1、 1 CD BA 第 12 题 上海市虹口区 2014 届高三 4 月高考模拟（二模） 数学试卷（理科） （时间 120 分钟，满分 150 分） 一、填空题（每小题 4 分，满分 56 分） 1、已知集合 12Ax， 2B4x，则 AB 2、函数 2()f（ ,1）的最大值等于 . 3、在 BC中，已知 sin:si:25C，则最大角等于 4、已知函数 ()yfx是函数 xya(0且 ）的反函数，其图像过点 2(,)a，则 ()fx 5、复数 z满足 1i，则复数 z的模等于_ 6、已知 tan2， ta()，则 tan 7、抛物线 8yx的焦点与双曲线 21xy 的左焦点重合，则双曲线的两
2、条渐近线的夹角为 . 8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后 一节，体育不排在第一节的概率是 9、已知 (12)nx关于 的展开式中，只有第 4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 . 10、等差数列 na的通项公式为 28na，下列四个命题 1：数列 na是递增数列； 2：数列n 是递增数列； 3：数列 n是递增数列； 4：数列 2na是递增数列其中真命题的是 11、椭圆 cosinxayb(0，参数 的范围是 02）的两个焦点为 1F、 2， 以 12F为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边， 且 4，则 a等于 12、设
3、 ABCD、 、 、 是半径为 1的球面上的四个不同点，且满足 0ABC ， 2 P M A BO 0ACD ， 0AB ，用 123S、 、 分别表示 ABC、 D、 B的面积，则 123的最大值是 . 13、在 中， 4MmC ，向量 M 的终点 在 的内部（不含边界） ， 则实数 m的取值范围是 14、对于数列 na，规定 1na为数列 n的一阶差分数列，其中 11()nnaN对于 正整数 k，规定 k为 的 k阶差分数列，其中 knk若数列 na有 1，2a ，且满足 210()nanN，则 14a 二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 15、已知 :“ ”； :“直线 yx与
4、圆 2)(2yx相切” 则 是 的（ ）.A 充分非必要条件 .B必要非充分条件 .C充要条件 .D既非充分也非必要条件 16、若函数 ()1fxa在区间 (,1)上存在一个零点，则实数 a的取值范围是（ ） . . . a或 1 .1 17、已知数列 n是首项为 1，公差为 (02)d的等差数列，若数列 cosn是等比数列， 则其公比为（ ）.A 1 .B .C .D 2 18、函数 xfsi)(在区间 ),(上可找到 n个不同数 1x， ， nx，使得 n xfx21 ，则 的最大值等于（ ）.A 8 .B 9 .C 10 .D11 三、解答题（满分 74 分） 19、 （本题满分 12
5、分）已知圆锥母线长为 6，底面圆半径长为 4，点 是母线 A的中点，B 是底面圆的直径，底面半径 O与母线 PB所成的角的大小等于 （1）当 60时，求异面直线 MC与 所成的角； （2）当三棱锥 A的体积最大时，求 的值 3 20、 （本题满分 14 分）已知函数 2()23sincosyfxxxaR，其中 a为常数 （1）求函数 ()yfx的周期； （2）如果 的最小值为 0，求 a的值，并求此时 )(xf的最大值及图像的对称轴方程. 21、 （本题满分 14 分）某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张，其中燃油型汽车牌照 10 万张，电动型汽车 2 万张为了节能减排和控制总量，从 2
6、013 年开始，每年电动型汽车牌照按 50%增长，而燃油型汽车牌 照每一年比上一年减少 0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张，以后每一年发放的电动车 的 牌照的数量维持在这一年的水平不变 （1）记 2013 年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列 na，每年发放的电动型汽车牌照数 为构成数列 nb，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式； （2）从 2013 年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过 200 万张？ 22、 （本题满分 16 分）函数 )(xfy的定义域为 R，若存在常数 0M，使得 xf)(对一切 实数 x均成立，则称 )(f为“圆锥托底型”函
7、数 （1）判断函数 x2， 3g是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由 （2）若 1)(xf是“圆锥托底型 ” 函数，求出 的最大值 （3）问实数 k、 b满足什么条件， bkxf)(是“圆锥托底型” 函数 4 D C B A y xO 23、 （本题满分 18 分）如图，直线 :lykxb与抛物线 2xpy（常数 0）相交于不同的两点1(,)Axy 、 2(,)Bxy，且 21h（ 为定值） ，线段 AB的中点为 D，与直线 lykxb： 平行的切线的切点为 C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的 切线，这个公共点为切点） （1）用 k、 b表示出 点、 D点
8、的坐标，并证明 CD垂直于 x轴； （2）求 AB的面积，证明 AB的面积与 k、 b无关，只与 h有关； （3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连 A、 B，再作与 AC、 B平行的切线， 切点分别为 E、 F，小张马上写出了 E、 F的面积，由此小张求出了直线 l与抛物线 围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由 上海市虹口区 2014 届高三 4 月高考模拟（二模） 5 D OC BA M P 数学答案（理科） 一、填空题（每小题 4 分，满分 56 分） 1、 (,2)； 2、4； 3、 4； 4、 2()logfx； 5、 ； 6、3； 7、 ； 8、 710； 9、
9、1； 10、 1， 3； 11、 ； 12、2； 13、 m； 14、26 ； 二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 15、 A； 16、 C； 17、 B； 18、 C； 三、解答题（满分 74 分） 19、(12 分) 解：（1） 连 MO，过 作 DAO交 于点 D，连 又 2645PO， 5又 43M， /MD ， C等于异面直线 C与 P所成的角或其补角B ， 60或 125 分 当 60时， 3 6cos13D， 65arcos13 当 12OC时， 7C 857MC， 8r7C 综上异面直线 M与 P所成的角等于 65arcos13或 1arcos38 分 （2） 三棱锥
10、 AC的高为 D且长为 ，要使得三棱锥 ACO的体积最大只要底面积O 的面积最大而当 O时， CA的面积最大 10 分 又 P，此时 PB平 面 ， ， 9012 分 20、 （14 分）解（1） 1cos23in2sin()16yxaxa4 分T .6 分 （2） )(xf的最小值为 0，所以 10 故 18 分 所以函数 2)6sin(y.最大值等于 410 分6xkZ ，即 6kxZ时函数有最大值或最小值， 故函数 )(f的图象的对称轴方程为 2k.14 分 6 21、 （14 分）解：（1） 2 分0a29.5a3a 9 4a 8.5 1bb 3 4.5 b 6.75 当 n且 N，
11、2110()0.5n n； 当 21且 ， na ,02,1n Nn 且且 5 分 而 45.1ab， 3(),46.75nnbN且且 8 分 （2）当 n时， 12341234()()5.2nSaab 当 51时， )n nb 4()(1)206.75()321n 68411 分 由 20nS 得 213204n，即 268430n， 得 346.3 13 分 到 2029 年累积发放汽车牌照超过 200 万张14 分 22、 （16 分）解：（1） 2xx，即对于一切实数 x使得 ()2fx成立，xf2)( “圆锥托底型” 函数 2 分 对于 3g，如果存在 0M满足 3x，而当 Mx时，
12、由 32M ，2M ，得 ，矛盾， 3()g不是“圆锥托底型” 函数4 分 （2） 1)(2xf是“圆锥托底型” 函数，故存在 0， 使得 对于任意实数恒成立 7 D C B A y xO 当 0x时， 1Mxx，此时当 1时， x取得最小值 2， M7 分 而当 x时， ()10f也成立 M的最大值等于 8 分 （3）当 0b， k时， ()fx，无论 取何正数，取 0x，则有 00()fxx，()fx 不是 “圆锥托底型” 函数10 分 当 ， k时， ()fxk，对于任意 x有 ()fkx，此时可取 Mk()fx 是“圆锥托底型” 函数12 分 当 0b， k时， ()fxb，无论 M取
13、何正数，取 0bx有 0x，()fx 不是“圆锥托底型 ” 函数14 分 当 0b， k时， bkxf)(，无论 取何正数，取 0bxk，有00()Mfx ， f)(不是“圆锥托底型” 函数 由上可得，仅当 ,bk时， bkxf是“圆锥托底型” 函数16 分 23、 （18 分）解：（1）由 22 0ypx，得 12xpk， 12xpb 点 2(,)Dpkb2 分 设切线方程为 yxm，由 22 0 ykxpkxmp , 得 2480pk， ，切点的横坐标为 ， 得 2(,)C 4 分 由于 、 D的横坐标相同， CD垂直于 x轴6 分 （2） 222211)48hxpkb（ ， 2248hp
14、k 8 分 8 23221116ABC pkhSDxhb 11 分 的面积与 k、 b无关，只与 有关12 分 （本小题也可以求 21ABkh，切点到直线 l的距离 22181pkbhdk ，相应给分） （3）由（1）知 CD垂直于 x轴， 2CABChx，由（2）可得 CEA、 FB的面积 只与 2h有关，将 316ABhSp 中的 换成 2h，可得 3186AEBFhSp 14 分 记 31ABCa ， 32146ACEBFaSp ，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去， 可以将抛物线 与线段 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列 na的 无穷项和，此数列公比为 14 所以封闭图形的面积 3112ahSp 18 分
