大值 由Error! 解得，点 M 的坐标为(100,400) 所以当 x100，y 400 时， zmax8010012040056 000(元) 因此，生产书桌 100 张、书橱 400 个，可使所得利润最大
