1、 1 / 9 潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测 高三理科数学试卷 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 参考公式： 如果事件 、 互斥，那么AB()()PABP 如果事件 、 相互独立，那么 棱柱的体积公式 ，其中 、 分别表示棱柱的底面积、高VSh 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求 1 2i A B C Di2ii2 2集合 ， ，则|x|,1yxAB A B
2、C DR|0 3若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 的值为2ypx21xyp A B C D4 4不等式 成立的一个充分不必要条件是10x A 或 B 或 C D1x0x1x 5对于平面 和共面的两直线 、 ，下列命题中是真命题的为mn A若 ， ，则 B若 ， ，则m/n/mn C若 ， ，则 D若 、 与 所成的角相等，则/n / 6平面四边形 中 ， ，则四边形 是0AC ()0AABC A矩形 B菱形 C正方形 D梯形 7等比数列 中 ，公比 ，记 （即 表示na51221q12nna n 数列 的前 项之积） ， ， ， ， 中值为正数的个数是8910 A B C D 34
3、8定义域 的奇函数 ，当 时 恒成立，若R()fx(,)()0fxf ， ， ，则3()afloglbfc A B C D ccaababc 第卷（非选择题，共 110 分） 2 / 9 二 填空题：本题共 6 小题，共 30 分，把答案填在答题卷相应的位置上 9某校有 名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火40 炬手，抽到高一男生的概率是 ，现用分层抽样的方法在全校抽取 名奥运志愿者，0.210 则在高二抽取的学生人数为_ 高一 高二 高三 女生 6y65 男生 xz7 10如果实数 、 满足条件 ，那么 的最大值为_y 10yx2xy 11在 中角 、 、 的对
4、边分别是 、 、 ，若 ，ABCabc()cosAaC 则 _cos 12右图给出的是计算 的值2016412 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条 件是 _？i 13 由数字 、 、 、 、 组成无重复数字的03 五位数，其中奇数有 个 14若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为_ 三解答题（本大题共 6 小题，共 80 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15 （本小题共 12 分）已知函数 ()sincofxx， ()f是 fx的导函数 （1 ）求函数 的最小值及相应的 值的集合；()gxf （2 ）若 2f，求 的值ta()4x 16 （本题满分 12
5、分） 近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习 惯是否符合低碳观念若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ，否则称为“非低碳 族” 数据如下表（计算过程把频率当成概率） 开始0,21SniSn21i 否 输出 S 结束 是 题 12 图主视图 俯视图 23 左视图 小区A低碳族 非低碳族 频率 p0.5. 小区B低碳族 非低碳族频率 p0.8.2 3 / 9 （1）如果甲、乙来自 小区，丙、丁来自 小区，求这 人中恰有 人是低碳族的概率；AB42 （2） 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有 的人加入到低碳族的行列如20% 果 周后随机地从 小区中任选 个人，记
6、表示 个人中低碳族人数，5X5 求 ()EX 17 （本小题满分 14 分） 已知点 、 ，若动点 满足 (4,0)M(1,)NP6|MNP （1）求动点 的轨迹 ；PC （2）在曲线 上求一点 ，使点 到直线： 的距离最小Q210xy 18(本小题满分 14 分)已知梯形 中， ， ，ABDBC2BAD ， 、 分别是 、 上的点， ， 42BAEFEFx 沿 将梯形 翻折，使平面 平面 (如图) 是 的EFCGC 中点，以 、 、 、 为顶点的三棱锥的体积记为 fx （1）当 时，求证： ；2xBDG （2）求 的最大值；()f （3）当 取得最大值时，求异面直线 与 所成的角的余弦值xA
7、EBD 19 （本题满分 14 分） 数列 中 ，前 项和 ， ， ，na12n2(1)nSan2 （1）证明数列 是等差数列；（2）求 关于 的表达式； （3）设 ，求数列 的前 项和 3nbS nbnT 20 （本题满分 14 分）二次函数 满足 ，且最小值是 ()fx(0)1ff14 （1）求 的解析式；()fx 4 / 9 （2）设常数 ，求直线： 与 的图象以及 轴所围成封闭1(0,)2t2yt()fxy 图形的面积是 ； St （3）已知 ， ，求证： 0mn21()()4mnmn 5 / 9 答案及评分标准： ：CCDD；CBB A；9 ；10 ；11 ；12 ；13 ；14 8
8、130120368 以下是各题的提示： 1 2ii 2 ， ，所以 0,4,0B0AB 3双曲线 的右焦点为 ，所以抛物线 的焦点为 ，则 21xy(2,)2ypx(2,0) p 4画出直线 与双曲线 ，两图象的交点为 、 ，依图知yx(1,),1) 或 (*)，显然 (*)；但(*) 10x01xx 5考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断 由 ，得 ，故平面四边形 是平行四边形，ABCD ABCDABCD 又 ，故 ，所以 ，即对角线互相垂直()0 0 等比数列 中 ，公比 ，故奇数项为正数，偶数项为负数，na1q ， ， ， ，选 B1098 8设 ，依题意得 是偶函数，当 时 ，
9、即()gxf()gx(,0)x()0fxf 恒成立，故 在 单调递减，则 在 上 ,0g, 递增， ， ，3()af(lo3)(l)(lo3)bf 22cg 又 ，故 lo1ac 9依表知 ， ，于是 ，400xyz0.24x80x ，高二抽取学生人数为 213 10作出可行域及直线： ，平移直线至可行域的点 时xy(,1) 6 / 9 取得最大值2xy 11由 ，得 ，()cosbAaC2coscosbAaC ，故 ，siniinBini()BA 又在 中 ，故 ，s()s0B1cs2 12考查循环结构终止执行循环体的条件 13 1326CA 14由左视图知正三棱柱的高 ，设正三棱柱的底面边
10、长 ，则 ，故 ，2ha324a 底面积 ，故 1432S4328VSh 15 解：（ 1） ，故 ， 2 分()sincofxx()cosinfx gf(i ) ， 4 分22cosicsxx 当 ，即 时， 取得最小值 ，()kZ()2kZ()gx1 相应的 值的集合为 6 分x|,x 评分说明：学生没有写成集合的形式的扣分 （2 ）由 ()2()ff，得 ， sinco2sinxx ，故 ， 10 分cos3ix1ta3 12 分4tan() 241tan1x 16解：（1）设事件 表示“这 人中恰有 人是低碳族” 1 分C22112222()0.5.0.50.80.5.8PCC 4 分
11、163 答：甲、乙、丙、丁这 人中恰有 人是低碳族的概率为 ； 5 分4.3 （2）设 小区有 人，两周后非低碳族的概率 Aa 2(1%)0.3aP 7 / 9 故低碳族的概率 9 分10.32.68P 随机地从 小区中任选 个人，这 个人是否为低碳族相互独立，且每个A5 人是低碳族的概率都是 ，故这 个人中低碳族人数服从二项分布，即 ，故 12 分7(25,)XB7()1EX 17解：（1）设动点 ，又点 、 ，,Pxy(4,0)M(,)N ， ， 3 分(4,)M 3NPxy 由 ，得 ， 4 分6|N 22()6(1)(x ，故 ，即 ， 222(81)44xy2341xy213xy 轨
12、迹 是焦点为 、长轴长 的椭圆； 7 分C(,0a 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣分 （2 ）椭圆 上的点 到直线的距离的最值等于平行于直线：Q210xy 且与椭圆 相切的直线 与直线的距离 1l 设直线 的方程为 8 分1l20(12)xym 由 ，消去 得 （*） 2340xy2240x 依题意得 ，即 ，故 ，解得 )1(622m2164m 当 时，直线 ： ，直线与 的距离 4m1l40xy1l|2|165d 当 时，直线 ： ，直线与 的距离 1l21l|4|8 由于 ，故曲线 上的点 到直线的距离的最小值为 12 分856CQ5 当 时，方程（*）化为
13、，即 ，解得 4m2480x2(1)0x1x 由 ，得 ，故 13 分120y3y(1,) 曲线 上的点 到直线的距离最小 14 分C(1,)2Q 8 / 9 18 （法一） （1）证明：作 ，垂足 ，连结 ， ，EFDHBHG 平面 平面 ，交线 ， 平面 ，AEFBCECF 平面 ，又 平面 ，故 ，DHGD ， ， 12/90A 四边形 为正方形，故 HE 又 、 平面 ，且 ，故 平面 BBEGBH 又 平面 ，故 DDG （2）解： ，平面 平面 ，交线 ， 平面 AEFABCFAEFD 面 又由（1 ） 平面 ，故 ，C/ 四边形 是矩形， ，故以 、 、 、 为顶点的三棱HED
14、锥 的高 ，Bx 又 4()822CFS x 三棱锥 的体积 当 时， 有最大值为 （3）解：由（2）知当 取得最大值时 ，故 ， 由（2）知 ，故 是异面直线 与 所成的角 在 中 ， 由 平面 ， 平面 ，故 在 中 ， 异面直线 与 所成的角的余弦值为 法二：（1）证明：平面 平面 ，交线 ， 平面 ， ，故 平面 ，又 、 平面 ， ， ，又 ，取 、 、 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间坐标系 ，如图所示 当 时， ， ，又 ， ， ， ， ， ， ， ，即 ； （2）解：同法一； 9 / 9 （3）解：异面直线 与 所成的角 等于 或其补角 又 ， 故 ，故异面直线 与 所成的角的余弦值为 19 （1）证明：由 ，得 ，故 分 数列由 是首项 ，公差 的等差数列； 4 分 （2）解：由（1）得 6 分 ； 分 （3）由（） ，得 10 分 数列 的前 项和 分 14 分 20解：（1）由二次函数 满足 设 ， 则 分 又 的最小值是 ，故 解得 ； 分 （2 ）依题意，由 ，得 ，或 （ ）分 由定积分的几何意义知 分 （3 ） 的最小值为 ，故 ， 分 ，故 12 分 ， ， 13 分 ， 14 分
