1、- 1 - 范德蒙德行列式的证明及其应用 摘 要：介绍了 阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙n 行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性 变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关 定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化 阶行列式的计算过程.探n 究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础. 关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用 1 引言 行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末,
2、在十九世纪末,其理论体系已基本形成. 1683 年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布 尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的 系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地 基础.1771 年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方 程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基 人.他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反 复的钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家 便是范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的
3、科研态度给出了现代 代数书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了 行列式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772 年,皮埃尔-西蒙.拉普拉 斯在范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概 念.自此起,人们对行列式展开了单独的研究. 人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在 19 世纪展开了更深层次的研 究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双 重组标记法、行列式的乘法定理等.1832 年至 1833 年,问卡尔.雅可给出了一个 特殊的行列式的计算结果.基于此,1839 年,卡塔兰发现了 Jacobian
4、行列式. 范德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的 应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来 将更广泛的应用在数学各个领域. 2 范德蒙行列式的定义及证明 2.1 定义 - 2 - 行列式 (1)1121nnaa 称为 阶的范德蒙（Vandermonde）行列式. 由范德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的 阶范德蒙行列(2)n 式等于 这 个数的所有可能的差 的乘积.na,21 1(ijaji 2.2 范德蒙德行列式的证明 2.2.1 用递推法证明 1211210121 aaD nnnnrann )()()( 121321223
5、12 1 aaannn nc 展 开按 上式 312nnD 仿上做法,有 2242)()(nn aaD 再递推下去,直到 .故1)( )()()()(1 12242311312jinij nnna aaaa 2.2.2用Laplace定理证明 已知在 级行列式 nnjniiji njaaaaD 1111 - 3 - 中,除第 行（或第 列）的元素 以外,行列式中其余元素全是零 ,则由ijija Laplace定理得:此行列式等于 与它的代数余子式 的乘积 ,在ijAijAaD11321222311nnn naaD 中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的 倍,得1a)()()(0 1213
6、212 11312 aaaDnnn nn 根据上述定理 )()()( 1213212 11312 aaaDnnn n 把每列的公因子提出来,得 223211312 )()( nnnn aaaaD 等式右边的第二个因子是 阶行列式,用 表示,则上式中1D1312 )()(nnnD 同样地,可以得到 224231 )()(nnn aaD 此处 是一个 阶范德蒙行列式 ,一直继续下去,得 )()()()( 122311312 nnnn aa1jinija 3 范德蒙德行列式的应用 - 4 - 3.1 在向量空间理论中的应用 在解析几何中,直观上我们经常认为一维、二维、三维向量空间是有意义的.当 时
7、,就没有直接的现实意义 ,但在高等代数这门课程中, 维向量空间却是3n n 很常见的.当涉及线性相关问题时,通常我们通过构造同构映射的方法,将其转化 为范德蒙行列式的问题,进而利用该行列式是否为零判断线性相关性. 例 1.设 是数域 上的 维向量空间,任给正整数 ,则在 中存 个VFnmVm 向量,其中任取 个向量都线性无关 .n7 证明:因为 ,所以只须在 中考虑.n 取 )31(12na (,22 )3(,1(1mnma 令 .1,)3()(3122 222 111 mkkDnnkkkknnnn 是范德蒙行列式12 1)3()(312221nkkkknnn 且 ,所以 线性无关.0nDnk
8、ka,21 3.2 在线性变换中的应用 线性变换是代数学中的一个重要概念,它的抽象性使我们在掌握这个概念时 比较困难.此时,我们可以应用线性变换的定义及性质,考虑构造新函数,运用方 程思想解决此类问题. 例 2.设数域 上的 维向量 的线性变换 有个互异的特征值 ,则FnVn,21 与 可交换的 的线性变换是 的线性组合,这里 为恒等变换.V12,ne e 证明:由题意,由于 是 维向量 上的线性变换, 由线性变换的定义得 ,假设 是 的不变子空间.根据不变子ii 2,1)(Fki| 空间的特点, 是与 可交换的线性变换.令 且 1210 nxxe - 5 - ,则有以下方程组niki 2,1
9、)( （2） 110222 101 nnn nxxk 由于线性方程组的系数矩阵的行列式 ,所以方程组（2）有)(j1jiniD 唯一解,即就是 这 个向量线性无关 ,题目得证.12,ne 3.3 多项式理论中的应用 在多项式理论中,许多题目涉及求根问题.一般情况下,我们可以用综合除法 解决这类问题,但是在不知道多项式函数最高次项系数和常数项系数的条件下, 我们可根据题意列出线性方程组.通过计算该线性方程组对应的系数矩阵的行列 式是否为零判断根的情况,进而得出结论. 例 3.设 .若 至少有 个不同的根,则nxccxf10)( ()f1n .0)(xf 证明:取 为 的 个不同的根.则有由齐次线
10、性方程组121,n ()f1 (3) 012110 20 nnnxcxcc 其中 看作未知量., 且 .由于该方程组的等式右端的数均为零,由变形)(1jinjD 后的定理得:此方程组的解全为零.从而 .即 是零多项式.010ncc )(xf 3.4 微积分中的应用 例 4.设 在 上连续,在 内存在 2 阶导数 .证明:在 上)(yfba),(ba2 bxa 有 .这里21)()( cfxf ),( 证明:在 上构造函数,ba 是范德蒙行列式,而函数 满足中值定理条件:)(1 )()(22bfxfyyF )(yF - 6 - 因 .由中值定理,在 内存在 ，使)()(yFxa),(babx21
11、 .故存在 ,使 .即就是021F21xc0cF .按行列式定义展开,即得所证.)(1 )()(2 bfxafc 3.5 行列式计算中的应用 涉及行列式计算问题时,经常运用行列式的性质解决问题,但其复杂多变的 形式给行列式的计算增加了难度.对于具体的行列式,我们可以根据它的性质和 定义解决.但对于那些结构特殊的、抽象的行列式,可通过观察、归纳总结,我们 可以用特殊的方法迅速解决问题. (1)用提取公因式计算行列式 例 5.计算 nnnD 22311 解:由观察得到:该行列式中每行元素都分别是同一个数的不同方幂,并且其 方幂次数从左至右依次增加,但它的次数是由 1 递加至 ,由行列式的相关性质,
12、n 得 1212131321nnnnD 仔细观察,我们在右边的行列式中,从第 2 行开始,每行的 1 都写成该行中这 个自然数的零次幂的形式,则它为 阶范德蒙行列式,故 )()()4(3)1(3)12(! nnnnD !2 (2）对换行列式中每一行(或每一列)的次序 - 7 - 例 6.计算 11)()(111 nbbDnnn 分析:遇到这类问题,我们经常考虑运用行列式的六条性质来解决.为此,我 们可以调换该行列式的次序,将它化为标准形式. 解:把 行依次与上面的每一行交换至第 1 行,第 行依次与上面的每一1n n 行交换至第 2 行,以此类推,由自然数排列的逆序原则,共经过 次交换2)(1
13、)() n 得到 阶范德蒙行1n nnnnn bbD)()1( 11)( 112(1 )1( 2)2()12 (nbn !1kn (3)用拆行（列）计算行列式 阶行列式中的 行(列)由两个互异元素构成 ,且任意相邻两行 (列)都含有ni 共同元素,那么我们可以利用行列式的初等变换原则,通过消去一些分行中某一 元素的方法,巧妙运用范德蒙行列式结论. 例 7.计算 4 阶行列式 3423232312 1aaaD 分析:观察此行列式,我们可以看出:该行列式满足拆项行(列)计算行列式的 特点,因此我们可以用该方法来解决这个问题. 解:消去此行列式第二行每一项中的数字 1,得: - 8 - (4)342
14、3232312 1aaa 消去行列式 (4)第三行中加号前的元素,得: (5)3423232312 1aaa 再从行列式(5)中消去第 4 行中与第三行一样的元素得:343212aa 因为该行列式为 4 阶范德蒙行列式,故)(141343221jiija (4)用加边法计算行列式 行列式的各行（或列）有明显范德蒙行列式定义的特点,但共同元素的方幂 并不是按连续的自然数的顺序依次增加,此时我们可以考虑用加边法. 例 8.计算 4 级行列式 4422 11dcbaD 分析：D 不是范德蒙德行列式,但具有该行列式的特点,可考虑构造 5 级的范德 蒙德行列式,再利用范德蒙德行列式的结果,间接求出 D
15、的值. 解：构造 5 阶范德蒙行列式 4443332225a11xdcbD - 9 - 按第五列展开得 4534235215 xAxAD 其中 的系数为3xD45)1( 又利用范德蒙行列式的结果得 )()()()()(5 dxcdbxdbcaxdacbD 34a 其中 的系数为3x )()()( dcbdbcadcabD 故 ) ac 4 结束语 范德蒙德行列式还可以应用于数学其他科目上.例如:在数学分析中,我们可 以用它来构造高阶无穷小量,在线性代数中,我们可以用它来解决向量组线性相 关性的证明问题.范德蒙行列式广泛的作用更加激发了我们深入探索它的欲望. 我们希望在掌握相关的基础课程和基本理
16、论之上，研究范德蒙行列式,用科学技 术指导实践,更好的服务社会,促进经济发展. 参考文献: 1范臣君.范德蒙行列式在构造高阶无穷小的应用J.吉林师范大学学报,2015.2(1) 2万勇,李兵.线性代数M.上海:复旦大学出版社,2006. 3何江妮.范德蒙德行列式的证明及其应用J.科教文化. 4Kenneth CLoudenCompiler Construction Principles and PracticeM北京:机 械工业出版社,2002. 5徐杰.范德蒙行列式的应用J.科技信息,2009（17）. 6SERGE Lang.Linear Algebra(2nd ed)M.NeW York
17、:Columbia University,1988. 7刘彦信.高等代数(第三版)M.西北工业大学出版社,2004. 8北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）M.北京:高等教育出 版社，2003. 9北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）M.北京：高等教育 出版社，2003. Proof of Fandemengde Determinant and its Application Abstract: This paper introduces the definition of n-order Vandermonde - 10 - determinant
18、. We proved Vandermonde determinant by recurisive method and Laplasse theorem , and explored its application in the higher algebra by some examples.Vector space theory is used to solve linear problem; It was used to structure linear equcations in linear transformation theory, polynomial theory and c
19、alculus theory , and judge the situation of root by Cramers rule or related theorem; In the calculation process of determinant calculation,It is maily used to simplify the n-order determinant. It laid a good foundation for further studying its properties and application by exploring the history of Vandermonde determinant and related applications. Keywords: fandemeng determinant; vectort space; linear trasformation; application
